概率统计第二章作业答案

1、1解解x;21xy 二、二、1.设随机变量设随机变量服从二项分布服从二项分布b（3，0.4），）， （2） 233xxy （1）求下列随机变量函数的概率分布：求下列随机变量函数的概率分布： iiicixpx 336 . 04 . 0)( 的的概概率率分分布布为为3,2,1 ,0 ix)(ixp10216. 0432. 0064.032288. 021xy （1）1y)(jyp10216. 0432. 0064.094288. 03y)(jyp1072. 028. 0 （2） 233xxy 概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业6（2.82.11）2二、二、2.设随机变量设随机变量 x的概率密

2、度为的概率密度为 000122xxxxf当当当当求随机变量函数求随机变量函数 xyln 的概率密度。的概率密度。 解解)(ln)()( yxpyypyfyyy 的的分分布布函函数数，随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数)(yexp yedxxf0)(的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量函函数数 y yyyyeefyfyf )()( 122 yyeery 或或 是是单单增增函函数数，xyln 其反函数为其反函数为 .yex .yex 的的概概率率密密度度为为yyyyeefyf )()( 122 yyee 3二、二、3.设随机变量设随机变量 x 服从服从00，22上的均匀分布，求上的均

3、匀分布，求 在在(0,4)(0,4)内的概率密度函数。内的概率密度函数。 2xy 解解,的的分分布布函函数数随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数yy yypyfy yxp 2 ,x20的的取取值值区区间间是是因因为为 .,y40的的取取值值区区间间是是所所以以; 0)(,0 )1( yfyy时时当当 ;)y(f,yy142 时时当当 ,y时时当当40 3 yxypyxpyfy 2 dxxfyyx 221000-ydxdxyy 4的分布函数的分布函数所以，随机变量所以，随机变量y .y,;y,y;y,)y(fy4140200上式两边对上式两边对 y 求导数，即得求导数，即得y 的概率密度

4、的概率密度 .,;y,y)y(fy其它其它040415二、二、4 一批产品中有一批产品中有a件合格品与件合格品与b件次品，每次从这批产品中任件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次，方式为：（取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（）放回抽样；（2）不放回抽样。）不放回抽样。设随机变量设随机变量x及及y写出上述两种情况下二维随机变量写出上述两种情况下二维随机变量(x,y)的概率分布及边缘分布的概率分布及边缘分布 分别表示第一次及第二次取出的次品数，分别表示第一次及第二次取出的次品数， 并说明并说明x与与y是否独立。是否独立。（1）放回抽样）放回抽样 解解1122)(baa j i00xy2)

5、(baab )(baa )(bab )(baa )(bab 2)(baab 22)(bab 11) 1)() 1( babaaa j i00xy) 1)( babaab)(baa )(bab )(baa )(bab ) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽样）不放回抽样 x与与y相互独立相互独立. x与与y不独立不独立. 01,jipppjiij01,jipppjiij6二、二、5.5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性 是相同的。设随机变量是相同的。设随机变量x及及y分别表示投入第一个及第二个

6、盒子分别表示投入第一个及第二个盒子球的个数，求球的个数，求( (x,y ) )的概率分布及边缘分布的概率分布及边缘分布解解)3. 3 , 2 , 1 , 0,( 3),(333 jijiccjyixpjii271273 j i27327127827127327327327627300000027827122712276276271271xy11220033由此得由此得(x,y)的二维概率分布如下：的二维概率分布如下：7二、二、6.6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 x 表示第一次出现表示第一次出现的点数的点数, ,y 表示两次出现的点数的最大值，求表示两次出现

7、的点数的最大值，求( (x, ,y) )的概率分的概率分布及布及y 的边缘分布。的边缘分布。解解即即 jijijiijijyixp . 6 , 2 , 1,36,361,x，y 的所有可能的取值为的所有可能的取值为1，2，6.（i i ）当）当ji 时，时， 36,12ijxixpjyixpij 3616161 （i）当）当ji 时，时， jxixpjyixp 2,)()(2jxpixp x2 表示第二次出现的点数表示第二次出现的点数,8yx1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/

8、363/361/361/364/361/361/365/366/36y 的边缘分布为：的边缘分布为：y jyp2134563611213653674136119二、二、7. 设二维随机变量（设二维随机变量（x,y）在矩形域）在矩形域 dycbxa ,上服从均匀分布，求（上服从均匀分布，求（x,y）的概率密度及边缘概率密度。）的概率密度及边缘概率密度。x与与y是是 否独立？否独立？ 解解（x,y）的概率密度）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(x边缘概率密度边缘概率密度 dyyxfxfx),()(其其它它bxaab 01y边缘概率密度边缘概率密度 dxyxfyfy)

9、,()(其其它它dyccd 01故故x与与y是是 相互独立。相互独立。 ),y(f)x(fy,xfyx 因因10二、二、8.8. 设二维随机变量设二维随机变量（x,y）在联合分布列为在联合分布列为21321619118131 yx试问试问 为何值时，为何值时，x,y才能独立？才能独立？ ， 911819161219121yxpp)y,x(p解解 18118191613118131yxpp)y,x(p解得解得.,9192 要使要使x,y独立需满足独立需满足11二、二、9：设：设 (x,y）的分布函数为：）的分布函数为：)3arctan)(2arctan(),(ycxbayxf （1）确定常数）确

