工程力学静力学课件第六章

1、第六章 空间力系 重心 力在空间坐标轴上的投影力对轴之矩空间力系的平衡方程重心【本章重点内容】6-1 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题空间力系空间力系 ： 作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且也不能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。 径向轴承约束反力：AxFAzF径向止推轴承约束反力：BxFBzFByF切削力：xFyFzFD点：A点：B点：右图：空间力系实例：RxFRyFRzFOxMOyMOzM有效推进力飞机向前飞行有效升力飞机上升飞机侧移飞机绕x轴滚转飞机转弯飞机仰头侧向力滚转力矩偏航力矩俯仰力矩空间一般力系空间一般力系空间平行力系空间平行力系空间汇交力系空间汇交力系

2、空间力系的分类空间力系的分类平面力平面力 在在x轴，轴，y轴投影分别为轴投影分别为F cosFFx cosFFy 合力的大小为：合力的大小为：22yxFFF 方向为：方向为： 作用点为力的汇交点作用点为力的汇交点. .22cosyxxxFFFFF 22cosyxyyFFFFF 6-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影1、直接投影法一、力在空间直角坐标轴上的投影一、力在空间直角坐标轴上的投影 coscoscosFFFFFFzyx 6-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影（6-1a）已知力F与三个坐标轴的夹角力F直接向坐标轴投影的方法称为直接投影法。力F在坐标轴的投影为：直

3、接投影法直接投影法 、2、间接（二次）投影法sinFF sincosxFFcoszFF一、力在空间直角坐标轴上的投影一、力在空间直角坐标轴上的投影sinsinyFF（6-1b）先将力F投影到xoy平面上已知力F与z轴正向间的夹角 及将力F投影到z轴上。一次投影二次投影二次投影间接投影法（二次投影法）间接投影法（二次投影法）以及 先将力向一个坐标平面投影，再求出力在三个轴的投影。再将力 投影到x、y轴上，F coscoscos222222222222zyxzzyxyzyxxzyxFFFFFFFFFFFFFFFF（6-2）反过来，如果已知力反过来，如果已知力F在三个轴在三个轴x、y、z上的投影上的

4、投影Fx、Fy、Fz，求力，求力F1coscoscos222 例6-1已知：nF、求：力 在三个坐标轴上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF二、例题二、例题力对点之矩（力矩）力对点之矩（力矩） hFFM06-3 力对轴之矩力对轴之矩( )( )zoM FM FF h 6-3 力对轴之矩力对轴之矩一、力对轴之矩一、力对轴之矩平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。只不过轴通过该点，与该平面垂直空间的力对轴之矩： 定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称为力对该轴之矩. 力对轴之矩的定义力对轴之矩的定义力对轴之矩实例FFFz

5、FxFy（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零；（b）力与轴垂直，力对轴的力矩等于零；（c）力在轴垂直的平面，力对轴的力矩等于零( )()zoxyxyM FM FFh正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转动为正，反之为负。d、力不在垂直转轴的平面内、力不在垂直转轴的平面内空间力系中，力对z轴之矩 等于力在垂直于z轴 zMF的平面内的投影Fxy 与力臂d（即轴与平面的交点O到力Fxy的垂直距离）的乘积。右手螺旋法 力对轴之矩代数量的正负号力对轴之矩代数量的正负号力对轴之矩：力对轴之矩：用来量度力使物体用来量度力使物体绕轴转动效应绕轴转动效应的物理量的物理量例题例题6-1 半径为半径为r的斜齿轮，其上

6、作用有力的斜齿轮，其上作用有力F，见下图。，见下图。求力求力F沿坐标轴的投影及沿坐标轴的投影及力力F对对Y轴之矩轴之矩例例6-1解：力F在三轴上的投影为：sincoscossincosFFFFFFFFFrzaytx（圆周力）（圆周力）（轴向力）（轴向力）（径向力）（径向力）F对y轴之矩为： sincosrFFmFmtyy二、合力矩定理二、合力矩定理 空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，称为空间力系的合理矩定理。 xRxiMFMFvv空间力系合力矩定理空间力系合力矩定理常用来确定物体的常用来确定物体的重心位置重心位置，以及用分力矩计算，以及用分力矩计算合力矩合力矩6-

