2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题三第1讲等差数列与等比数列Word版含解析

1、第1讲 等差数列与等比数列2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171.等差数列与等比 数列基本量的运算第8题第9题数列是江办咼考考查的热点.考查的重 点是等差、等比数列的基础知识、基本 技能、基本思想方法.一般有两道题， 一道填空题，一道解答题.在填空题中， 突出了 “小、巧、活”的特点，属中高 档题，解答题主要与函数、方程、推理 证明等知识综合考查，属中等难度以上 的试题，甚至是难题，多为压轴题.2 .等差数列与等比数列的综合运用第20题第20题要点整合Q夯基释铤“1.必记的概念与定理(1)an与S的关系Si,n = 1,Sn= a1 + a2+ an, an =Sn

2、 SnT ,n2 .等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an an1 =常数(n > 2)an =常数(n > 2)an-1通项公式an= a1+ (n 1)dan = a1 qn 1(q* 0)判定方法(1) 定义法(2) 中项公式法：2an+1 = an+ an+2(n > 1, n N*)? an为等差数列(1) 定义法(2) 中项公式法：a2+1 = an an +2(n> 1, n N*)(an工 0) ? an为等通项公式法：an= pn+ q(p、q为常数)? an为等差数列前n项和公式法：Sn= An2+Bn(A、B为常数)? an为等差数列比数列(3

3、)通项公式法：an= c qn(c、q均是不为0的常数)? an为等比数列判定方法(5) an为等比数列，an>0? log ban为等差数列(4) an为等差数列？ ban为等比数列(b>0且b丰1)2 记住几个常用的公式与结论(1)等差数列的性质 在等差数列a*中，an= am+ (n m)d, d=学孑； 当公差d丰0时，等差数列an的通项公式an= ai+ (n 1)d = dn+ ai d是关于n的一次 函数，且斜率为公差 d;前n项和Sn= nai + “； 1)d =务2+ (ai pn是关于n的常数项为 0的二次函数. 若公差d>0,则数列为递增等差数列，若公

4、差 d<0,则数列为递减等差数列，若公差 d =0,则数列为常数列. 当 m+ n= p + q 时，则有 am + an= ap+ aq,特别地，当 m + n= 2p 时，则有 am + an= 2ap. 若an是等差数列，Sn, S2n Sn , S3n S2n ,也成等差数列. 在等差数列an中，当项数为偶数 2n时，S偶一S奇=nd;项数为奇数2n 1时，S奇一S 偶=a 中，S2n-1 = (2n 1) a 中(这里 a 中即 an), S 奇：S 偶=n： (n 1). 若等差数列an、bn的前n项和分别为 An、Bn,且= f(n),则齐 :21) g =詈: =f(2n

5、 1). “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增an > 0anW 0等差数列中，前 n项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组(或)an+ 1W 0an+ 1 > 0确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前 n项和是关于n的二次函数，故可转化 为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N*. 如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且 新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.等比数列的性质在等比数列an中, 当 m+ n= p + q 时，则有 am an= ap aq,特别地，当 m+

6、 n = 2p 时，则有 am an= ap. 若an是等比数列，且公比 q 1则数列Sn , S2n Sn, S3n- S2n,也是等比数列.当q = 1,且n为偶数时，数列Sn , Spn Sn, S3n S2n，是常数列0, 0, 0,，它 不是等比数列.若ai>0, q>1，则an为递增数列；若ai<0, q>1,则an为递减数列；若ai>0, 0<q<1, 则an为递减数列；若ai<0, 0<q<1,则an为递增数列；若q<0,则an为摆动数列；若q = 1, 则an为常数列.3.需要关注的易错易混点(1) 用定义证明

7、等差数列时，常采用的两个式子 an +1 an= d和an an-1 = d,但它们的意义不同，后者必须加上“ n2”，否则n = 1时，a0无定义.(2) 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.(3) 由an+1 = qan, qM 0并不能立即断言an为等比数列，还要验证0.等差数列与等比数列基本量的运算典型例题(1)(2019高考江苏卷)已知数列an(n N*)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 + a8= 0, S9 = 27,贝U Sb 的值是.(2)(2019苏北三市高三模拟)在公比为q且各项均为正数的等比数列 an中，Sn为an的前1口n项和.