10、定常数a, b, c； （2）求）求(x,y）的概率密度；）的概率密度；（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。）求边缘分布函数及边缘概率密度。x、y是否独立？是否独立？解解 0)2)(2arctan(),( cxbaxf0)3arctan)(2(),( ycbayf 对任意的对任意的x与与y，有，有,2,12 cba（1）1)2)(2(),( cbaf)0( a12)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxf （2）),(),(yxfyxfyx 2293)2arctan2(1yxdxd 22293421yx xfx),( xf)2arctan2(1x yfy),(yf )3arc

11、tan2(1y )(xfx xfx )4(22x )( yfy yfy )9(32y x与与y 的边缘密度函数为：的边缘密度函数为：x的边缘分布：的边缘分布：（3）y的边缘分布函数为：的边缘分布函数为：x与与y是相互独立的。是相互独立的。).()(),(yfxfyxfyx 13二、二、10.设设 (x,y）的密度函数为：）的密度函数为： .yx.;y,xae)yx(00 000 32或或当当当当， ),(yxf求：（求：（1）常数）常数a；（4）求）求(x,y)落在区域落在区域r： （2）分布函数）分布函数f(x, y)；解解 dxdyyxf),(（1） 00)32(dxdyaeyx 0302

12、dyedxeayx13121 a6 a（2） 632 , 0, 0 yxyx内的概率。内的概率。（3）边缘密度函数；）边缘密度函数； 时，时，且且当当 yx00 yxvududveyxf00)32(6),()1)(1(32yxee yvxudvedue03026时，时，或或当当00 yx显然，显然，f(x,y)=0 14（3 ） dyyxfxfx),()(xyxedye20)32(26 时，时，当当 x0时，时，当当0 x;0)( xfx 0, 00,2)(2xxexfxx同理：同理： 0, 00,3)(3yyeyfyy15 xyxr322030: 303220)32(6xyxdydxep 2

13、02330)32(6yyxdxedy（4） 所求的概率为：所求的概率为： ryxdxdyyxfp,),(yx632 yx32 20633)1(3dyeeyy 2063)(3dyeey983. 06)1(66 ee 632),(yxdxdyyxf16概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业7 7（2.122.12）一个商店每星期四进货一个商店每星期四进货, 以备星期五、六、日以备星期五、六、日3天销售天销售, 根据根据多周统计多周统计, 这这3天销售件数天销售件数 彼此独立彼此独立, 且有如下表所示且有如下表所示分布分布:321x,x,x0.10.70.2p1211101x0.10.60.3p1

14、514132x0.10.80.1p1918173x问三天销售总量问三天销售总量 这个随机变量可以取那些值？如果这个随机变量可以取那些值？如果进货进货45件，不够卖的概率是多少？如果进货件，不够卖的概率是多少？如果进货40件，够卖的概件，够卖的概率是多少？率是多少？ 31iixy17解：解：y可以取可以取40,41,42,43,44,45,46.进货进货45件，不够卖的概率为件，不够卖的概率为 ;.xpxpxp0010191512321 进货进货40件，够卖的概率是件，够卖的概率是 .xpxpxp0060171310321 2.2.袋中装有标上号码袋中装有标上号码1 1，2 2，2 2的的3 3

15、个球，从中任取一个并且不再个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以放回，然后再从袋中任取一球，以x,y分别记为第一次，二次分别记为第一次，二次取到球上的号码数，求取到球上的号码数，求x+y的概率分布律。的概率分布律。xy11220313131yx p332314解：解：18(x ,y)只取下列数组中的值只取下列数组中的值 且相应且相应的概率依次为的概率依次为 列出列出(x ,y)的概率分布表，并求出的概率分布表，并求出x-y的分布律的分布律。 023111100, ，1251213161解：解：3161311211250020-100010yx19316131121125002

16、0-100010yxyxz 具有可能值：具有可能值：显然，显然，23510311342，, 31p 2 0 -2x-y34 12112561204. 设随机变量设随机变量x与与y独立，且独立，且x在区间在区间0,1内服从均匀分布：内服从均匀分布： 10, 0 10, 1xxxxfx或或y在区间在区间 2 , 0内服从辛普生分布：内服从辛普生分布： 20 , 021 ,210 ,yyyyyyyfy或或 求随机变量求随机变量 yxz 的概率密度的概率密度. 解解 dxxzfy 10 dttfzzyxzt 1 zfz dxxzxf , dxxzfxfyx 21012z1 z 20021210yyyy

17、yyyfy或或 dttfzzy 1(1)当当 z 3 时时, 0 zfz,22z,2332 zz32 z,29322 zz0z121 z0121 z 20021210yyyyyyyfy或或23的概率密度为的概率密度为z, 0其它其它 zfz;10 z21 z,22z,2332 zz32 z,29322 zz24ijll11l13l21l12l22l235. 电子仪器由六个相互独立的部件电子仪器由六个相互独立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji如图，设各个部件的使用寿命如图，设各个部件的使用寿命ijx服从相同的指数分布服从相同的指数分布 e求仪器使用寿命的概率密度。求仪器使用寿命的概率密度。组成，组成，解解 各部件的使用寿命各部件的使用寿命 3 , 2 , 1