《包装系统振动理论》ppt课件

1、第二章第二章 包装产品系统的振动实际包装产品系统的振动实际学科称号学科称号: : 包装工程包装工程主讲教师主讲教师: : 郭郭 彦彦 峰峰 包装产品系统的振动力学模型包装产品系统的振动力学模型 单自在线性系统的强迫振动单自在线性系统的强迫振动 多自在度线性系统的振动多自在度线性系统的振动 普通粘性阻尼多自在度线性系统的呼应普通粘性阻尼多自在度线性系统的呼应 多自在度线性系统振动的近似解法多自在度线性系统振动的近似解法 非线性振动简介非线性振动简介 GB 2298将振动定义为“机械系统中运动量的振荡景象。 振荡指“相对给定的参考系，一个随时间变化的量值与其平均值相比，时大时小交替变化的景象。 机

2、械振动指具有质量和弹性的物体或系统在其平衡位置附近作来回往复运动的过程，如车辆振动系统、船舶振动系统、运输物流过程中包装产品系统、印刷机械振动系统等。 包装产品系统由产品、缓冲衬垫、包装箱等三个部分组成的一个顺应运输物流环境过程、维护产品平安运输的机械系统。一、工程实例一、工程实例 第一节第一节 包装产品系统的振动力学模型包装产品系统的振动力学模型例例1 1、空调机包装、空调机包装卡车人力车包装车间废品仓库铁路货站铁路终点货栈商店商店叉车电瓶车规范路面货车堆6层卡车混放混放堆18层放4周堆6层放3天堆8层放2天例例2 2、电子枪包装、电子枪包装FMB361E1Z64cmPFFMB361E1Z6

3、4cmPF电子枪电子枪 电子枪主要用于电视机、加速器、电镜、示波器、电子显微镜、电子枪主要用于电视机、加速器、电镜、示波器、电子显微镜、电子探针显微分析仪、微聚焦电子探针显微分析仪、微聚焦X2X2射线管等电子束器件中，是它们射线管等电子束器件中，是它们极其重要的心脏部件。极其重要的心脏部件。 1 1电子枪破损方式电子枪破损方式 电子枪的资料主要为玻璃和薄片金属，外形不规那么，金属电子枪的资料主要为玻璃和薄片金属，外形不规那么，金属多为点焊衔接，在流经过程中由于振动、冲击、压力等环境载多为点焊衔接，在流经过程中由于振动、冲击、压力等环境载荷作用容易呵斥产品损坏，其破损方式主要为：荷作用容易呵斥产

4、品损坏，其破损方式主要为： 固定玻杆断裂固定玻杆断裂 电极的供电线路发生相互粘连短路电极的供电线路发生相互粘连短路 管脚弯曲管脚弯曲 整只电子枪的轴向弯曲变形等。整只电子枪的轴向弯曲变形等。2 2电子枪对缓冲包装要求电子枪对缓冲包装要求 a. a.电子枪为易损的不规那么产品，要求缓冲衬垫具有很好的电子枪为易损的不规那么产品，要求缓冲衬垫具有很好的加工制造性能，并且尺寸稳定性强。加工制造性能，并且尺寸稳定性强。 b. b.电子枪构造为长轴状，要求枪身坚持较高平行度，杜绝发电子枪构造为长轴状，要求枪身坚持较高平行度，杜绝发生滑动、挤压、弯曲、改动等变形，缓冲衬垫应适当思索多个生滑动、挤压、弯曲、改

5、动等变形，缓冲衬垫应适当思索多个接触面，保证受力均匀。接触面，保证受力均匀。 c.电子枪的排气管为玻璃材质，很易破碎，缓冲衬垫的构造应防止其与外界接触，呵斥损坏。 d.电极的供电线路易发生相互粘连而呵斥短路，在设计缓冲衬垫时使电极部位不与衬垫或外界接触。 e.管脚的材质较软，容易弯曲，使缓冲衬垫的主受力面不要集中在管脚上。 f.思索电子枪包装应便于库存清点、集合装卸等流通作业，因此，在设计内包装时应思索电子枪在缓冲构造上的规划陈列、摆放数目等要素。3电子枪包装方法 瓦楞纸板托架构造包装防护方案 纸浆模塑衬垫构造包装防护方案 发泡聚乙烯衬垫构造包装防护方案包装防护方案包装防护方案1: 1: 瓦楞

6、纸板托架构造包装防护方案瓦楞纸板托架构造包装防护方案包装防护方案包装防护方案2: 2: 纸浆模塑衬垫构造纸浆模塑衬垫构造包装防护方案包装防护方案3: 3: 发泡聚乙烯衬垫构造发泡聚乙烯衬垫构造二、三类振动问题二、三类振动问题 包装产品系统的振动问题可用输入、系统、输出之间的关系包装产品系统的振动问题可用输入、系统、输出之间的关系框图描画，外部载荷鼓励，输入作用于包装产品系统框图描画，外部载荷鼓励，输入作用于包装产品系统使之产生振动呼应或输出。使之产生振动呼应或输出。 包装产品系统输入输出鼓励呼应三类振动问题三类振动问题知鼓励、系统求呼应第一类问题：动力分析。这是工程中知鼓励、系统求呼应第一类问