7、4 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程一、空间力系的简化一、空间力系的简化 空间力系的简化空间力系的简化 与平面一般力系的简化方法一样，空间力系也可以简化为一个合力和一个合力偶。 222()()()cos,cos,cosRRRRxxRyyRxyzRzzyxzRRRFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 空间汇交力系的合力称为力系的主矢力系的主矢在三个坐标轴的投影分别为222( )( )( )( )( )( )cos,cos,cosoooxxoyyozzoxyzoyoxozoooMMMMFMMFMMFMMFMFMFMMMMMM合力偶称为空间力系的主矩力系的主矩在三个坐标轴的投影分别为空间力

8、系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。空间力系的平衡方程：空间一般力系平衡的充要条件： 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴之矩的代数和也等于零轴之矩的代数和也等于零。二、空间力系的平衡方程二、空间力系的平衡方程0RF 0RM F000 xyzFFF 000 xyzMFMFMF（6-5）空间力系满足上述六个方程，则物体必然保持平衡状态。四、空间平行力系的平衡方程：四、空间平行力系的平衡方程： 000 zxyFMFMF三、空间汇交力系的平衡方程三、空间汇交力系的平衡方程000 xyzFFF（6-6）（6-7）由于：0 ,0 ,0 xyzMFM

9、FMF 由于： 0 ,0 ,0 xyzFFMF 求解空间力系的平衡问题时，求解空间力系的平衡问题时， 可以直接利用可以直接利用空间一般力系的空间一般力系的6个平衡方程个平衡方程，也可以将空间，也可以将空间力系转化为三个坐标平面内的力系转化为三个坐标平面内的平面力系平面力系来处理。来处理。例题例题6-2方法一：直接利用空间力系平衡方程求解方法一：直接利用空间力系平衡方程求解方法二：将方法二：将空间力系平衡问题空间力系平衡问题转化为转化为平面力系平衡问题平面力系平衡问题来求解来求解在在Axz平面平面在在Ayz平面平面在在Axy平面平面例题例题6-3在在Axz平面平面在在Ayz平面平面在在Axy平面

10、平面1. 平行力系中心平行力系中心6-5 平行行力系中心和重心平行行力系中心和重心 重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动力学问题有关。力学问题有关。 因此需要了解什么是重心？重心的位置怎样确定？因此需要了解什么是重心？重心的位置怎样确定？ 结论结论:平行力系中平行力系中,合力作用点合力作用点C的位置只与各平行力的位置只与各平行力的作用点的位置及各力的大小有关的作用点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关。而与力的方向无关。点点C称为该平行力系的中心称为该平行力系的中心。F1 A1 F2A2 FnAn zyxox1 y1 z1 CRzC xC y

11、C )()(iFmRmxxRyC=F1y1+ F2y2+Fnyn = Fiyi而 R= FiiiiCFyFyiiiCFxFxiiiCFzFz 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体想象成由重力是地球对物体的吸引力，如果将物体想象成由无数的质点组成，则每个质点都受地球引力作用，则这无数的质点组成，则每个质点都受地球引力作用，则这些引力便构成空间汇交力系（交与地心）。由于物体的些引力便构成空间汇交力系（交与地心）。由于物体的尺寸比地球半径小得多，因此可近似地认为个这力系是尺寸比地球半径小得多，因此可近似地认为个这力系是一空间平行力系，此平行力系的合力一空间平行力系，此平行力系的合力W,W,就是物体的

12、就是物体的重力重力。通过实验我们知道，不论物体如何放置，这些平行力系通过实验我们知道，不论物体如何放置，这些平行力系的合力的总是通过物体内的一个确定的点的合力的总是通过物体内的一个确定的点平行力系平行力系的中心的中心，这个点称为这个点称为物体的重心物体的重心。 重心的概念平行力系的合力平行力系的合力W, 就是物体的就是物体的重力重力平行力系的中心平行力系的中心，这个点称为这个点称为物体的重心物体的重心。6-6 重心坐标公式1、重心坐标的一般分式、重心坐标的一般分式YXZW1W2WnWx1y1z1x2y2z 2ynx nz nCx cy cz c由合力矩定理，合力由合力矩定理，合力W对轴之矩等对