8、若a1= q2,且S5= S2+ 2,贝U q的值为.【解析】(1)通解：设等差数列 an的公差为d,贝V a2a5 + a8= (a1 + d)(a1 + 4d) + a1 + 7d =a2+ 4d2+ 5a1d+ a1 + 7d= 0, S9= 9a1 + 36d = 27,解得 a1 = 5, d= 2,贝V S8= 8a1 + 28d =40 + 56= 16.优解：设等差数列an的公差为d. S9= 9(a1：a9)= 9a5= 27, a5= 3, 又 a2a5+ a8= 0,则 3(3 3d)+ 3+ 3d= 0,得 d= 2,贝U Sb= 8(a1+ a8)= 4(a4 + a

9、5)= 4(1 + 3) = 16.1(2)由题意得，a3+ a4+ a5= 2,又 ai =，所以 1 + q + q (2019苏州市高三调研)已知an是等差数列，a5= 15, a10 = 10,记数列an的第n项到第n + 5项的和为Tn，则|Tn取得最小值时的n的值为a1 + 4d= 15,a1 = 35= 2,即 q解析由得，从而等差数列an的通项公式为 an= 40 5n,得Tna1 + 9d= 10d= 5=(40 5n)+ (15 5n) = 165 30n,因为 |Tn|> 0,又 n N*, 故当n= 5或6时，|Tn|取得最小值15.+ q 1 = 0,所以 q=

10、 二,又q > 0,所以q =号.【答案】(1)16 -答案5或62(1) 等差(比)数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量a1, an, d(q), n, Sn,知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.(2) 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d(q)是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.对点训练1 (2019 苏省高考名校联考(一)设Sn为数列an的前n项和，若数列an与数列 严+1an(t V 1)分别是公比为q, q'的等比数列，贝U q+ q的取值范围为解析若q = J，反之，当t=匚时，+

11、 t= q1 qan 公比为 q ,即 q'= q 由 t V- 1，得-v1 , q > 1 , q+ q '1=q+ ->2,故q+ q的取值范围是q答案(2 , +8 )则詈+匸n + t,不成等比数列，故-m 1则S；+ t = qn-1( 1 q) + t,考虑前三项1 +1,宁+1,巴戸2-+ t成等比数列得，t =1qn-1(1-q)成等比数列，此时,等差、等比数列的判断与证明典型例题制丄(2019江苏名校联考信息卷)已知数列an的各项均为正数，其前 n项和为Sn,且对任意的 m , n N*，都有(Sm+ n+ Sl)2 = 4a2ma2n.(1)求

12、養的值；求证：an为等比数列.【解】(1)由(Sm + n+ Sl)2= 4a2na2m,得(S2+ Si)2= 4a2,即(a2 + 2ai)2= 4a2.因为 ai>0, a2>0,所以 a2 + 2ai = 2a2,即一=2.证明：法一： 令 m= 1, n = 2,得(S3+ Si)2= 4a2a4,即(2ai+ a2+ a3)2= 4a2a4,令 m= n= 2,得 S4 + Si = 2a4,即 2ai + a2+ a3= a4.a2又-=2,所以 a4 = 4a2= 8ai, a3= 4ai.由(Sm+n + S )2 = 4a2na2m,得(Sn+1+ Si)2=

13、4a2na2, (Sn+2+ Si)2= 4a2na4.两式相除，得即 Sn + 2+ Si = 2(Si + 1 + Si), 从而 Sn+3+ Si = 2(S +2+ Si).以上两式相减，得 an + 3= 2an+ 2,故当n3时，an是公比为2的等比数列. 又 a3= 2a2= 4ai,从而 an= ai 2n_1, n N*.显然，an= ai 21满足题设，因此an是首项为ai,公比为2的等比数列. 法二 1：在(Sm+ n+ Si)2= 4a2na2m 中， 令 m = n,得 S2n+ Si = 2a2n.令 m= n+ 1 ,得 S2n + l + Si = 2 .：a2