7、题：动力分析。这是工程中最根本和最常见的问题，主要义务是验算构造、产品在任务最根本和最常见的问题，主要义务是验算构造、产品在任务形状的动力呼应、变形、位移、应力能否满足预定要求。形状的动力呼应、变形、位移、应力能否满足预定要求。 知输入、输出求系统第二类问题：系统识别。它包括物理知输入、输出求系统第二类问题：系统识别。它包括物理参数识别和模态参数识别。物理参数识别获取系统的物理参参数识别和模态参数识别。物理参数识别获取系统的物理参数，如质量、刚度及阻尼系数。模态参数识别获取系统的模数，如质量、刚度及阻尼系数。模态参数识别获取系统的模态参数，如系统的固有频率、振型、阻尼比等。系统识别是态参数，如

8、系统的固有频率、振型、阻尼比等。系统识别是振动的第一种逆问题，振动力学是它的根底实际。振动的第一种逆问题，振动力学是它的根底实际。知系统、输出求输入第三类问题：环境预测。这是振动的知系统、输出求输入第三类问题：环境预测。这是振动的第二种逆问题。例如，为了防止包装产品在公路运输中破损，第二种逆问题。例如，为了防止包装产品在公路运输中破损，需求估计运输环境，为产品设计可靠而有效的振动防护包装。需求估计运输环境，为产品设计可靠而有效的振动防护包装。12341234(a) (b)图2-1 产品包装系统构造表示图1、包装箱 2、缓冲衬垫 3、产品 4、易损件三、振动力学模型 最简单的模型是单自在度线性系

9、统图2-2力学模型： 把产品假定为质量均匀的刚体，且具有一个自在度； 忽略包装箱质量和弹性；不计缓冲资料或衬垫的质量，并把缓冲资料或衬垫视为具有粘性阻尼的弹性体； 由惯性元件m、阻尼元件c、弹性元件k所组成集中参数系统。u(t) kcmx(t)图2-2 单自在度线性系统力学模型u(t) ：外部位移鼓励，x(t)：产档次移 在运输物流过程中，产品上灵敏或脆弱的部件最容易发生破损，这种部件称之为易损件。 需求分析易损件的呼应而无需计入包装箱的质量时，可采用两自在度线性系统图2-3描画，产品只含有一个易损件。 假设包装产品含有几个易损件，可采用多自在度线性系统描画图2-4。 描画运输过程中包装产品的

10、重叠放置的振动力学模型很复杂，可采用多自在度线性系统描画图2-5。图2-3 两自在度线性系统力学模型1( )x t2( )x tc1k1m1c2k2m2 ( )u t图2-4 三自在度线性系统力学模型图2-5 包装产品重叠放置时的力学模型c3k3m3 c1k1m1c2k2m2 1( )x t2( )x t( )u t3( )x tc1k1m1c2k2m2 cn-1kn-1cnknmn-1mn 1( )x t2( )x t( )u t1( )nxt( )nx t四、动力学方程建立方法 1、牛顿第二定律 对质点的标量方式：RFma对力学体系的标量方式： iiiiRFkm R约束力向量： F自动力向

11、量：nRRRR,21nFFFF,21(2-2)(2-1) 假设只存在n个约束，那么质点系的动力学问题可描画为 ( , , )( )(1,2, )( , , )0(1,2, ),iiiijmkF r r tR tinfr r tjk kn2-32、达朗伯原理 0)(maRF对力学体系：111()0nnniii iiiiFRm r2-42-5对质点：3、拉格朗日方程T 系统动能，U系统势能，L拉格朗日函数等于系统的动能T与U之差，即 L=T - U， 广义动量， 拉格朗日力， 广义坐标位移， 广义速度， 广义力。()(1,2, , )iiidLLQindtqq2-6iqLiqLiqiq iQ一、简

12、谐鼓励条件下的强迫振动由牛顿第二定律，包装产品的动力学方程可写成)(tfuckukxxcxm 2-7l f(t)是简谐函数，如l f(t)是周期函数，如l f(t)既不是简谐函数，也不是周期函数0( )sin()f tAt)()(tnTftf第二节第二节 单自在线性系统的强迫振动单自在线性系统的强迫振动 简谐鼓励下系统的呼应由初始条件引起的自在振动、伴随强迫振动发生的自在振动、等幅稳态强迫振动三部分组成。前两部分由于阻尼的存在，是逐渐衰减的瞬态振动，称为瞬态呼应。第三部分是与鼓励同频率、同时存在的简谐振动，称为稳态呼应。瞬态呼应只存在于振动的初始阶段，该阶段称为过渡阶段。稳态呼应存在于稳态阶段

13、。当鼓励频率与系统固有频率很接近，将发生共振景象。 过渡阶段瞬态呼应 稳态阶段稳态呼应 共振景象0( )sin()mxcxkxf tAt包装产品系统遭到简谐激振力 的动力学方程：2-8 2-9 1简谐振动稳态呼应，稳态阶段 Laplace变换法 复数法设复数方式的特解为tieBx00取2-102-1122211()2(1)2innAABBekiki 022002)sin()() 0()() 0() 0() 0(AstALskxxssxcxsxxsm2212i ti ti ti tnnmBeiB eBeAe 222022220211()2(1)211(1)(2)(1)(2)2()12innnnn

