圆圆之间的位置关系

1、:drdrdr相交相切相离设圆心到直线的距离为d，半径为r。将直线与圆的方程进行联立，然后消元，得到一个一元二次方程。0:0:0: 相交相切相离相交 相切 相离第1页/共24页1.圆的切线过圆上一点的切线只有一条过圆外一点的切线有两条的方程为：，则相切与与圆直线lyxPryxl00222,:200ryyxx2.圆的割线相交，圆与直线222:0:rbyaxCCByAxl222drAB则弦长xO OydrBA00,yxP第2页/共24页圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系第3页/共24页回顾：两个圆的位置关系及其判定回顾：两个圆的位置关系及其判定ddddd外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含dr1

2、r2dr1r2r1-r2dr1r2d=r1-r20dr1-r2第4页/共24页两圆位置关系相离外切内切相交内含公切线条数图示两圆的公切线和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，公切线条数如下表：43120第5页/共24页类比猜想第6页/共24页例例1. 已知圆已知圆C1：x2y22x8y80， 圆圆C2：x2y24x4y20， 判断圆判断圆C1与圆与圆C2的位置关系的位置关系. 1( 1, 4),C 15r 2(2,2),C210r 2212( 1 2)42dC C 3 51212rrdrr221(1)(4)25Cxy解：圆 ：222(2)(2)10Cxy圆：1212510510rrrr而，则圆

3、则圆C1与圆与圆C2相交相交. 几何方法几何方法第7页/共24页能否用能否用代数方法代数方法判断两圆的位置关系？判断两圆的位置关系？ 分析：联立两圆的方程构成方程组分析：联立两圆的方程构成方程组; ;再再根据方程组的解的个数判断两圆的位置根据方程组的解的个数判断两圆的位置关系关系. .例例1. 已知圆已知圆C1：x2y22x8y80， 圆圆C2：x2y24x4y20， 判断圆判断圆C1与圆与圆C2的位置关系的位置关系. 第8页/共24页222228804420 xyxyxyxy解：联立两个方程组得- -得：210 xy 把上式代入2230 xx2( 2)4 1 ( 3)16 所以方程有两个不相

4、等的实根 x1=-1，x2=3把x1，x2代入方程得到y1=1，y2=-1所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(-1，1,),B(3,-1).联立方程联立方程组组消去二次消去二次项项消元得一元消元得一元二次方程二次方程用用判断两判断两圆的位置关圆的位置关系系第9页/共24页小结：判断两圆位置关系小结：判断两圆位置关系几何方法几何方法两圆心坐标及半径（化标准方程） 圆心距d（两点间距离公式） 比较d和r1+r2, | r1- r2 |的大小.代数方法代数方法222111222222()()()()xaybrxaybr 消去消去y y02rqxpx0:0:0: 相交内切或外切相离或内含直观，但不能

5、 求出交点能求出交点，但=0， 0时，不能判圆的位置关系。第10页/共24页结论结论:m=9时圆时圆C1与圆与圆C2内切内切. 练习练习.已知圆已知圆C1： x2y24x+30 圆圆C2： x2y2-m0求求:m为何值时圆为何值时圆C1与圆与圆C2内切内切变式变式: 当当0m9时圆时圆C1与圆与圆C2的位置关系的位置关系结论: :当0m10m1时圆C1C1与圆C2C2外离 当m=1m=1时圆C1C1与圆C2C2外切 当1m91m9时圆C1C1与圆C2C2相交第11页/共24页变式变式1. 已知圆已知圆C1：x2y22x8y80， 圆圆C2：x2y24x4y20， 求圆求圆C1与圆与圆C2公切线

6、所在直线方程公切线所在直线方程. 第12页/共24页结论：结论：求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的一般式方程相减AB222228804420 xyxyxyxy 联立两圆方程得- -得：210 xy 解: 由例1已求得交点A(-1，1,),B(3,-1). 所以直线AB方程：x+2y-1=0 xyO O第13页/共24页练习：练习： 已知圆已知圆C1: x2+y2-4x-3=0和和C2: x2+y2-4y-3=00 xy求两圆公共弦所在的直线方程；第14页/共24页变式变式2. 已知圆已知圆C1：x2y22x8y80， 圆圆C2：x2y24x4y20， 求圆求圆C1与圆与圆C2公共弦的

7、长度公共弦的长度. 解法一：例1中求得交点A(-1，1,),B(3,-1). 所以公共弦|AB|=AB52解法二: :先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解xyO OCD第15页/共24页变式2: 已知圆C1：x2y22x8y80， 圆C2：x2y24x4y20， 求圆C1与圆C2的公共弦长.xO Oy解法二：dr两圆的公共弦AB方程为：圆C1的圆心为C1 (-1，-4),半径为5C2C1x2y10，ABC1 到AB所在直线的距离为| C1 D|：522114212dD在RtABC1 中，由勾股定理得DB=552 AB第16页/共24页xyO O二、圆系方程二、圆系方程 第17页/共2

8、4页回顾：回顾：过两直线交点的直线系方程过两直线交点的直线系方程 1111:0l Ax By C2222:0l Ax B y C1112220AxB yCA xB yC（） （）过过l1与与l2交点的直线系方程：交点的直线系方程： 圆圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0同理：同理：过圆交点的圆系方程过圆交点的圆系方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1且不包括圆且不包括圆C2 )第18页/共24页当当=-1=-1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程时，表示两圆的公共弦所在的直线方程. .2. 过

9、圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线 l:Ax+By+C=0的交点的圆的方程： x2+y2+Dx+Ey+F+(A(Ax+By+C)=0)=0 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1且不包括圆且不包括圆C2)即：即：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=01. 过圆过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与与 圆圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程：的交点的圆的方程：一般式的圆的方程相减二、圆系方程二、圆系方程 第19页/共24页例例3.求圆心在求圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆上，并且经过两圆C1

10、: x2+y2 -4x-3=0和和C2: x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程的交点的圆的方程;222243(43)0,(1)xyxxyy 226230 xyxy则圆心坐标为：则圆心坐标为：2211443(1)0,(1)xyxy即：（）（）2211（，）解：设所求圆的方程：解：设所求圆的方程：依题意：依题意：2211-4=0解得：解得：13=-代入（代入（1）并整理得所求圆的方程是：）并整理得所求圆的方程是：第20页/共24页22(2)(1)4(347)0,(1)xyxy22550,22xyx所求圆过点(1,2)，解：设所求圆的方程：解：设所求圆的方程：22(1 2)+( 2+1)-4+

11、( 3 1-4 2-7) =0解得：解得：12=代入（代入（1）并整理得所求圆的方程是：）并整理得所求圆的方程是：练习题：过直线练习题：过直线3x-4y-7=0和圆和圆(x-2)2+(y+1)2=4的的 交点且过点交点且过点(1,2)的圆的方程的圆的方程 .22565()416xy即第21页/共24页作业：试卷作业：试卷课堂小结：一、两圆位置关系及其判断方法：(1)代数法代数法: :由方程组的解的个数来判断；由方程组的解的个数来判断；(2)几何法几何法:由圆心距由圆心距d与与r1r2 、 r1-r2的关系判断。的关系判断。二、圆系方程二、圆系方程-适用于：适用于：(1)(1)求求过两圆交点的圆的方程过两圆交点的圆的方程或或公共弦的方程，公共弦的方程，(2)(2)求求过直线与圆的交点的圆的方程过直线与圆的交点的圆的方程 ；第22页/共24页 集合 A(x，y)|x2y24和 B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 AB 中