14、na2n+ 2,在中，用n + 1代替n得，S2n+2+ Si = 2a2n + 2 . 一，得a2n+ 1 =2pa2na2n + 2 2a2n = 22i&a2n+ 2 pOn), 一， 得 a2n + 2= 2a2n + 2 2 ,； a2na2n +2= 2 a2n+2 C：.；a2n + 2：a2n), 由得 a2n+ 1 = ,'a2na2n+ 2.将代入，得a2n +1 = 2a2n , 将代入得a2n +2= 2a2n + 1 , 所以竺二=320.1 = 2.a2n + 1a2n又巫=2,从而 an = a1 2n1, n N*.a1显然an= a1 2n1满

15、足题设.因此an是首项为a1,公比为2的等比数列.递推数列问题常见的处理方法an与2a1,(1) 将第n项和第n +1项合并在一起，看是否是一个特殊数列；若递推关系式含有Sn ,则考虑是否可以将 an与Sn进行统一.(2) 根据递推关系式的结构特征确定是否为熟悉的、有固定方法的递推关系式向通项公式的转换类型，否则可以写出数列的前几项，看能否找到规律,即先特殊、后一般、再特殊.对点训练3.设Sn为数列an的前n项和，对任意的n N*，都有Sn= 2 an,数列bn满足b1 = bn 1*bn= !+“ 故数列an的通项公式为an = 2, n N).(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项

16、公式；1判断数列R是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式.解(1)当 n = 1 时，a1 = S1 = 2 a1,解得 a1 = 1;当 n2 时，an = Sn Sn- 1 = an-1 an ,an1*即=-(n>2, n N ).an-12'1所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列，(2)因为 ai= 1,所以 bi= 2ai= 2.因为bn=加,所以1 =丄+ 1,bn bn-11 1即斤=1(n -2).1 1所以数列甬是首项为2,公差为1的等差数列.1 12n 12所以bn= 2 + (n 1) = 2，故数列 bn的通项公式为bn= 2n 1 等差数列

17、与等比数列的综合运用典型例题制6 （2018高考江苏卷）设an是首项为a1,公差为d的等差数列，bn是首项为b1,公 比为q的等比数列.(1)设 a1 = 0, b1 = 1, q= 2,若 |an bn|< b1 对 n= 1, 2, 3, 4 均成立，求 d 的取值范围;(2)若 a1 = b1>0, m N*, q (1, m 2,证明：存在 d R,使得 |an bn|w b1 对 n= 2, 3, m+1均成立，并求d的取值范围(用b1, m, q表示).【解】(1)由条件知：an= (n 1)d, bn = 2n1,因为 |an bn|w b1 对 n= 1, 2, 3

18、, 4 均成立，即|(n 1)d 2n1|< 1 对 n= 1, 2, 3, 4 均成立，75即 1 < 1, 1 <d< 3, 3W 2d< 5, 7< 3d< 9,得d< -, 275因此，d的取值范围为3 5 .(2)由条件知：an= b1+ (n 1)d, bn= b1qn 1.若存在 d,使得 |an bn|w b1(n= 2, 3，m+ 1)成立，即|b1 + (n 1)d b1qn 1|< b1(n= 2, 3,，m+ 1),n 1 2n 1即当 n= 2, 3，m+ 1 时，d 满足q厂b1< dw b1.n 1n 1

