2017北师大版数列的综合应用专项强化训练

1、2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1设%, 4分别为等差数列与等比数列，a讦bL4g=b尸1,则下列结论正确的是()A. a2b：B. a3b5DaGbG【解析】选A.设a的公差为d, (bn)的公比为q,V2由题可得d=-1 ,q= 2 ,于是a2=3b2=2V2,故选A.【加固训练】若数列x, a1?a2, y成等差数列,x, bbb2, y成等比数列，则2(a+ a2)blb2的取值范围是_ .【解析】由等差数列与等比数列的性质得J+ 所以(s+a?尸二4+刀2_2/丿bib2xy y x?当x, y同号时,S2；当x, y异号时-2

2、.y xx y所以竿字-的取值范围为(-8,0 U 4,+8).Olt2答案：(-8, 0 U 4, +8)2.己知数列aj, bj满足屮1,且,步是函数f (x)=x:-bnx+2r-的两个零点，则等于()A.24B. 32C. 48D. 64【解析】选D.依题意有anaOM=2n,2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练所以a皿二2円两式相除得空垃二2,an所以aba3, a5,成等比数列,a2, a4, a6,也成等比数列.而3i=1 , &2=2,所以a,0=224=32, atl=125=32.又因为an+ani=bn,所以bio=aio+aii=64.3.设aj (n

3、N*)是等差数列,S是其前n项的和， 且S5S8,则 下列结论错误的是()A. dS3D. Ss与S；均为2的最大值【解析】选C.因为a是等差数列，(9d?al2所以S;n2+ Sn.因为SsSd, S6二S7Ss,所以Sn关于n的二次函数开口向下，对称轴为n=6. 5,所以d0, S6与S?均为5的最大值，S90时，若x二n,nWN；则f (n) =f (n-1)+1=-=f (O)+n=n;若x不是整数，则f (x) =f (x-1) +1 =f (x-x-1) + x +1,其中x代表X的整数部 分，由f (x) =x得f (x-x -1) =x-x -1,其中-1x-x-10, y0)

4、,已知数列an满F(n,2)足:斫F(2,n)(nWN*),若对任意正整数n,都有比(kNj成立，则 比的值为()8A. 9B. 2C. 1D.42口十1【.解析】选A. an=-y,包竺4畀二.亍,2n2- (n+1)2=n2-2n-1，只有当n2an二(n+1)2n2n=1,2 H+,2n2(n+1)2,即当n$3时,an+1a,故8数列a“中的最小项是ai, a2, a?中的较小者，ai=2, a2=1, a3=,故ak的值 为!5.甲、乙两间工厂的月产值在2012年1月份时相同，甲以后每个月比 前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分2017北师大版 数列的综合应用

5、 专项强化训练比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙 两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有()A.甲的产值小于乙的产值B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定【解析】 选C.设甲各个月份的产值构成数列a ， 乙各个月份的产值, 构成数列,则数列aj为等差数列，数列b为等比数列，且a二bi, an-bii,故a6-1bg=b6,由于在等差数列a中的公差不等于0,故a冲舫,上面的等号不能成立，故a6b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型，将

6、实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问 题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植 一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁 边，现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取 树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)A. 1和20B. 9和10C.9和11D. 10和112017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练I 1丨1 2 i19 20则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=1

7、0(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10 (20-i )=10阡屮)(i7+(i+20-i)(20-i)L0(i2-21i+210).2 2所以当i = 0或门时,S有最小值.二、填空题6.对正整数n,设曲线y=xn(l-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为则数列W + J的前n项和是_ .【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为y二nx”(n+1)x；所以曲线在x=2处的切线斜率为k=nX 2小-(n+1) X 2匕-(n+2) 2n_1,切点为(2, -2n),所以 切线 方程为y+2=- (n+2) 2n_1(x-2),令x=0得，y+2= (

8、n+2) 2n,即y= (n+1) 2n,所以a= (n+1) 2n,所以禽=2：数列鲁是以2为首项，2为 公比的等比数列，所以其前n项和Sn二芈芋二2叫2.12答案：2”1-27. (2015昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格， 即根据商品的最低销售限价弘最高销售限价b (ba)以及实数x(0 xa, ba#=0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x二因为0 x1,所以最佳乐观系数x的值等于三空.答案:字28.数列%的前n项和为Sn,若数列%的各项按如下规律排列：1 1 2 1 2 3 1 2 3 41 2n-12 3 3 4 4 4 5 5 5 5 . n n