14、AABBekikiABBkABkkmarctgcm (2-12)B0 是质量块在激振力作用下的最大静位移。将式2-11代入式2-10，得到复数方式的特解取式(2-13)的虚部，得到方程(2-8)的特解 ()itxBesin()xBt(2-13)(2-14)2221(1)(2)rBTA引入无量纲的放大因子Tr，且定义为 线性系统对于简谐鼓励的稳态呼应是频率等同于鼓励频率而相位滞后于激振力 f(t)的简谐振动。 稳态呼应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质如质量、刚度、阻尼和激振的频率和力幅，而与系统进入运动的方式初始条件无关。rBT A2-152-16 在式(2-11)、(2-14)、(2-

15、15)中令 ，那么得到无阻尼系统在简谐鼓励下的稳态呼应。 当 时， ， ， 。 当 时， ， ， 或 。这时相位差反映在 的符号中。 系统呼应的振幅急剧增大的景象称之为共振 ，此时有0n102( )sin1Ax ttn12( )sin()(1)Ax ttktkAtxsin)1 ()(2kA)1 (2n2-171222rTABk2、瞬态呼应瞬态振动，过渡阶段、瞬态呼应瞬态振动，过渡阶段00)0()0(sinxxxxtAkxxcxm 00)0()0(0 xxxxkxxcxm 0)0(0)0(sinxxtAkxxcxm 通解+特解=全解 2-182-202-19000( )(cossin)sinco

16、s( sincos )sinsin()nntndddtndddxxx texttBettBt2-2121nd式(2-21)右端的第一项为哪一项系统在无鼓励时的自在振动，第二项是自在伴随振动，第三项是稳态强迫振动。自在伴随振动的特点是振动频率为系统的固有频率，但振幅与系统本身的性质及鼓励要素有关。由于阻尼的存在，作为瞬态呼应的自在振动和自在伴随振动都将随时间逐渐衰减为零经过充分长时间后，只剩下稳态强迫振动。( )sincos( sincos )sinsin()ntndddx tBettBt2-22 假设初始位移与初始速度都为零零初始条件，那么式(2-21)可写成：图2-6 零初始条件下的谐振呼应

17、3、强迫振动中的能量关系、强迫振动中的能量关系无阻尼自在振动无阻尼自在振动 , 等幅振动等幅振动有阻尼自在振动有阻尼自在振动 , 衰减振动衰减振动 要维持等幅振动，系统必需由外界吸收能量，即由激振力对要维持等幅振动，系统必需由外界吸收能量，即由激振力对系统作功。系统作功。UTEUTE11)(tx)( st1一周期内阻尼耗能：一周期内激振力作功：2022220)(cos )()(cBdttcBdttxcdxtxcWTTc000( )( ) ( )cos( )cos() ( )sinTTfTWf t dxf t x t dtAkt x t dtAktx t dtBAktkAkxxcxmcos tA

18、tysin)( )cos()(tBtx mkc0sintkAkxxcxm 0)()2()(2titititikAeBkeecemtkAkBBcBm2BWfWcW0cfWW cBkAsin二、周期鼓励下的强迫振动二、周期鼓励下的强迫振动 系统对周期鼓励的呼应通常指稳态呼应，可利用周期鼓励的谐系统对周期鼓励的呼应通常指稳态呼应，可利用周期鼓励的谐波分析来研讨。波分析来研讨。 首先将周期鼓励分解成一系列不同频率的简谐鼓励；首先将周期鼓励分解成一系列不同频率的简谐鼓励； 然后求出系统对不同频率的简谐鼓励的呼应；然后求出系统对不同频率的简谐鼓励的呼应； 再根据线性系统的叠加原理，将各个呼应叠加而得到系统

19、对周再根据线性系统的叠加原理，将各个呼应叠加而得到系统对周期鼓励的呼应。期鼓励的呼应。周期激振力： 12( )(),f tf nTtT假设f(t)满足狄利克雷条件，那么采用傅里叶级数将f(t)展开：0111011( )(cossin)22( )2( )cos2( )sinnnnT ttT tntT tntaf tantbntax t dtTax tntdtTbx tntdtT2-23把式2-23代入方程2-8，得系统的运动微分方程为001111122(cossin)sin()22nnnnnnnnnnnnaamx cx kxan tbn tAn tAabaarctgb2-24 由叠加原理得到系统

20、的稳态呼应0112222112cos()sin()( )2(1)(2)21()nnnnnnnaantbntx tkknnnarctgn 当=0时，122110)1 (sincos2)(nnnnktnbtnakatx2-252-26三、恣意鼓励下的系统呼应 工程实践中，普通情况下的激振力既不是简谐波，也不是周期性函数，而是非周期性恣意鼓励。 恣意鼓励或者作用时间很短或极短的脉冲鼓励下，系统通常没有稳态呼应，只需瞬态呼应，它可以经过脉冲呼应或阶跃呼应来分析。1、单位脉冲呼应也称脉冲呼应 冲量为U 的脉冲力可借助函数表示为 ，当 时就成为单位脉冲力，即 。 在零初始条件下系统对单位脉冲力的呼应，称之

21、为单位脉冲呼应。记0-，0+分别为单位脉冲力作用瞬间的前后时辰，那么系统的运动微分方程2-8与零初始条件可写成：)()(tUtf( )(0 )0(0 )0mxcxkxtxx2-271U )()(ttf动量定理：故在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间位移没有改动， 。xmddtt)(0000)(dtxmdtt 2-282-29)0()0()0()0(1xxmxmxmmx1)0(2-302-31)0()0( xx0(0 )01(0 )mxcxkxxxm2-32 0t时因此，系统的脉冲呼应是初始位移为零而初始速度为 的自在振动，记为h(t)，其表达式为 m1temthdtdnsi