19、因为 q (1, m 2,则 1<qn1< qm< 2,_qn 1 2qn 1.从而 .b1<0,.b1>0,对 n= 2, 3，m+ 1 均成立.n 1n1因此，取d = 0时，|an bn|< b1对n = 2, 3，m+ 1均成立.qn_ 1 _ 2qn_ 1下面讨论数列 -的最大值和数列 一 的最小值(n= 2, 3,，m+ 1).n 1n 1 当 2wnw m 时，匕-qZ = nqn-n-2= n (qn-qn 9- qn+ 2n n 1n (n 1)n (n 1)1当 1 v q< 2m时，有 qnw qm< 2,从而 n(qn q

20、n 1) qn + 2>0 .qn1 2因此，当2w nW m+ 1时，数列-单调递增，n 1qn 1 2qm 2故数列的最大值为q.n 1m 设 f(x)= 2x(1 x),当 x>0 时，f' (x) = (In 2 1 xln 2)2x<0,所以f(x)单调递减，从而f(x)<f(0) = 1.1w 2"彳1f n<1，£n q (n 1) 当 2 w n w m 时，q-yn 1因此，当2w nW m+ 1时，数列qn 1n 1单调递减，故数列门1必的最小值为/.mb1 (qm 因此，d的取值范围为2)m ，mb1qm等差数列与

21、等比数列综合问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.首项和公差(公比)是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方 法.对点训练4. (2019江苏省高考名校联考(九)已知单调递增的等比数列 an满足a1 + a2= 6, a3= 8, 正项数列bn的前n项和为3,且43= V+ 2bn+ 1.(1)求数列an的通项公式；求证：对任意实数 m,数列bn+ mbn+1都是等差数列，并求该数列的公差;(3)设 Cn =an bn bn1,n2,dn =an (15 bn+1)bn+1一 2bn + 1bn+1求数列Cn的前n项和Tn,并比较Tn与dn的大小.a

22、1q2= 8,解（1）设数列an的公比为q，则1+ q）= 6,解得2 (舍去),或q= 3a1 = 2,q= 2,所以数列an的通项公式为an = 2n.当 n= 1 时，4bi= b1+ 2bi+ 1,所以 bi= 1,当 n2 时，4(S Sn-1)= 4bn= bn + 2bn + 1 (bn- 1 + 2bn-1 + 1),所以(bn + bn- 1)(bn bnT 一 2) = 0,因为 5+ bn- 1>0,所以 bn bn-1 = 2,所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，所以bn= 2n - 1.因为 bn +1 + mbn+2 (bn+ mbn +1)= (b

23、n + 1 bn) + m(bn + 2 bn +1)= 2 + 2m,所以对任意实数 m,数列bn+ mbn+1都是等差数列，且该数列的公差为2n （ 2n 3）2n+12n因为当 n > 2 时，6 =（ 2n 1） （ 2n + 1）= 2n + 1 2n 1'又 C1 =2+ 2m.22也符合此式,3?n+ 1所以Cn=,2n + 1 2n 121+12 + 1 21+12“+12*2“ + 1所以 Tn= (- 2) + (- )+()= 2.' 353 '、2n+1 2n 12n +1F an (15 bn+1) 2bn+1 2n+1 (7 n)乂 d

24、n= 2,2nbn+12n+ 1”、，2n+1- .2n+1 (7 n)- 2n+1 (n 6)所以 Tn dn = 2 2=2n+ 12n + 12n + 12n+1 ( n 6)当 n<6 时，<o ,所以 Tn<dn；2n + 1当 n = 6 时，2" 1 (n 6)= 0,所以 Tn= dn；2n+ 12n+1 ( n 6)当 n>6 时，>0,所以 Tn>dn.2n + 1专题强化0粹练提能a201. （2019南京模拟）在等比数列an中，a2a6= 16, a4+ a8 = 8，则兀解析法一：设等比数列an的公比为q,由a2a6= 1

