2020_2021学年新教材高中数学第5章数列5.2等差数列5.2.2等差数列的前n项和教案新人教B版选择性必修第三册202010311185.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册教案打包20套新人教B版选择性必修第三册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册教案打包20套新人教b版选择性必修第三册,文本
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52.2等差数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点)2掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)3能灵活应用等差数列前n项和的性质解题(难点、易错点)1.借助等差数列前n项和公式的推导，培养数据分析的素养2通过等差数列前n项和公式的学习及应用，提升数学运算的素养.某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？原来有多少根钢管？1等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式snsnna1d思考：等差数列an的公差与前n项和sn的最高项系数存在怎样的关系？提示2倍关系由snn2n可知，存在2倍关系拓展：等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好2等差数列前n项和sn的性质(1)等差数列an中，其前n项和为sn，则an中连续的n项和构成的数列sn，s2nsn，s3ns2n，s4ns3n，构成等差数列(2)数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数()(2)若等差数列an的前n项和为sn，则也是等差数列()(3)数列an的前n项和snn21，则an一定不是等差数列()(4)等差数列的前n项和，等于其首项和第n项的等差中项的n倍()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列an中，a11，d1，则sn等于()anbn(n1)cn(n1) d.dsnna1dn，故选d.3在等差数列an中，s10120，那么a1a10()a10b12c20d24d由s10120，得a1a1024.4已知an是等差数列，a110，前10项和s1070，则其公差d_.s1010a1d70，又a110，所以d.等差数列sn中基本量的计算【例1】在等差数列an中(1)已知s848，s12168，求a1和d；(2)已知a610，s55，求a8和s8；(3)已知a163，求s31.解(1)snna1n(n1)d，解方程组得a18，d4.(2)a610，s55，解方程组得a15，d3，a8a62d102316，s844.(3)s3131a163133193.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.1在等差数列an中(1)a1，an，sn5，求n和d；(2)a14，s8172，求a8和d；(3)已知d2，an11，sn35，求a1和n.解(1)由题意，得sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得s8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或等差数列前n项和的性质【例2】(1)已知等差数列an，sm，s2m，s3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若sm30，s2m100，则s3m_；(2)已知等差数列an中，若a1 0111，则s2 021_；(3)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为sn，tn，且，则_.(1)210(2)2 021(3)(1)法一：设an的公差为d，依据题设和前n项和公式有：，得ma1d70，所以s3m3ma1d3370210.法二：sm、s2msm、s3ms2m成等差数列，所以30、70、s3m100成等差数列所以27030s3m100.所以s3m210.法三：在等差数列an中，因为snna1n(n1)d，所以a1(n1).即数列构成首项为a1，公差为的等差数列依题中条件知、成等差数列，所以2.所以s3m3(s2msm)3(10030)210.(2)法一：a1 011a11 010d1，s2 0212 021a1d2 021(a11 010d)2 021.法二：a1 011，s2 0212 0212 021a1 0112 021.(3)法一：.法二：，设sn2n22n，tnn23n，a5s5s420，b5t5t412，.等差数列的前n项和常用性质(1)等差数列的依次k项之和，sk，s2ksk，s3ks2k，组成公差为k2d的等差数列.(2)数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列.(3)若s奇表示奇数项的和，s偶表示偶数项的和，公差为d.当项数为偶数2n时，s偶s奇nd，；当项数为奇数2n1时，s奇s偶an，.(4)若an，bn均为等差数列，其前n项和分别为sn，tn，则2项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解设等差数列共2n1项，则奇数项有n1项，偶数项有n项，中间项是第n1项，记为an1，设公差为d，则s奇s偶a1ndan111，即中间项an111.又s2n1s奇s偶77.77，(2n1)1177，2n17，即数列的中间项为11，这个数列共7项等差数列前n项和的最值问题探究问题1对于等差数列an而言，若a10，其前n项和sn有最大还是最小值？若a10，d0呢？提示若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得sn的最小值若a10，d0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得sn的最大值2当公差d0时，sn是关于n的二次函数，能否借助二次函数的性质求sn的最值，为什么？提示可以，但需注意自变量n的取值范围【例3】在等差数列an中，a125，s17s9，则数列的前多少项之和最大？并求此最大值思路点拨可以多角度分析：借助函数图像，利用函数性质，还可以分析通项等解法一：snn2n(d0，a130，a140，d0时，数列an的正数项有限，前n项和有最大值，由可求出sn取得最大值时的n值当a10时，数列an的负数项有限，前n项和有最小值，由可得sn取最小值时的n值3在等差数列an中，a13,11a55a813，试求数列an的前n项和sn的最小值解由11a55a813，得11(a14d)5(a17d)13.a13，d.ana1(n1)d3(n1)，令an0，得n，a1a2a60a7480，在24小时内能构筑成第二道防线1本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，求前n项和sn，还是求项数n.4甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去) .第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去)第2次相遇是在开始运动后15分钟.1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等差数列的前n项和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式snna1d较好3求等差数列前n项和sn的最值的常用方法有两种：(1)用二次函数的性质求解(2)明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决4解决数列应用题时应分清：(1)是不是等差数列问题；(2)是通项问题还是求和问题1等差数列an的前n项和为sn，且s36，a34，则公差d等于()a1 b. c2 d3cs36，而a34，a10，d2.2已知在等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于()a160 b180 c200 d220ba1a2a324，a18a19a2078，a1a20a2a19a3a1818，s201018180.3一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为_5由条件知a1a3a5a7a9a1130，又a1a11a3a9a5a7，a5a72a610，中间项a65.4若等差数列an满足a7
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