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2020_2021学年新教材高中数学第2章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程学案含解析新人教B版选择性必修第一册20200914154.doc
2020_2021学年新教材高中数学第2章平面解析几何学案含解析打包18套新人教B版选择性必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学第2章平面解析几何学案含解析打包18套新人教b版选择性必修第一册,文本
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2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养2借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程1椭圆的定义(1)定义：如果f1，f2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|f1f2|，则平面内满足|pf1|pf2|2a的动点p的轨迹称为椭圆(2)相关概念：两个定点f1，f2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|f1f2|称为椭圆的焦距思考1：椭圆定义中，将“大于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”或“小于|f1f2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示2a与|f1f2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|f1f2|动点的轨迹是椭圆2a|f1f2|动点的轨迹是线段f1f22a|f1f2|动点不存在，因此轨迹不存在2椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系a2b2c2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示a，b的值及焦点所在的位置思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？提示把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆1的焦点坐标是(3,0)()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()答案(1)(2)(3)提示(1)需2a|f1f2|(2)(0，3)(3)ab0时表示焦点在y轴上的椭圆2以下方程表示椭圆的是()ax2y21b2x23y26cx2y21 d2x23y26b只有b符合椭圆的标准方程的形式3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()a1b1c1或1d1或1c若椭圆的焦点在x轴上，则c1，b2，得a25，此时椭圆方程是1；若焦点在y轴上，则a2，c1，则b23，此时椭圆方程是14椭圆1的左、右焦点f1，f2，点p在椭圆上，若|pf1|4，则|pf2| 2由椭圆的定义知|pf1|pf2|6，所以|pf2|6|pf1|642求椭圆的标准方程【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，5)，椭圆上一点p到两焦点的距离和为26(2)经过点p，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上(3)过(3,2)且与1有相同的焦点解(1)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：1(ab0)2a26,2c10，a13，c5b2a2c2144所求椭圆的标准方程为：1(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦点在x轴上，2c2，a2b21，又椭圆经过点p，1，解之得b23，a24椭圆的标准方程为1(3)由方程1可知，其焦点的坐标为(，0)，即c设所求椭圆方程为1(ab0)，则a2b25，因为过点(3,2)，代入方程为1(ab0)，解得a215(a23舍去)，b210，故椭圆的标准方程为1利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上，且a4，c2；(2)经过点p，q解(1)a216，c24，b216412，且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为1(2)法一： 当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为1(ab0)，依题意，有解得因为ab0，所以方程组无解当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为1(ab0)，依题意，有解得所以所求方程为1法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，依题意得解得故所求方程为5x24y21，即1椭圆的定义及其应用探究问题1如何用集合语言描述椭圆的定义？提示pm|mf1|mf2|2a,2a|f1f2|2如何判断椭圆的焦点位置？提示判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？提示椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点m到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2(如图所示)【例2】设p是椭圆1上一点，f1，f2是椭圆的焦点，若f1pf260，求f1pf2的面积解由椭圆方程知，a225，b2，c2，c，2c5在pf1f2中，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，即25|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|由椭圆的定义，得10|pf1|pf2|，即100|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|，得3|pf1|pf2|75，所以|pf1|pf2|25，所以sf1pf2|pf1|pf2|sin 601将本例中的“f1pf260”改为“f1pf230”其余条件不变，求f1pf2的面积解由椭圆方程知，a225，b2，c2，c，2c5在pf1f2中，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 30，即25|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|由椭圆的定义得10|pf1|pf2|，即100|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|，得(2)|pf1|pf2|75，所以|pf1|pf2|75(2)，所以sf1pf2|pf1|pf2|sin 30(2)2将椭圆的方程改为“1”其余条件不变，求f1pf2的面积解|pf1|pf2|2a20，又|f1f2|2c12由余弦定理知：(2c)2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，即：144(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|所以|pf1|pf2|，所以sf1pf2|pf1|pf2|sin 60椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)，则点m的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点m到两焦点的距离之和必为2a(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解拓展延伸：椭圆中的焦点三角形椭圆上一点p与椭圆的两个焦点f1，f2构成的pf1f2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆c：(x1)2y225及点a(1,0)，q为圆上一点，aq的垂直平分线交cq于m，求点m的轨迹方程解由垂直平分线性质可知|mq|ma|，|cm|ma|cm|mq|cq|cm|ma|5m点的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为c(1,0)，a(1,0)，a，c1，b2a2c21所求轨迹方程为：1求解与椭圆相关的轨迹问题的方法2已知两圆c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆在圆c1内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，求动圆圆心的轨迹方程解如图所示，设动圆圆心为m(x，y)，半径为r，由题意动圆m内切于圆c1，|mc1|13r圆m外切于圆c2，|mc2|3r|mc1|mc2|16|c1c2|8，动圆圆心m的轨迹是以c1、c2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为1(1)平面内到两定点f1、f2的距离之和为常数，即|mf1|mf2|2a(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的1椭圆y21上一点p到一个焦点的距离为2，则点p到另一个焦点的距离为()a5b6c7 d8d由椭圆定义知点p到另一个焦点的距离是10282到两定点f1(2,0)和f2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()a椭圆 b线段c圆 d以上都不对b|mf1|mf2|f1f2|4，点m的轨迹为线段f1f23椭圆1的焦距为 8由方程得a232，b216，c2a2b216c4,2c84已知椭圆1的左、右焦点分别为f1、f2，过点f1的直线l交椭
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