组合图形的惯性矩

1、平面图形的几何性质平面图形的几何性质本章提要本章提要本章主要研究平面图形的静矩和惯性矩的本章主要研究平面图形的静矩和惯性矩的概念及计算、组合图形的静矩和惯性矩。概念及计算、组合图形的静矩和惯性矩。 本本 章章 内内 容容o静矩静矩o惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径o组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩静矩静矩o任意截面的图形如图8.1所示，其面积为a, z轴和y轴为图形平面内的任意直角坐标轴。 静矩静矩图8.1o取微面积da， da的坐标分别为y和z，则yda、zda分别称为微面积da对于z轴和y轴的静矩。它们对整个平面图形面积的定积分 o分别称为整个平面图形对于z轴和y轴的静矩。 ayazzda

2、sydas(a)o在静力学的第章中，已经导出平面图形的形心坐标公式 简单图形静矩的计算简单图形静矩的计算azdazaydayacac(8.1)o将公式(8.1)代入式(a)，平面图形的形心坐标公式可写为 o由此可得平面图形的静矩为 sy=zca sz=ycao即平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心坐标（形心至该轴的距离）的乘积。asyzcaszyc【例8.1】试计算图8.2所示矩形截面对z轴和y轴的静矩。【解】矩形截面的面积a=bh，其形心坐标yc=h/2,图8.2 zc=b/2。由式（8.2）有sz=yca=h/2bh=bh2/2sy=zca=b/2bh=b2h/2 o工程实际中，有些构件的

3、截面是由矩形、圆形等简单图形组合成，称为组合图形。o根据图形静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于各个简单图形对同一轴静矩的代数和，即 组合图形静矩的计算组合图形静矩的计算niicincnccyazazazazs12211.niicincncczayayayays12211.【例8.2】试计算图8.3所示截面对z轴和y轴的静矩。已知a=30mm。【解】图示截面可看成是由矩形减去半圆。设矩形的面积为a1，半圆的面积为a2。由于a2是要被减去的，该面积取负值。n由于y轴是对称轴，通过截面形心，所以该截面对y轴的静矩为零，即sy=0n下面计算该截面对z轴的静矩。 a1=4a2a=8a2 yc1=aa2

4、=-1/2a2yc2=4a/3 由式（8.3）有nsz=yciai=yc1a1+yc2a2=8a2a+(-1/2a2) 4a/3=1.98105mm3图8.3 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径o如图8.4所示，在平面图形上取一微面积da, da与其坐标平方的乘积y2da、z2da分别称为该微面积da对z轴和y轴的惯性矩，它们在整个图形范围内的定积分o分别称为整个平面图形对z轴和y轴的惯性矩。 惯性矩定义惯性矩定义ayazzdasydaso微面积da与它到坐标原点的距离的平方的乘积2da，在整个图形范围内的定积分 o称为平面图形对坐标原点的极惯性矩。由图8.4可知 2=z2+y2o于是有 dai

5、ap2daydazdayzdaiaaaap22222o 即ip=iy+izo上式表示：平面图形对于位于图形平面内某点的任一对相互垂直坐标轴的惯性矩之和是一常量，恒等于它对该点的极惯性矩。 图8.4 o工程实际中，常将图形对某轴的惯性矩，表示为图形面积与某一长度平方的乘积，即o式中iz、iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径，常用单位为米（m）或毫米（mm)。o由式（8.7）有，惯性半径 惯性半径惯性半径aiiaiiyyzz22aiiaiiyyzz,【例8.3】图8.5所示圆形截面的直径为d，试计算它对形心轴（即直径轴）的惯性矩。【解】取平行z轴的微面积o由于对称，圆形截面对任一形心轴的惯性

6、矩都等于d4/64。 222dary dy42222264rzardiy dayry dy 简单图形的惯性矩简单图形的惯性矩【例8.4】图8.6所示的矩形截面，试计算对其形心轴的惯性矩iz、iy。【解】（1） 计算惯性矩izn取平行于z轴的微面积da=bdy (2) 计算惯性矩iyn取平行于y轴的微面积da=hdz n表8.1列出了一些常用简单截面图形的几何性质。 3/222/212hzahbhiy day bdy3/222/212hyahhbiz daz hdy图8.5 图8.6 表表8.1 简单截面图形的几何性质简单截面图形的几何性质 8.3 组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩o如图8.7所

7、示，任意平面图形的形心为c，面积为a，zc轴和yc轴为图形的形心轴。y轴平行于yc，两轴间的距离为b；z轴平行于zc，两轴间的距离为a。根据惯性矩的定义，平面图形对z轴的惯性矩为 8.3.1 惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式2122()2zaaaaaiy daya day daayda adaoizc、szc分别为图形对形心轴zc的惯性矩和静矩。由于图形对形心轴的静矩恒等于零，所以szc=0。于是有oiz=izc+a2ao同理iy=iyc+b2ao式(8.9)即为惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形的面积与两轴距离平方的乘积。 图8.7 o由惯性矩的定义可知，组合图形对某轴的惯性矩就等于组成它的各简单图形对同一轴惯性矩之和。o简单图形对本身形心轴的惯性矩可通过积分或查表求得，再利用平行移轴公式，便可求得各简单图形对组合图形的形心轴的惯性矩。 组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩【例8.5】空心水泥板的截面图形如图8.8所示，试求它对z轴和y轴的惯性矩。【解】此组合图形对于z轴或y轴的惯性矩等于矩形对z轴或y轴的惯性矩减去圆形和对z轴或y轴的惯性矩。 计算惯性矩