22、n1)(2-33tmthnnsin1)(无阻尼时，0t)(sin1)()(temthdtdn)(t2-342-352、恣意鼓励下的系统呼应 当处于零初始条件的系统遭到恣意激振力作用时，可以把激振力 f(t)看做是一系列脉冲的叠加。在时辰 t=的脉冲力的冲量为 ，系统的脉冲呼应为： dfU)(dthfdx)()(2-36)tdthftx0)()()(Duhamel积分， )(*)()(*)()(tfththtftx假设系统在 t=0 时有初始位移 x0、初始速度 ，那么系统对恣意鼓励的呼应为 0 x 000()0( )(cossin)1( )sin()nntndddttddxxx texttfe

23、tdm(2-37)(2-38)(2-39)卷积或 由于Duhamel积分是系统在零初始条件下的呼应，故当鼓励为简谐鼓励时，Duhamel积分即自在伴随振动和稳态强迫振动两部分。tndthfthmxthxxmtx0000)()()()()2()(2-40)例例1 1 有阻尼单自在度线性系统对阶跃激振力的呼应有阻尼单自在度线性系统对阶跃激振力的呼应例例2 2 无阻尼单自在度线性系统对矩形脉冲激振力的呼应无阻尼单自在度线性系统对矩形脉冲激振力的呼应例例3 3 无阻尼单自在度线性系统对后峰锯齿脉冲激振力的呼应无阻尼单自在度线性系统对后峰锯齿脉冲激振力的呼应例例4 4 无阻尼单自在度线性系统对半正弦脉冲

24、激振力的呼应无阻尼单自在度线性系统对半正弦脉冲激振力的呼应例例5 5 无阻尼单自在度线性系统对斜坡阶跃激振力的呼应无阻尼单自在度线性系统对斜坡阶跃激振力的呼应第三节第三节 多自在度线性系统的振动多自在度线性系统的振动 工程上较复杂的振动问题需求采用多自在度线性系工程上较复杂的振动问题需求采用多自在度线性系统的振动原理来分析处理统的振动原理来分析处理 。一个具有。一个具有n n个自在度的线个自在度的线性系统，系统的运动微分方程普通是性系统，系统的运动微分方程普通是n n个相互耦合的二个相互耦合的二阶常微分方程组成的方程组。阶常微分方程组成的方程组。 对对n n自在度的无阻尼系统，它具有自在度的无

25、阻尼系统，它具有n n个固有频率有能个固有频率有能够出现重值，当系统按恣意一个固有频率作自在振动够出现重值，当系统按恣意一个固有频率作自在振动时，系统的运动是一种同步运动，称为主振动。系统作时，系统的运动是一种同步运动，称为主振动。系统作主振动时所具有的振动形状称为主振型，或称为模态。主振动时所具有的振动形状称为主振型，或称为模态。 在初始干扰下，系统的自在振动是n个主振动的叠加。对于特殊选取的n个广义坐标，使得系统运动微分方程的全部耦合项都不出现，这样的坐标称为主坐标。采用主坐标，n自在度线性系统的振动可当作n个单自在度线性系统的振动来分析，再经过叠加得到系统原来的振动，这种分析方法称为振型

26、叠加法。 振型叠加法适用于比例阻尼或振型阻尼系统。 固有振动固有振动 系统呼应自在振动、强迫振动、振型叠加法系统呼应自在振动、强迫振动、振型叠加法 传送函数、复频呼应函数传送函数、复频呼应函数 复模态分析法复模态分析法一、多自在度线性系统的固有振动1、作用力方程c2k2m2c1k1m1 tx2 tx1 t2F t1F图2-7 两自在度线性系统1 111 11 1221221111112212212222212212212212( )( )( )( )( )( )( )( )( )0( )0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mx tF

27、 tc x tk x tcx tx tkx tx tF tcx tkx tcx tx tkx tx tm x tF tcx tx tkx tx tF tcx tx tkx tx t11111122122222222222( )( )( )00( )( )( )x tx txF tmccckkkmcckkx tx txF t 2-412-42运动微分方程运动微分方程矩阵方式矩阵方式( )( )( )( )Mx tCx tKx tF t2-431200mMm12222cccCcc12222kkkKkk12()()()x txtx t12( )( )( )F tF tF t1111121111212

28、1222221222212121111212122212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxmmmcccmmmxcccxmmmcccxxxkkkkkkkkk122( )( )( )nnF txF txF t( )MxCxKxF t多自在度线性系统动力学方程矩阵方式多自在度线性系统动力学方程矩阵方式(2-44)0 xx ( )KxF t1刚度影响系数计算 假设外力以准静态方式施加于系统，即11100 1 00TTjjjnxxxxxx(2-45)再假定作用于系统的一组外力使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其它各个坐标上都不产生位移，即产生的位移向量为：影响系数法：根据质量影响系数、刚

