椭圆函数滤波器响应

1、topic 4filters designfilters designbasic filters13db (cutoff ) frequency : fc (hz)maximum passband attenuation : 3dbpassband ripple : rp (db)stopband frequency : fx (hz)minimum stopband attenuation : ax0db-3db-ax dbfcfxrp db0db-3db-ax dbfcfxrp dblowpasshighpasspassband: 0 fc (hz)stopband: fx (hz)pas

2、sband: fc (hz)stopband: 0 fx (hz)basic of filters0db-3db-ax dbfofuxrp dbflxflpfhplower passband edge = flpupper passband edge = fhplower stopband edge = flxupper stopband edge = fuxpassband bandwidth = fhp - flppassband ripple = rp dbmaximun passband attenuation = 3dbminimum stopband attenuation = a

3、xcenter frequency = fo = fhp flp0db-3db-ax dbfofuxrp dbflxflpfhpbandstopbandpasslower passband edge = flpupper passband edge = fhplower stopband edge = flxupper stopband edge = fuxstopband bandwidth = fux - flxpassband ripple = rp dbmaximun passband attenuation = 3dbminimum stopband attenuation = ax

4、center frequency = fo = fhp flptechnical parameters of filteril: rf insertion loss0db-3db-ax dbfofuxrp dbflxflpfhpil dbbwrejectionq = f0 / bwrp: ripple in the passbandbw: difference between upper and lower freqencies at which the attenuation is 3 db sf: describing the sharpness of the response with

5、the ratio between the ax db and the 3 db bandwithsrejection: it is parameter according to the specification of a filterqulity factor q: another parameter describing filter selectivity 微波网络综合法设计滤波器 微波网络综合法设计滤波器时，将整个滤波器看成是多级二端口网络的级联，实际中这些二端口网络是串连电感并联电容。 一般先设计低通原型滤波器，实际的低通高通带通带阻滤波器可由低通原型变换得到。微波网络综合法设计滤

6、波器 由转移参量可以得到整个滤波器的频率响应特性。 s21= 2 / ( a + b + c + d ) 或 l 10 log 1 / |s21|2 10 log |( a+b+c+d )/2|21011101/1010111111glgglllabrrrcdj crrj crrrj cr 使频率响应满足指定的响应特性得到串连电感并联电容的大小。典型滤波器响应 实际的滤波器响应有以下几种：最大平坦响应(butterwoth响应)等波纹响应(chebyshev响应)椭圆函数响应线性相位响应典型滤波器响应最大平坦响应(butterwoth响应) l 1 k2 ( /c )2n 式中n是滤波器阶数，

7、 c是截止频率，通带为(0， c )，通带边缘损耗为 1 k2，常选为-3 db，故 k1。 带外衰减随频率增加而单调增加， c 时, l ( /c )2n, 所以衰减以每10倍频 20n db的速率上升。 典型滤波器响应等波纹响应(chebyshev响应) l 1 k2 tn( /c ) 2 因为x1时, |tn(x)|c 时, 由tn(x)函数性质得到 l k2/4 ( 2 /c )2n, 所以衰减也以每10倍频 20n db的速率上升。但其衰减比最平坦响应大 22n/4 式中tn(x)是chebyshev函数，其多项式表示为 t1(x) x t2(x) 2x21 t3(x) 4x33x

8、t4(x) 8x4 8x2 1 chebyshev low-pass filters response03b3()t0.25 3()t0.5 5()t1 7()10.10.1132.752.52.2521.751.51.2510.750.50.2500100b3()t0.25 3()t0.5 5()t1 7()1011101009080706050403020100comparison of frequency response between butterworht and chebyshev filterswhereb(3, ): attennuation response of 3-or

9、der butterworth-typet( 0.25, 3, ) ): attennuation response of 3-order chebyshev-type with ripple of 0.25db t( 0.5, 5, ) ): attennuation response of 5-order chebyshev-type with ripple of 0.5db t(1, 7, ) ): attennuation response of 7-order chebyshev-type with ripple of 1db comparison between butterwor