25、6得a1q6= 16,所以a1q3= ± .由a4 + a8= 8,得 a1q3(1 + q4)= 8,即 1 + q4= ±,所以 q2= 1.于是譽=q10= 1.a4 = 4,所以a8= 4a10由等比数列的性质，得a4= a2a6= 16,所以a4=± 4, 又 a4 + a8= 8,a44,a4 4,a 20或因为a2= a4a8>0,所以则公比q满足q4= 1, q2= 1,所以 =q10= 1.a8= 12.a8= 4,a10答案12 .(2019宿迁模拟)若等差数列an满足a2 + S3 = 4,aa+ S5= 12,则a4+ S7的值是.解

26、析由S3= 3a2,得 a2=1,由S5 = 5a3,得a3= 2,贝Ua4= 3,S7= 7a4,贝Ua4+ Sz= 8a4=24.答案24n+ 1 any aQ n3 . (2019 苏名校高三入学摸底 )已知数列an满足a1 = 2, an+1=, bn= 2Inann+ 2 an+ 2nan+ 1(n N*),则数列bn的通项公式是解析由已知得2+1 =f (n N*),n+an + 2n1所以 b2- b1= 1 + -, b3- b2= 2+n n 1 n2- 1- + =丁 ,2n 1 2n11则=+ n + -(n N ),即 bn+1 bn= n +(n N ),an+1 a

27、n221 12 ，bn bn-1= (n 1) + 2,n 1(n 1)22 1又 b1= 2 = 1,所以 bn=+ 1 =a12n2+ 1答案bn=累加得 bn b1= 1+ 2+ 3 + + (n 1)+2n2+ 12 .4.已知等比数列an为递增数列.a1>0，且 2(an+ an+ 2)= 5an+1,则数列an的公比 q解析因为 2(an+ an+ 2) = 5an+1,所以 2an(1 + q2) = 5anq,1所以 2(1 + q2) = 5q,解得 q= 2 或 q= 3 .因为数列为递增数列，且a1>0,所以q>1 ,所以q = 2.答案25 . (20

28、19苏锡常镇四市高三教学调研(一)中国古代著作张丘建算经中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里.那么这匹马最后一天行走的里程数为1解析由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为an,易知公比q =2则S7 =a1 (1 q1 一q _ _1 q20 + 1 q10_ 1 24+ 1 22 18'、S51、法二：因为=3,所以不妨设S5=a,S10= 3a,aM 0,易知S5,S10 S5,S15 S10,S20S15成等比数列，由S5= a,S10 S5 = 2a,

29、得Si5Sio= 4a,S20 S15 = 8a,从而S20=15a,所_S5S20 + S1015a + 3a 187.设数列an, bn都是等差数列，且 a1 = 25, b1= 75, a2 + b2= 100,那么an+ bn组成的数列的第37项的值为解析an, bn都是等差数列,则an+ bn为等差数列,首项为a1 + b1= 100,d = （a2+ b2） （a1+ b1）= 100 100= 0,所以an + bn为常数数列,第 37 项为 100.答案100)1127646647001271q= 2a1 1 128 ="6?a1= 700,所以 a1= 700 x

30、祜,所以 a7= a1q （2019南京市四校第一学期联考 ）已知各项均为正数的等比列an中，a2= 3, a4= 27,S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列anan+1的前n项和，若S2n= kTn，则实数k的值为 .解析因为各项均为正数的等比数列an中，a2= 3, a4= 27,所以a1= 1,公比q= 3,所1 x （ 1 一 32n ）32n 一 1以 S2n =1一: 1 J）= , an= 3n 1 .令 bn = anan+1 = 3n1 3n= 32n 1,所以 b1= 3,数列1 323 x （ 1 qn）3 （ 32n 1 ）32n 1bn为等比数列，公比q'=

31、 9,所以Tn=. c =因为S2n= kTn,所以一-1 982,3 （ 32n 1）4=k 8，解得 k = 3.“亠 4答案3 （2019泰州市高三模拟）已知公差为2的等差数列an及公比为2的等比数列bn满足= 700 x 访x 2 = 727,所以这匹马最后一天行走的里程数为 700答案函6. （2019苏州市第一学期学业质量调研）设S51S是等比数列an的前n项和，若S0 = 3，则S5S20 + S10S51解析法一：设等比数列an的公比为q,所以公比qM 1,所以Sb= a1(1 qf1),因为S51 q1 21若公比q为1,则盂=刁与已知条件不符， °二1,所以丄二禺