29、度影响系数、阻尼影响系数分别确定M、K、C，再建立作用力方程。( )MxCxKxF t 因此，所施加的这组外力在数值上正好是刚度矩阵的第j列，kij 是在第i个坐标上所施加的力。故刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第个i坐标上所施加的力。kij称为刚度影响系数。(2-46)njjjnnnjnnjnjkkkkkkkkkkkktF2112221111100100)( 现假设系统遭到外力作用的瞬间，只产生加速度而不产生位移和速度，即 0 xx pxM TTnjjjxxxxxx00100111 (2-47)再假定作用于系统的一组外力使系统只在第j个坐标上产生单位加速度

30、，而在其它各个坐标上都不产生加速度，即加速度向量为：2质量影响系数计算njjjnnnjnnjnjmmmmmmmmmmmmtF2112221111100100)(2-48)即所施加的这组外力在数值上正好是质量矩阵的第j列。因此，质量矩阵M中的元素mij是使系统在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。mij称为质量影响系数。 阻尼矩阵C中的元素Cij称为阻尼影响系数，其物理意义是：使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。阻尼矩阵普通是正定或半正定的对称矩阵，可以按工程上各种实际及阅历公式求出，或直接由实验数据确定。3阻尼影响系数计算2、惯性耦合及

31、弹性耦合 对式2-44所描画的n自在度线性系统的运动微分方程，假设矩阵中非对角元素非零那么称之为耦合项。质量矩阵中出现的耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现的耦合项称为弹性耦合。 耦合的物理意义可以简单地用两自在度系统为例阐明。22211211mmmmM221100mmM01x 02x 假设系统仅在第一个坐标上产生加速度，即假设系统仅在第一个坐标上产生加速度，即 , , , ,那那么：么：000011112211xmxmm 1211111222112110 xmxmxmmmm 结 论不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上产生惯性力；出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在其它坐

32、标上引起惯性力；不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；出现了弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在其它坐标上引起弹性恢复力。耦合的表现方式取决于坐标的选择，假设选用主坐标，可使得多自在度线性系统的运动微分方程完全解耦。主坐标指使多自在度线性系统运动微分方程的全部耦合项都不出现的坐标。它是求解多自在度线性系统的振动问题中的一个非常重要的概念，而单自在度线性系统中是没有的。3、主振动、固有频率、主振型固有振动( )0,0F tC时式2-44被改写成 0MxKx( )xf tMKtftfTT)()( 2-492-502-510)()(tfKtfMTT 描画系统的同步运动

33、由于在正定或半正定振动系统中，M正定、K正定或半正定 0TM0TK式2-51 20)()(2tftf sin()0( )0atf tatb2-522-532-54系统的运动方式为 因此，正定系统只能够出现的同步运动有两种：简谐振动。系统在各个坐标上都以一样的频率及初始相位作简谐运动。刚体运动。半正定系统除了能出现简谐振动之外，还能出现刚体运动这是一种可以无限远离原平衡位置的刚体运动，系统不发生弹性变形。sin()0( )()0(atx tatb简谐振动刚体运动）(2-55)假设把常数并入式2-55中 的各元素内，主振动这里指简谐振动可写成 (2-56)Tenee,21)sin(tx把式2-56

34、代入式2-49，得到代数齐次方程组 0)(2MK02MK0222221122222222221212112121221111nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk克莱姆法那么222210n(2-57)(2-58)(2-59)0)(2iiMK矩阵 称为特征矩阵，记为 )(2MK)(B)(11adjBBB)(BadjBIBeninnnnneinnnneinneninnneinneimkmkmkmkmkmk)()()()()()(2, 1, 11,21, 11, 1121 , 11 , 12111,21, 11, 1121111(2-60)(2-61)(2-62)(2-63)令

35、 ，解方程组2-63，得第i阶特征向量为1enTneeei1 ,1,21,iiia代入式2-55 将)sin(iiiitaxenneexxx22112-642-65在振动中把i称作第i阶主振型。主振型也称作固有振型或主模态。主振型仅取决于系统的质量矩阵M 、刚度矩阵K等物理参数。主振型是多自在度系统中的一个重要概念，在单自在度系统中是没有的。多自在度系统的固有振动是n个主振动的叠加。1 11122221( )sin()sin()sin()sin()nnnnniiiiix tatatatat把式2-57所描画的特征方程 改写为 0)(2MKMK22-662-6721)(KM121()K M2-6

36、82-69式2-68中的矩阵 的最大特征值是 ，而式2-69中的矩阵 )(1KM2n)(1MK 的最大特征值是 。 2114、主振型的正交性主振型之间关于质量矩阵和刚度矩阵具有正交性质主振型之间关于质量矩阵和刚度矩阵具有正交性质 式2-67 iiiMK2jjjMK2jTiijTiMK2jTijjTiMK22-702-712-722-73由式2-72和2-73相减，得 0)(22jTijiM0TijMij0TijKij2-742-752-76式2-75和式2-76阐明：对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。ji ，式2-73总成立，

37、令 显然，主质量 总是正实数，主刚度 在正定系统中是正实数，而在半正定系统中 除正实数外还可以是零。piiTiMMpiiTiKK式2-73pipiiMK22-772-782-79piMpiKpiKji1式2-75和2-77可合写成矩阵方式，即 由式2-76和2-78得 pjpiTKK00K112-802-812-82记 是主振型1100TTTipiiiijTijTTTpjjijjjMMMMMMMM 主振型正交的物理意义可以从能量角度解释主振型正交的物理意义可以从能量角度解释 )sin()(iiiitatq)sin()(jjjjtatqjijijjiiqqqqx位移呼应1122011102221