10、ht and chebyshev filters 典型滤波器响应 椭圆滤波器（椭圆滤波器（elliptic filter）是利用椭圆函数（）是利用椭圆函数（elliptic function）的双周期函数性质设计的。的双周期函数性质设计的。 就低通滤波器而言，如将巴特沃思滤波器与切比雪夫滤波器的幅频特就低通滤波器而言，如将巴特沃思滤波器与切比雪夫滤波器的幅频特性加以比较，它们具有以下特点：性加以比较，它们具有以下特点： 在巴特沃思滤波器中，无论是通带还是阻带均表现为单调衰减，在巴特沃思滤波器中，无论是通带还是阻带均表现为单调衰减，并且不产生波纹；并且不产生波纹； 在切比雪夫滤波器中，通带内产生

11、波纹，但阻带则为单调衰减；在切比雪夫滤波器中，通带内产生波纹，但阻带则为单调衰减； 切比雪夫滤波器的截止特性比巴特沃思滤波器更为陡峭。切比雪夫滤波器的截止特性比巴特沃思滤波器更为陡峭。因而可以这样设想，如果在通带和阻带两方面都允许波纹存在，就能因而可以这样设想，如果在通带和阻带两方面都允许波纹存在，就能得到截止特性比切比雪夫滤波器更为陡峭的滤波器。基于这种思路的滤得到截止特性比切比雪夫滤波器更为陡峭的滤波器。基于这种思路的滤波器，就是由波器，就是由w.cauer提出的椭圆滤波器。提出的椭圆滤波器。 典型滤波器响应其中，其中， 为为 的分式有理多项式，其零点全部在通带的分式有理多项式，其零点全部

12、在通带 1内，具有如下形式内，具有如下形式 )(cn)()()(242222232212bcn 其中其中 为零衰减频率，为零衰减频率， 为无穷衰减频率，零衰减频率的个数为无穷衰减频率，零衰减频率的个数与与无穷衰减频率的个数相等。无穷衰减频率的个数相等。1324这种衰减特性与契比雪夫滤波器衰减特性相比，有如下特点：这种衰减特性与契比雪夫滤波器衰减特性相比，有如下特点： （1）通带内仍有契比雪夫滤波器响应的等波纹特性；）通带内仍有契比雪夫滤波器响应的等波纹特性； （2）阻带内增加了有）阻带内增加了有限频率上的极点，也呈现等波纹特性；（限频率上的极点，也呈现等波纹特性；（3）过渡段区域的斜率更为陡峭

13、。）过渡段区域的斜率更为陡峭。21 0 lg1()l ac n椭圆函数滤波器的衰减特性为：椭圆函数滤波器的衰减特性为： 椭圆函数滤波器响应椭圆函数滤波器响应典型滤波器响应线性相位响应 () a 1 p ( /c )2n 式中() 滤波器电压转移函数的相位，p为常数。 通常良好的截止响应特性与良好的相位响应是一对矛盾。 还可以有其他的响应，上述4种是最常用的。低通原型滤波器器件参数的确定lc1r 低通原型滤波器器件参数的确定是一个道理简单计算复杂的过程。在低通原型滤波器中，一般取g01， c1。 由微波网络级联可得此电路的响应为 l=1+(1-r)2+(c2r2+ l2- 2lcr2)2 +l2

14、c2r24/4r 最平坦响应为 l=1+ k24 k=1 =1时衰减3db 得到 r=1, l = c = 21/2 等波纹响应为 l=1+ k2(2 21)2 k=1 波纹3db 得到 r=5.81, l=3.1 c = 0.53 对于n2的低通原型，其结构图如右图所示：低通原型滤波器器件参数的确定 一般低通原型滤波器的两种结构如下图所示。rl=gn11rg=g01l2=g2ln=gnc3=g3c1=g1 shunt capacitance series inductancel1=g1l3=g3cn=gnc2=g2rg=g01rl=gn11 series inductance shunt c

15、apacitance 图中器件的编号从信号源端的g0一直到负载端的gn+1. 两个电路同一编号的器件取值相同，给出同样的频响。因此它们互为对偶电路。低通原型滤波器器件参数的确定 原则上，可求任意n阶低通原型滤波器的器件参数值。但工程应用时，n过大不实际。对于最平坦响应的低通原型滤波器。前人将至10阶滤波器的参数值列表如下：低通原型滤波器器件参数的确定最平坦响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如下：低通原型滤波器器件参数的确定 对于等波纹响应的低通原型滤波器，至10阶的滤波器参数值列表如下(带内波纹0.01db)：低通原型滤波器器件参数的确定等波纹响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如下