32、=1，所以q5= 2,所以 $S1031 q103S20 + S105ai + bi>0, a2+ b2<0 ,贝U a3+ b3 的取值范围是 .ai+ bi>0解析法一：由题意可得，该不等式组在平面直角坐标系aiObi中表示的平ai+ 2bi< 2面区域如图中阴影部分所示,则当a3 + b3= ai + 4+ 4bi经过点(2, 2)时取得最大值一2,则ai+ bi>0法二：由题意可得a3 + b3< 2.Ui*b)=0S|-i 0 123*1-2%L»警丫 u +2i-+2=0-3,则 a3+ b3= a1+ 4+ 4b1 = 2(a1+ b

33、"+ 3(a1+ 2b1)+ 4< 2,a1+ 2b1< 2故a3+ b3的取值范围是(一汽 2).答案(2)10.在数列an中，n N*，若an+ 2 an+1an + 1 an=k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断: k不可能为0; 等差数列一定是“等差比数列” 等比数列一定是“等差比数列”“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是解析由等差比数列的定义可知，k不为0,所以正确，当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列,所以错误；当an是等比数列，且公比q =1时，an不是等差比数列，所以错误

34、；数列0, 1, 0, 1,是等差比数列，该数列中有无数多个0,所以正确.答案11. (2019 宝鸡模拟)已知数列an满足 a1 = 5, a2= 5, an+1= an+ 6an-1(n2).(1)求证：an +1 + 2an是等比数列;求数列an的通项公式.解证明：因为an+1 = an+ 6an-1 (n2),所以 an+1 + 2an = 3an+ 6an-1 = 3(an + 2an-1)(n> 2).又 ai = 5, a2= 5,所以 a2 + 2ai= 15,所以 an+ 2an-1工 0(n > 2),an+1 + 2an所以一 -=3(n > 2),an

35、+ 2an1所以数列an+1+ 2an是以15为首项，3为公比的等比数列.由(1)得 an+1+ 2an= 15X 3n_ 1= 5x 3n,则 an+ 1= 2an+ 5 x 3n,所以 an+1 3n 1 = 2(an一 3n).又因为a1 3= 2,所以an 3n0,所以an 3n是以2为首项，一2为公比的等比数列.所以 an 3n= 2X ( 2)n 1,即 an= 2x ( 2)n 1 + 3n(n N*).1 一12. (2019 苏州市高三模拟)已知数列an满足：a1 = 0, an+1 an= p 3n 1 nq, n N*, p, q R.(1)若q= 0,且数列an为等比数

36、列，求p的值;(2)若 p= 1,且a4为数列an的最小项，求q的取值范围.解(1)因为q = 0, an+1 an= p 3n 1,所以a2= a11 1 ,+ p= 2+ p, a3= a2+ 3p= 2 + 4p.a4 a3< 09 3qw 027所以，即，所以3< q<纠.a5 a4> 027 4q > 04此时 a2 ai= 1 q<0, a3 a2= 3 2q<0,所以 ai>a2>a3> a4.当 n4 时，令 bn= an+i an, bn+1一 bn= 2 3n 1 q2 34 1 >0,所以 bn+ 1>bn,所以 OW b4<b5<b6<，即 a4< a5<a6<a7<.综上所述,当3< q w -时，a4为数列an的最小项，27即所求q的取值范围为3，27 .13.已知数列an，对于任意n>2,在an-1与an之间插入n个数，构成的新数列bn成 等差数列，并记在 an 1与an之间插入的这n个数的均值为 Cn-1.n2+ 3n 8(1)若 an=，求 C1 , C2, C3；(2)在(1)的条件下是否存在常数入使Cn +1入Cn是等差数列？如果存在，求出满足条