38、122iipiTTijijpjjjpiipjjijqqMTx MxqqMqqMqqM qM qTT系统动能jijpjipiTUUqKqKKxxU22212121系统势能222222221111cos()sin()222211cos ()sin ()22iiipiipjjpiiiiipiiiipiiiiiipiiETUM qK qMatKatK attK a212jjjpjjETUK a系统在第i阶主振动时的能量表达式： 由于主振型之间的正交性，系统的动能势能等于各阶主振动单独存在时系统的动能势能之和，而且对每一阶主振型，虽然其动能与势能在相互交换，但总和是一个常数恒定值，即各阶主振动之间不发生

39、能量交换或转换。5、振型矩阵与谱矩阵引入振型矩阵 ，也称之为模态矩阵，且定义为 n,21pTMMpTKK1200ppppnn nMMMM1200ppppnn nKKKK2-832-842-85主质量矩阵主刚度矩阵在式2-70中依次取 ，所得到的n个方程合并写成矩阵方式 ni, 2 , 1MKnnn22221ppMK对式2-86两边左乘 ，由式2-84和式2-85得 T(2-86)(2-87)(2-88)谱矩阵谱矩阵的表达式可写成ppKM1(2-89)6、主坐标及解耦Dyx )(tFKxxM )(tFDKDyDyMDDTTT (2-90)(2-91)(2-92)假设对同一系统所选择的两种不同坐标

40、x与y之间的变换关系有 K阵，M阵都是对称的MMTKKTMDDDMDMDDTTTTT)(KDDDKDKDDTTTTT)(恣意一个 n维向量 x都能独一的被表示成n个主振型的线性组合，即： nnx2211是新坐标: Tn,212-93而主振型是而主振型是 的坐标架。该式阐明，系统任何一种能够的运动的坐标架。该式阐明，系统任何一种能够的运动都可以用主振型或主模态的线性组合来描画。都可以用主振型或主模态的线性组合来描画。 第i阶主振型i对系统运动x的奉献的度量。 piTiiMMx将式2-93代入方程组2-49所描画的固有或自在振动方程，得0KMTT 0ppKM 2-942-952-96 由于主质量矩

41、阵 Mp ,主刚度矩阵 Kp都是对角阵，方程2-95或2-96中已不再存在坐标耦合，即解耦。因此，振型矩阵就是要寻觅的D阵,就是主坐标。 正那么坐标是主坐标中的一种特例。 x,21nTn,21正那么坐标： iiic(2-97)(2-98)正那么振型：1iTiM(2-99)将式2-98代入式2-99，得122piiiTiiiTiMcMcMpiiMc1ipiiM121ipipiiTipiiTiMKKMK相应于 的主刚度为 i(2-100)(2-101) 以正那么振型作为列的振型矩阵 称为正那么振型矩阵。 由式2-100知 把式2-97代入方程组2-49所描画的固有振动方程，得12,n 121)(p

42、MTMI KT0KMTT (2-102)(2-103)(2-104)(2-105)或0 I02iii (2-106)(2-107)例1：图2-8a是一个三自在度的弹簧质量系统，试分析固有频率、主振型、振型矩阵、主刚度矩阵 、主质量矩阵 、正那么振型矩阵 。 pKpM采用正那么坐标描画采用正那么坐标描画n n自在度位移的运动，能获得方式最简单的自在度位移的运动，能获得方式最简单的运动方程！运动方程！1x2x3x2k2kkkmmm(a)112-10111-1(b)(c)(d)图2-8解：系统的固有振动方程或自在振动方程为 00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 主

43、振动:)sin(321321txxxeee(a)(b)代入式a得00030203321222eeemkkkmkkkmk2km，式c改写成 令000310121013321eee令特征矩阵的行列式等于零，得特征方程0)45)(3(2c(d)(e)解之得: ， ，113243系统的固有频率为 mk1mk32mk23由特征矩阵的伴随矩阵得到22310(3)(2)131()1213(3)301313(3)(2)1adj KMadj假设选择上式右端矩阵的第1列，分别将 的值代入，得到三个主振型为 123f 振型图图2-8bd，显然第二阶主振型中有一个节点，而第三阶主振型中有两个节点，这由主振型内元素符号

44、的变化次数也可以判别。121110121113111102111321主刚度矩阵为12130111600101220106011 1031110012TpkkkKKkkkkkkk 主质量矩阵为mmmMMTp300020006 、 的非对角项等于零，阐明主振型是关于刚度矩阵及质量矩阵相互正交的。谱矩阵作为检验为pKpMmkmkmkkkkmmmKMpp400030001200060006310002100061122212334,kkkmmm即1233121116231322110202636132111623pppmmmMMMmmmmmm TK TMI 二、多自在度线性系统的呼应无阻尼多自在度线

45、性系统对初始条件的呼应自在振动无阻尼多自在度线性系统对恣意鼓励的呼应强迫振动有阻尼多自在度线性系统的呼应1、无阻尼多自在度线性系统对初始条件的呼应自在振动 n自在度无阻尼线性系统的自在振动方程： 设初始条件00(0),(0)xxxx(2-108)(2-109)012(0)(0)(0)Tnxxxx012(0)(0)(0)Tnxxxx0 KxxM 那么在正那么坐标下的自在振动方程为 x0TTMK2-1102-1110I或2-112该方程曾经全部解耦。 1x1TM11TPMM2-113且 。对于主坐标，那么有 。把式2-113代入式2-110，得TMx00(0)(0)TTMxMx00(0)(0)Ti