13、轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和。如于各分力对同轴之矩的代数和。如对对x, y, z轴之矩有：轴之矩有： nnCniizznnCniiyynnCniixxzWzWzWzWWmWmxWxWxWxWWmWmyWyWyWyWWmWm221112211122111.,.,.,WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC重心重心坐标坐标公式公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC:,可得质心的坐标公式代入如以MgWgmWiiWzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC重心重心坐标坐标公式公式在均匀重力场内，质心与其重心位置重合在均匀重力场内，质心与其重心位置重合对于均质连续体对于均质连续体设设i为物

14、体单位体积的重量为物体单位体积的重量,则则: wi= i vi,对于连续体对于连续体,nVViininiiininCdVdVxvxvx11limlim2、均质物体的重心坐标公式、均质物体的重心坐标公式均质物体的重量是均布的，如物体单位体积的重量为，物体体积为V，则：nnVWVWVWVW,:2211量分别为物体每个微小部分的重VVzzVVyyVVxxiiCiiCiiC重心坐标式均质物体的重心也称为物体的形心对于均质连续体对于均质连续体设设i为物体单位体积的重量为物体单位体积的重量,则则: wi= i vi,对于连续体对于连续体,nVViininiiininCdVdVxvxvx11limlim体积

15、重心体积重心:VxdVxCVydVyCVzdVzC设设i为物体单位面积的重量为物体单位面积的重量,则则: pi= i Ai, 对于连续体对于连续体,n面积重心面积重心:（均质等厚物体，如薄壳）（均质等厚物体，如薄壳）AxdAxCAydAyCAzdAzClxdlxC线重心线重心:（均质等截面曲杆，如绳、索等）均质等截面曲杆，如绳、索等）lydlyClzdlzC3、均质薄板的重心、均质薄板的重心设板厚度为h，面积为A，将薄板分成若干微小部分，每个微小部分的面积为A1，A2，AnnnhAVhAVhAVhAV,2211AAyyAAxxiiCiiC重心坐标式yxoxcycCVVzzVVyyVVxxiiC

16、iiCiiC重心坐标式6-7 物体重心的求法对称性法对称性法当研究的物体具有对称轴、对称面或对称中心的均匀物体，其当研究的物体具有对称轴、对称面或对称中心的均匀物体，其重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。例：球体、立方体、等腰三角形等。重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。例：球体、立方体、等腰三角形等。分割法分割法将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部分容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重分容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重心坐标公式可以查表）。心坐标公式

17、可以查表）。例题例题6-4：试求图示截面重心的位置。：试求图示截面重心的位置。解：解：将图示截面分成图示三部分将图示截面分成图示三部分cmycmxcmAcmycmxcmAcmycmxcmA39,6,3020,75. 0,541,10,40332322221121可得Z形截面重心位置为：cmAAyycmAAxxiiCiiC47.18305440303954204011 . 230544030)6(5475. 04010若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心。此时，仍可若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心。此时，仍可应用分割法，但切取的部分面积在计算时取负值。应用分割法，但切取的部分

18、面积在计算时取负值。例题例题6-5：试求图示偏心块截面的重心。：试求图示偏心块截面的重心。R =10 cm, r =1.3 cm, b=1.7 cm解：将图示截面分成三部分：解：将图示截面分成三部分：半径为半径为 R 的半圆、半径为（的半圆、半径为（r+b）的半圆和半径为）的半圆和半径为 r 的整圆。图示形状相当于从的整圆。图示形状相当于从 R 半圆和（半圆和（r+b）半）半圆中挖掉半径为圆中挖掉半径为 r 整圆。整圆。Rrbxy三部分的面积及其坐标为：0;34;234;2323222121yrAbrybrARyRAcmrbrRbrRAAAAyAyAyAAyyiiC9 . 3342223332

19、1332211cmyxCC9 . 3, 0可得偏心块C的坐标分别为：Rrbxy实验法测算重心实验法测算重心出于以下两种原因，需要运用实验的方法来测算物体的重心。出于以下两种原因，需要运用实验的方法来测算物体的重心。（1）由于实际物体外形非常复杂，应用前述的方法难以求出物体的重）由于实际物体外形非常复杂，应用前述的方法难以求出物体的重心，需要通过实验测算。心，需要通过实验测算。（2）对复杂物体进行初步设计后，由于加工误差，成型产品与设计值）对复杂物体进行初步设计后，由于加工误差，成型产品与设计值有一定的差别，为了准确获得物体（产品）重心，需要通过实验测算有一定的差别，为了准确获得物体（产品）重心

