数列模型及应用课件

1、1.认识数列的函数特性，能结合方认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题解决一些数列问题.2.掌握与等差数列、等比数列有关掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法的实际应用问题的解法.1.某种细胞开始有某种细胞开始有2个，个，1小时后分裂成小时后分裂成4个个并死去并死去1个，个，2小时后分裂成小时后分裂成6个并死去个并死去1个，个，3小时后分裂成小时后分裂成10个并死去个并死去1个，按个，按此规律进行下去，此规律进行下去，6小时后细胞存活的个小时后细胞存活的个数是（数是（ ）BA.63 B.65C.67 D.71 设开

2、始的细胞数和每小时后的细设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为胞数构成的数列为an，则有，则有a1=2，an+1=2an-1，即，即 =2.所以数列所以数列an-1是首项为是首项为1，公比为，公比为2的等的等比数列比数列.因此，因此，an-1=2n-1，即，即an=2n-1+1.所以所以a7=26+1=65.111nnaa2.在一个凸多边形中，最小内角为在一个凸多边形中，最小内角为120，各内角度数成等差数列，公差为各内角度数成等差数列，公差为5，则，则这一凸多边形的边数为这一凸多边形的边数为( )AA.9 B.16C.9或或16 D.9或或10 设凸多边形边数为设凸多边形边数为n,其内

3、角和为其内角和为180(n-2),依题意依题意,有有n120+ n(n-1)5=180(n-2),化简得化简得n2-25n+144=0，解得，解得n=9或或n=16.当当n=16时，最大内角为时，最大内角为120+(16-1)5=1950,180)，故，故n=16舍去，舍去，当当n=9时时,最大内角为最大内角为120+(9-1)5=160.123.若若 =110(xN*),则则x= .101 35(21)1111 22 3(1)xx x 因为因为1+3+5+(2x-1)= =x2， + + =1- + - + - = ,所以所以 =110，即，即x(x+1)=110，解得，解得x=10.(12

4、1)2xx11 212 31(1)x x1213121x11x1xx21xxx4.椭圆椭圆 + =1上有上有n个不同的点个不同的点P1，P2，Pn，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，数列，数列|PnF|是公差不小于是公差不小于 的等差数列，的等差数列，则则n的最大值为的最大值为( )D24x23x1100A.198 B.199 C.200 D.201 |P1F|a-c=1,|PnF|max=a+c=3,所以所以1+(n-1)d3,所以所以n-1 ,因为因为d , 100,所以所以n-1200,故故n201.2d11001d5.弹子跳棋共有弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，颗大小相同的球形弹

5、子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有子有( )BA.3颗颗 B.4颗颗C.8颗颗 D.9颗颗 熟悉正四面体的特征，由题设构造模熟悉正四面体的特征，由题设构造模型：第型：第k层为层为k个连续自然数的和；化简通项个连续自然数的和；化简通项再用分组求和法再用分组求和法.依题设依题设,第第k层正四面体为层正四面体为1+2+3+k= = ,则前则前k层共有层共有 (12+22+k2)+ (1+2+k)= 60,k最大为最大为6,剩下剩下4颗颗,故选故选B.(1)2k k 22kk1212(1)(2

6、)6k kk1.数列实际应用题常见的数学模型数列实际应用题常见的数学模型(1)复利公式复利公式.按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r,存期为存期为x期，则本利和期，则本利和y= .(2)单利公式单利公式.利用按单利计算利用按单利计算,本金为本金为a元元,每期利率每期利率为为r,存期为存期为x,则本利和则本利和y= .a(1+r)xa+arx(3)产值模型产值模型.原来产值的基数为原来产值的基数为N，平均增长率为，平均增长率为p，对于时间对于时间x的总产值的总产值y= .(4)递推与猜证型递推与猜证型递推型有递推型有an+1=f(an)

7、与与Sn+1=f(Sn)类，猜类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并证型主要是写出前若干项，猜测结论，并根据题设条件加以证明根据题设条件加以证明.2.数列与其他知识综合，主要有数列与数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等不等式、数列与函数、数列与解析几何等N(1+p)x例例1 某企业进行技术改造，有两种方案，甲某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙的利润；乙方案：每年贷款方案：每年贷款1万元，第一年可获利万元，第一年可获

8、利1万元，万元，以后每年比前一年增加以后每年比前一年增加5千元千元.两种方案的使用两种方案的使用期都是期都是10年，到期一次性归还本息年，到期一次性归还本息.若银行两若银行两种形式的贷款都按年息种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？较两种方案中，哪种获利更多？(参考数据：参考数据：1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665) 甲方案是等比数列甲方案是等比数列,乙方案是等差数列乙方案是等差数列,甲方案获利：甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9 = 42.63(万元万元)，银行贷款本息：银