46、iTiiMxMx正那么坐标的初始条件 自在振动可描画为 2-1142-1152-1162-1172000(0)(0)iiiTiiTiiMxMx 自在振动的运动方式可写成(0)( )(0)cossiniiiiiittt由式2-110求出物理坐标下的自在振动为121213( )( )( )( )( )( )nniiittx tttt 2-1182-1192、无阻尼多自在度线性系统对恣意鼓励的呼应强迫振动 n自在度无阻尼线性系统在恣意鼓励下的强迫振动方程： 12( )( )( )( )TnF tF t F tF t2-120 x( )TTTMKF t( )IR t或2-121111222( )( )

47、( )( )( )( )( )( )TTTTnnnR tF tR tF tIR tF tR tF t2-122)(tFKxxM 式2-121的n个方程曾经全部解耦，第i个方程为 2( )iiiiR t 假设系统的初始条件为式2-109所示 00(0)1( )(0)cossin( )sin()() ( )tiiiiiiiiititttRtdR thd系统呼应：求解n自在度线性系统呼应的方法称为振型叠加法或模拟叠加法。2-1232-1242-125)()()(1tttxinii假设以普通的振型矩阵 取代正那么振型矩阵 x ( )TTTMKF t ( )PPMKQ t111222( )( )( )(

48、 )( )( )( )( )TTTTnnnQ tF tQ tF tQ tF tQ tF t 2-1262-1272-128或式2-128所描画的 n个方程都几经解耦，第 i个方程为 ( )iiPiPiiMKQ t21( )iiiiiPQ tM 或式2-126 11TpMM11TpxMMx 2-1292-1302-131初始条件：根据单自在度线性系统在恣意鼓励下的呼应可写出n自在度系统在第i个坐标的呼应000(0)1( )(0)cossin( )sin()1(0)1(0)iiitiiiiiiiiPiTiPTiPtttQtdMMxMMxM1100(0),(0)TTppMMxMMx2-1322-13

49、3 物理坐标下的系统呼应： 假设 F(t)是同一频率的简谐激振力向量，即 1( )( )niiixtt 0( )sinF tFt00TQF 00iTiQF 式2-1290siniiiPiPiMKQt002211iiiiiiPiPPiQQAKMKsiniiAt2-1342-2-2-2-把各个坐标的稳态呼应代入式2-得到系统对简谐鼓励的稳态呼应为 iitkQtipiiisin)11()(200211021( )( )( )sin(1)sin(1)iiinniiiiiPiTniiipiQx ttttKFtk 2-2-1402-141当 时，第s阶主振动的振幅会变得很大，称系统发生了第s阶共振，式2-

50、141可以写成系统对简谐鼓励的稳态呼应除了采用振型叠加法之外，还可采用直接解法求得。s02()( )sin(1)iTssPiFx ttK ( )sinx tBt将式2-143代入式2-120，得 20()KMBF2-1422-1432-144设n阶方阵H是无阻尼系统的幅频呼应函数矩阵，且定义 11121212222122( )()nnnnnnHHHHHHHHKMHHH由式2-144解得 0BF H0( )sinx tHFt系统的稳态呼应： 2-1452-1462-147与式2-141比较得出21( )(1)iTniiiiPiHK或直接推导： 2112112121( )()() ()()()TT

51、TTTppHKMKMKMKM 把式2-149展为级数方式，即式2-148、式2-149称为幅频呼应函数矩阵的模态展开式。假设采用正那么模态取代主模态，式2-148、式2-149可以改写成 2221( )()TnTiiiiHI2-1482-1492-150 的物理意义 :把上式代入式2-147得( )ijH00( )sin00sin00TjF tFtFt1011112120221222030220sin( )0sin( )( )sin0sin( )0jjnjjnjjjnnnnnH Ftx tHHHH Ftx tHHHx tFtH Ftx tHHH仅在系统第j个坐标上有简谐鼓励而相应于第i个坐标的

52、幅频响应函数。例2：假设图2-8所示系统中左边第一质量上作用有激振力试求系统的稳态呼应。 tFHtxjijisin)()(00( )( )siniijjx tHFt(2-151)(2-152)10( )sin,1.7kF tFtm解：知系统的固有频率为 正那么振型矩阵： 1233,2kkkmm 激振力向量： 0( )sin00TF tFt 正那么坐标下的激振力向量：0sin( )( )1326TTFtR tF tm 第一个正那么方程是20111sin6Ftm 相应的稳态呼应： 010221( )sin0.216sin6iFmttFtkm 同样可解出第2个、第3个正那么

53、方程的稳态解稳态呼应20( )6.43sinmtFtk 30( )0.520sinmtFtk系统的稳态呼应 由于激振频率接近第二阶固有频率，在稳态呼应中第二阶振型占主要成分。 1000232( )13( )( )( )0.088 2sin2.630sin0.212sin( )132x tFFFx tx tttttkkkx t 3、有阻尼多自在度线性系统的呼应(1) 阻尼矩阵的近似处置方法x ( )TTTTMCKF t ( )pppMCKQ tTpCC 2-1532-154)(tFKxxCxM 该条件较为苛刻，普通的有阻尼多自在度系统不满足式2-155所给出的条件，因此主坐标方法曾经不再适用，振