9、n,有如下运算和结论：3a21=8;2数列aba2+a3, a4+a5+a6,乞+直+直+加，是等比数列;2 ,n + n3数列aba:+a3, a4+a5+a6, a7+as+a9+a10,的前n项和为Tn= 4;54若存在正整数k,使SK10, SwlO,则a戶.其中正确的结论有_ .(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意，将数列a中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是1 +2+3+寻II nn+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于-n+l 2对于，注意到21字24耳2=28,因此数列a.中的第24项应 是第7

10、组中的第3个数，即324=1，因此正确.O1 +2+3+nn对于，设bn为中的数列的通项，则 S - - ,显然该数十JL2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于冒1）一+：因此224不正确，正确.对于，注意到数列的前6组的所有项的和等于学=0扌，因此满足条5件的比应是第6组中的第5个数，即ak=y,因此正确.综上所述，其中正确的结论有.答案:三、解答题1 n+ 19.己知数列%的前n项和为Sa,且第2 an= 2n an.求数列%的通项公式.设bn=n（2-SJ, nGN*,若集合M= n |bR , nWN*恰有4个元素，求 实数入的取值范

11、围.【解析】（1）方法一：由已知可得丑Jx工其中neNn+1 2 n所以数列半是公比为 m 的等比数列. 其首项为罕 w，所以即洛. 方法二：由已知可得沁Jx竺，3口2 n所以Qx学聖，旦二亠丄.a 1 21 &2 22 33 23 3口一1 2 n1以上各式累乘可=Q）n_1Xn.又a,=-,所以an琲.2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练由知，SF”令务+需1-12n-1 n2口十1 n* * 2n2n+lf当nN2时,bn4l-bn1bb2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练-得:an+1=2an,所以也二2(n$2, nENj.an由2S2=4SI+1得2(a

12、,+a2) =4a,+1.1又ai=-,所以a2=1,所以楚2,al1所以数列a是以-为首项，2为公比的等比数列.2所以a=2n_2.(2)因为bn=_3+1 og2an=-3+1 og22n 2=n-5,所以数列b是首项bF-4,公差d=1的等差数列.所以当nW5时，SW0,当n5时，bn0.从而当nW5时，有Tn= I th | + I bn |二一(b|+bn)二罕当n5时，有Tn=|bd + |b2|+-+|bn|二一blb2一b3一b4一b5+b6+bn-(bi+b2+bJ -2 (bi+b2+b3+b4+b5)【加固训练】己知等差数列%前三项的和为-3,前三项的积为8.求等差数列%

13、的通项公式.n(n-9)2卜20综上所述,T”=n（j_9）,n 5.2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练若如a3,內成等比数列，求数列aj的前n项和.【解析】 设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1,进而 得a刀3二-&即 -d) (a2+d)=_8,所以1-孑二-8,解得d二3.当d=3 Bf, ai+3=-1,得创二-4,此时an=-4+ (n1) X 3二3n-7;当d=-3时,a-3=-1,得务二2,此时an=2+ (n1) X (-3)二-3n+5.所以a“的通项公式为an=3n-7或an=_3n+5.(2) d3时,32=1,832, 3

14、i=4,此时a2, a3, ai成等比数列;当d=3时,ayT, a3=-4, a二2,此时a2, a3,內不是等比数列，故a=3n-7,这个数列的第一、二两项为负 值，从第三项开始为正值.方法一：当nW2时,|an|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数 列，,nfn-l),亠、3n211n故Sn=4n+-_ X (-3) =-4-;2 2 2当n2时,|an|=a=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的 等差数列，故Sn= | ai | + |a2|+a3+a4+an= (4+1) + 2+5+-+(3n-7)二5l(n2)2#(3n7”二3口2Q2017北师大版 数列

15、的综合应用 专项强化训练3 | lln一o- 1-,n 2,4, n = 1,3n2Un+ 10, n 2,方法二：设数列aj的前n项和为Tn,则T_n(-443n-7)_3n 11n当n2时,Sn=(一a厂a?) + (a3+a4+an)n 2,故可以写为+10,11 2.211.已知数列an中，ai=l,且点P (ar an) (nN*)在直线xy+l=0上.(1)求数列%的通项公式.1设b=an, S.表示数列bj的前 a 项和.试问：是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+-+Sn-1=(Sn-l) g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若所以S =故可以写为SF2由于