20、，需要通过实验测算物体的重心。物体的重心。实验方法主要有：悬挂法和称重法。实验方法主要有：悬挂法和称重法。 称重法称重法 0)(iBFm悬挂法悬挂法WLRxc0cxWLRABABCWABRxCL简单形体的形心 平面力系平面汇交力系平面力偶系平面平行力系空间力系：力的投影，平衡条件及平衡方程，简化为平面力系物体重心的求法 （1） 力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用线移动到该刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效果。线移动到该刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效果。 必须强调的是，力的可传性原理只适用于刚体而不适用于变

21、形体。必须强调的是，力的可传性原理只适用于刚体而不适用于变形体。当研究物体的内力、变形时，将力的作用点沿着作用线移动，必然使该力当研究物体的内力、变形时，将力的作用点沿着作用线移动，必然使该力对物体的内效应发生改变。对物体的内效应发生改变。 在考虑刚体的平衡问题时，力的三要素可改为在考虑刚体的平衡问题时，力的三要素可改为“大小、方向、作用大小、方向、作用线线”。 （2） 三力平衡汇交原理：若刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡，三力平衡汇交原理：若刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡，则此三个力的作用线必在同一平面内且汇交于一点。则此三个力的作用线必在同一平面内且汇交于一点。 由此可知，刚体受

22、不平行的三力作用而平衡时，如果已知其中两个由此可知，刚体受不平行的三力作用而平衡时，如果已知其中两个力的方向，则第三个力的方向就可以按三力平衡汇交原理确定。力的方向，则第三个力的方向就可以按三力平衡汇交原理确定。静力学基本原理的两个推论：静力学基本原理的两个推论：约束反力类型：NFyFxFFyFxmFyFxT柔体约束 光滑接触面约束 柱铰链和固定铰支座 可动铰支座 固定端支座 中间铰滑槽与销钉轴承约束 向心轴承集中力，力偶，分布载荷；ABbqml 2l / 3CRAabBqRCl / 2lq荷载按分布形式可分为 可将画受力图时应注意的问题归纳如下： （1）不要漏画力）不要漏画力 必须搞清楚所研

23、究的对象(受力物体)与周围哪些物体(施力物体)相接触。在接触点处 均可能有约束反力。 （2）不要多画力）不要多画力 力是物体间的相互作用。对受力图上的每一个力，都应能明确指出它是由哪一个施力 物体施加的。如某一个力指不出施力物体，该力则为多画的力。 （3）不要画错约束反力的方向）不要画错约束反力的方向 约束反力的方向必须严格按照约束的性质确定，不能凭主观感觉猜测。 （4） 注意作用与反作用关系注意作用与反作用关系 在两物体相互联结处，注意两物体之间作用力与反作用力的等值、反向、共线关系。 （5）注意区分内力和外力）注意区分内力和外力 所谓内力，是指系统内部各物体之间的相互作用力。所谓外力，是指

24、系统以外的其他物体对系统的作用力。内力和外力的区分不是绝对的，而是相对的。当所取的脱离体不同时，原来是内力的力可能转化为外力。反之亦然。 内力总是成对出现。 （6） 约束反力的一致性约束反力的一致性 同一个约束反力，在各受力图中的表示、假设指向都必须一致。niiiniiOOniiRFrFMMFF1110)()(,0三、力系的平衡条件与平衡方程三、力系的平衡条件与平衡方程1、力系平衡的必要和充分条件力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩分别等于零。特例：（1）汇交力系平衡的必要和充分条件：力系的合力等于零。用几何法求解时，平衡条件可理解为：力多边形自行封闭。用解析法求解时，平衡条件可理解为：合力在任一坐标轴上的投影为零。（2）力偶系平衡的必要和充分条件：合力偶矩等于零，即空间力偶系中所有力偶矩矢的矢量和等于零，平面力偶系中所有力偶的力偶矩代数和等于零。2、空间一般力系的平衡方程niiOzniiOyniiOxniizniiyniixFMFMFMFFF1111110)(,0)(,0)(0,0,0niiOzniiOyniiOxniiznii