54、动分析将变得非常复杂。为了能沿用无阻尼多自在度系统中的主坐标方法，工程上常对阻尼矩阵采用近似处置方法。方法1：非对角元素忽略法方法2：比例阻尼法方法3：实验测定法 解耦的充分必要条件：1111()()()()M C M KM K M C2-155pC方法1：非对角元素忽略法。忽略矩阵 中的全部非对角元素，取 TpCC1200ppppnCCCC式2-154曾经解耦, 第i个方程：( )piipiipiiiMCKQ t2-1562-157212( )iiiiiiipiQ tM 2-15822piiipiCM方法2：比例阻尼法。将矩阵C假设为比例阻尼，即 01Ca Ma K0101()TTpppCC

55、a Ma Ka Ma K 2-1592-16001011()222pipipiiiipiipiiCa Ma KaaMM2-161方法3：实验测定法。由于各种阻尼的机理很复杂，实践的阻尼矩阵C不容易准确测定或计算。当阻尼比较小的时候，常经过实验直接测定各阶振型阻尼比 ，以确定式(2-157)中的各个参数。矩阵 可由式2-156及式2-161得到。这种方法有较大的适用价值，但是只适用于各阶阻尼比 的情况。 0.2iipC(2) 有阻尼系统对恣意鼓励的呼应 利用上述对阻尼矩阵的几种近似处置方法所得到的矩阵 都是对角矩阵，称为主阻尼矩阵，此时主坐标下的强迫振动方程已全部解耦。故根据单自在度线性系统的振

56、动实际，可得到系统对恣意鼓励的呼应212( )iiiiiiipiQ tM ()0(0)(0)( )(0)cossin1( )sin()iiiitiiiiiidididittidipiditettQetdM 2-1622-163pC1( )niiixt 21diii计算有阻尼系统的呼应的步骤振型叠加法 对相应的无阻尼系统作固有振动分析，求出各阶固有频率及相应的主振型； 利用振型矩阵作坐标变换，使动力学方程解耦，阻尼矩阵采用近似处置方法； 计算主坐标下的初始条件和鼓励向量； 计算系统在主坐标下的呼应； 将主坐标下的系统呼应转换为原来物理坐标下的呼应。假设计算有阻尼系统在简谐激振力下的稳态呼应主坐标

57、下的稳态解 sinpiipiipiioiMCKQt22sinoiiiiiiipiQtM 1( )( )sin()noiiiiiipiQx tttK2221(1)(2)21iiiiiiiiarctg (2-163)(2-164)(2-165)(2-166)系统的稳态呼应：当 时，系统发生第 s阶共振，011( )( )sin()Tnniiiiiiiipix ttFtKs 1,22sss0( )sin()22TssspsFx ttK2-1682-169当振型阻尼比较小时，系统的振动形状接近第当振型阻尼比较小时，系统的振动形状接近第s s阶主振型，即阶主振型，即因此，可以用普通的共振实验方法近似测定

58、系统的各阶固有频率及相应的主振型。由式2-168还可以看到，假设激振力幅向量与第s阶主振型正交，即 ，式2-168的展开式中不包括相应于 的这一项，故未被鼓励所激发的主振型对系统的呼应没有奉献。00TsFs(3) 传送函数矩阵与幅频呼应函数矩阵 系统的传送函数矩阵 ( )MxCxKxF t2()( )( )MsCsK X sF sLaplace变换，假设零初始条件21( )()G sMsCsK(2-170)(2-171)( )( ) ( )X sG s F s(2-172)系统的输出与系统的输出与输入关系：输入关系：故传送函数矩阵只取决于系统本身的质量、刚度及阻尼物理性质参数，且 令 由式2-

59、171、式2-173得到系统的幅频呼应函数矩阵 1211212121( )() ()()()TTTTTnTiipppipipipiG sMsCsKMsCsKM sC sKM sC sK si2121211( )()(12)iTniiipippiiTnnTiiiiiiipiiiipiHKMi CKMi ceKiK 2-1732-174频率域内输出与输入的关系：( )( ) ( )XHF21( )(12)nrisirsipiiiiHKi 2-1752-176幅频呼应函数矩阵只取决于系统本身的物理参数，它在计算系幅频呼应函数矩阵只取决于系统本身的物理参数，它在计算系统呼应以及确定系统的动力特性学方面

60、都很有用途。统呼应以及确定系统的动力特性学方面都很有用途。 第四节第四节 普通粘性阻尼多自在度线性系统的呼应普通粘性阻尼多自在度线性系统的呼应 首先来调查普通粘性阻尼系统的矩阵特征值问题。首先来调查普通粘性阻尼系统的矩阵特征值问题。 有非零解的充要条件克莱姆法那么是有非零解的充要条件克莱姆法那么是 式式2-1792-179描画了普通粘性阻尼系统的特性方程，它描画了普通粘性阻尼系统的特性方程，它是关于是关于的的2n2n次代数多项式方程。次代数多项式方程。txe2-1772-1782-1790)(2KCM0KxxCxM 02KCM 当阻尼矩阵不能近似处置时，主坐标法振型叠加法不能沿用，可采用形状方