9、行贷款本息：10(1+5%)1016.29(万元万元)，故甲方案纯利：故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34(万元万元)，101.310.3乙方案获利：乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5) =101+ 0.5=32.50(万元万元);银行本息和：银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9 =1.05 13.21(万元万元)，故乙方案纯利：故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元万元);综上可知，甲方案更好综上可知，甲方案更好.10 92101.0510.05 这是一道比较简单的数列应用问题，这是一道比较简单的数列应

10、用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解立通项公式并运用所学过的公式求解.例例2 已知点已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点和互不相同的点列列P1,P2,P3,Pn,且满足且满足 =an +bn (nN*),其中其中an、bn分别为等差数列和等比数列，分别为等差数列和等比数列，O为坐标原为坐标原点，若点，若P1是线段是线段AB的中点的中点. (1)求求a1,b1的值；的值； (2)讨论讨论:点点P1，P2，P3，,Pn,是否共线是否共线.nOPOA OB (1)因为因为P1是线段是线段AB的中点，的中点，所以所以

11、 = + ,又又 =a1 +b1 ,且且 , 不共线，不共线，由平面向量基本定理，知由平面向量基本定理，知a1=b1= .(2)由由 =an +bn (nN*)，得得 =(an,bn).设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q,则由于则由于P1,P2,P3,Pn,互不相同，互不相同，所以所以d=0,q=1不会同时成立不会同时成立.1OPOA OB 12121OPOA OB OA OB 12nOPOA OB nOP1若若d=0且且q1，则，则an=a1= (nN*) P1,P2,P3,Pn,都在直线都在直线x= 上；上；2若若q=1且且d0，则，则bn= 为常数列为常数列P1,P2,P

12、3,Pn,都在直线都在直线y= 上；上；3若若d0且且q1，P1,P2,P3,Pn,共线共线 =(an-an-1,bn-bn-1)与与 =(an+1-an,bn+1-bn)共线共线(n1,nN*)(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0(bn+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,与与q1矛盾，矛盾，所以当所以当d0且且q1时时,P1,P2,P3,Pn,不共线不共线.121212121nnP P1nnP P 本题是数列与平面向量综合的基本本题是数列与平面向量综合的基本题型，以平面向量共线为载体构造数列递题型，以

13、平面向量共线为载体构造数列递推关系或等式，从而得到数列通项及属性，推关系或等式，从而得到数列通项及属性，使得问题得到解决使得问题得到解决.例例3 读下列算法，指出当输入的四个数读下列算法，指出当输入的四个数依次为依次为1,1,0,0时，输出的结果是什么？时，输出的结果是什么？ S1：输入：输入a,b,c,n； S2：n=n+1； S3：a=2a； S4：b=b+2； S5：c=c+ab； S6：若：若c500，则转，则转S2； S7：输出：输出n，c. 从数列的角度看算法，则从数列的角度看算法，则S3可以看作可以看作an+1=2an；S4可以看作可以看作bn+1=bn+2；S5可以看作可以看作

14、cn+1=cn+anbn，输入的四个数依次为，输入的四个数依次为1,1,0,0，即即a0=1,b0=1,c0=0,n=0,故故an=2n，bn=2n+1,cn=a1b1+a2b2+anbn=32+522+723+(2n+1)2n.因为因为c1=32=6,c2=6+54=26,c3=26+78=82,c4=82+916=226,c5=226+1132=578500,执执行行S7,故输出的结果是故输出的结果是5,578. 数列中的递推关系与算法中的循环数列中的递推关系与算法中的循环结构简直就是结构简直就是“天造地设的一对天造地设的一对”，同学，同学们应重视们应重视. 某个网络某个网络QQ群体中有群

15、体中有n名同学在玩一名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，n，且在哈哈镜中，每个同学看到的，且在哈哈镜中，每个同学看到的像可用数对像可用数对(p,q)(p0)的切线的切线ln，切点为，切点为Pn(xn,yn). (1)求数列求数列xn与与yn的通项公式；的通项公式； (2)证明证明:x1x3x5x2n-1 sin .11nnxx2nnxy 曲线曲线Cn:(x-n)2+y2=n2是圆心为是圆心为(n,0),半径为半径为n的圆的圆,切线切线ln:y=kn(x+1).(1)依题意有依题意有 =n,解得解得kn2= .又切点为又切点为(xn,yn)

16、,得得xn2-2nxn+yn2=0,yn=kn(xn+1),联立可解得联立可解得xn= ,yn= .2|1nnnnkkk221nn1nn211nnn(2)证明：由证明：由(1)知，知， = , sin = sin .先证先证:x1x3x5x2n-1 .运用数学归纳法运用数学归纳法:当当n=1时时,x1= ,命题成立命题成立;假设假设n=k时时,命题成立命题成立,即即x1x3x5x2k-1 ,则当则当n=k+1时时,x1x3x5x2k-1x2k+11,故故 = .所以所以,当当n=k+1时时,命题成立命题成立.故故x1x3x5x2n-1 成立成立.(另证：另证：x1x3x5x2n-1= = .)下证：下证： sin .不妨设不妨设t= (0, .221()23212(1)kkk22484483kkkk21