16、nW2时,|an|=-an,所以此时Sn二一人二-3+吧二一h+仃厂二T.2TF23n2lln_+亍3n2lln3n211n所以Sn=2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练存在，写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理 由.2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练【解题提示】由条件寻找an与a.”的关系，转化为特殊数列，求an.利用函数与方程思想，探求g (n).【解析】把P点代入直线x-y+1=0 :an+l-a=1,所以aj是公差为1的等差数列,又ai=1,因此可得：a.二n (n e N*).当nN2, n WN*时,g(n)存在，且g(n)=n.【加固训练】己知

17、数列a的前n项和为对一切正整数n,点P%, SJ都在函数f (x) =x:+2x的图象上,且过点匕(n, SJ的切线的斜率为爲 求数列%的通项公式.设Q=x| x=kR, nEN* , R=x|x=2如,n訥,等差数列 s 的任一项cneQAR,其中c】是QAR中的最小数,110c10-/1 1 1 !-+-+-+12 3-n (SnD2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练当nN2时,an=SnSn-i=2n+1,当n=1时,ai=S,=3满足上式，所以数列a的通项公式为an=2n+1.(2)因为Q=x|x=2n+2, nGN*, R= x|x=4n+2, nGN*,所以QAR=R.又

18、因为CneQAR,其中 6 是QDR中的最小数，所以0)=6,因为cn的公差是4的倍数，所以50二4山+6 (m丘N ).又因为110clo115,所以卩10 4m + 6 2n-2.【解题提示】先利用aS-Sn-! (n2)把3与a.的关系式转化为an与的关系式，判断数列的性质，求其通项公式.(2)根据(1),求出数 卜22017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练列bn的前三项，利用2=b1Xb3列出方程即可求得a的值.(3)先求出 数列C.的通项公式，根据所求证问题将其放缩，然后利用数列求和 公式证明.【解析】当nh时,S.=a (S-aD,得a.当n2时，Sn=a (Sn-an+1)

19、,Sn-Ia (Sn-13n-11 ),两式相减，得an=a an-i,又a所以a*工0,则一 二a.an-i即a是等比数列，所以a=aa叫a”.(2)由及a知 知bn二(an)彳且竺二2；bn=(2a1)a2n-aaR,a-1a-1若bj为等比数列， 则有b2二bb,而bi-2a2, b2-a3(2a+1), b3二a (2a2+a+1),故a3(2a+1) 2=2a2a(2a2+a+1),1解得a-再将ag代入叽得bn二莒)：结论成立，1所以a=-(3)由知a=Q)n,2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练epT).求p的值及an.(2)若b$(2n - 1)%,记数列bn的前n项

20、和为A,求使T 10成立的最小正整数n的值.【解题提示】(2)|裂项相消求7；解关于”的不等式求【解析】 方法一： 因为a 是公差为2的等差数列, 所以Sn二nai+nd二nai+叽；耳 (+(2命 + 蟲)二2 J2_l+i) +(2一右H-HT2n.2 2n+12+ 丄)+ 23结论成立.【加固训练】己知等差数列%的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n (n(1)基本量运算求I / f求“及 52017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练方法二：由已知aFSFp+2, S2=4p+4,即ai+a2-4p+4,2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练所以a2=3p+2.又此等差数列

21、的公差为2,所以a2_ai=2,所以2p=2,所以p=1,所以at=p+2=3,所以an=a1+ (n-1) d=2n+1,所以p=1, a=2n+1.方法三：由已知ai=Si=p+2,所以当n$2时，an-SnSn-i=pn2+2n- p (n-1)2+2 (n-1) =2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a-a=2f所以2p=2,所以p=1,所以at=p+2=3,所以an=a,+ (n-1) d=2n+1,所以Tn=bl+b2+b3+，*，+bn因为咗， 所以启总 所以20n18n+9,即n|,又neN所以使TQ帶成立的最小正整数n=5.13.（2015重庆模拟） 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学， 该商 场向他提供了三种付酬方案:第一种，每天支付3&元;第二种，第一天 付4元第二天付8元第三天付12元依此类推;第三种，第一天付所以p=1, an=2n+1.2由知n_(2ri-i)(2n+l) 2n-l 2口+1Zn+1 2n+l1 2n2017北师大版 数列的综合应用 专项强化训练0. 4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天.(1)工作n天