16、：低通原型滤波器器件参数的确定 对于线性相位响应低通原型滤波器，因为转移参量的相位不像幅度那样有较简单的表达式，器件参数求解更复杂。至10阶的滤波器参数值列表如下： n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 1 2.000 1.0000 2 1.5774 0.4226 1.0000 3 1.255 0.5528 0.1922 1.0000 4 1.0598 0.5116 0.3181 0.1104 1.0000 5 0.9303 0.4577 0.3312 .2090 0.0718 1.0000 6 0.8377 0.4116 0.3158 6 .2364 .1

17、480 0.0505 1.00 7 0.7677 0.3744 0.2944 .2378 .1778 .1104 0.0375 1.0000 8 0.7125 .3446 0.2735 .2297 .1867 .1387 .0855 0.0289 1.000 9 0.6678 0.3203 0.2547 .2184 .1859 .1506 .1111 0.0682 0.0230 1.0000 10 0.6305 0.3002 0.2384 2 .2066 .1808 .15390 .1240 0.0911 0.0557 0.0187 1.0000 低通原型滤波器器件参数的确定 最大平坦响应和等

18、波纹响应低通原型滤波器经常用到。有时通过查衰减曲线及查表得不到相应的阶数及器件参数值，这时可依据滤波器相关指标，由公式计算得到n及gn impedance: zo (ohm) cutoff frequency: fc (hz) stopband frequency: fx (hz) maximum attenuation at cutoff frequency: ap (db) minimum attenuation at stopband frequency：ax(db) butterworth lowpass filters1/10/101010.5 loglog101axxapcfnfn

19、knkgk,.,2 , 1,2) 12(sin2step 2: determine the number of elements，n is a integerstep 3: calculate prototype element values，gk。 step1： specification)arccos(1arccos222cxffmagmagn 1101010/210/2rpaxmag)(sin22nkbk g g ,.,2 , 1,2) 12(sinnknkak 2sinhnb bg g 37.17cothlnrpb b 1cosh1cosh1n a a chebyshev lowpas

20、s filters2 impedance: zo (ohm) cutoff frequency: fc (hz) stopband frequency: fx (hz) maximum attenuation at cutoff frequency: ap (db) minimum attenuation at stopband frequency：ax(db)step 2: determine the number of elements，n is an odd integer that is to avoid differrence between the input and output

21、 impedance step1： specificationstep 3: calculate prototype element values，gk。 bgaagkkkkk41121 a aag211 g ga agn+1=1 n奇数gn+1=coth2(/4) n偶数椭圆函数滤波器低通原型椭圆函数滤波器低通原型s 由滤波器的设计指标由滤波器的设计指标las(db), 和和lar(db),得到上述原型电路的系数，需要得到上述原型电路的系数，需要用雅可比椭圆函数的保角变换技术，其数学推导和计算都比较繁琐。现已有图用雅可比椭圆函数的保角变换技术，其数学推导和计算都比较繁琐。现已有图标曲线，可供

22、设计此类滤波器时查用。标曲线，可供设计此类滤波器时查用。c1c2c3c5c1c2c4l2l4l1l3l2l4l5a）电容输入）电容输入 b）电感输入）电感输入两种椭圆函数低通滤波器原型电路两种椭圆函数低通滤波器原型电路sl5c4l4l3c2l2l10.8851.1000.2831.7261.1800.11781.044501.6900.8360.9640.4011.6571.2280.14001.032451.5400.7660.8750.5301.5861.1930.17701.010401.4140.7010.7040.7421.4881.1390.23000.977351.309c5l4

23、c4c3l2c2c1 las(db)s下表给出了下表给出了n=5 带内波纹衰减带内波纹衰减lar=0.1的椭圆函数低通滤波器的系数的椭圆函数低通滤波器的系数椭圆函数滤波器技术参数椭圆函数滤波器技术参数0ps1324alaslarllas：阻带抑制：阻带抑制lar：通带波纹：通带波纹：通带截止频率：通带截止频率p：阻带抑制频率：阻带抑制频率sfrequency transformations from normalized lpf to othersc=gkl=gklowpass lowpass highpass bandpass bandstop prototype pratical prat

24、ical pratical praticalvalue value value value value ulo2ulbw-lcccl1cc1coc2lbwol2bwcbwbwlbwlo2bw1cbw1co2bwg1g2g3g4g52.20721.12793.10251.12792.2072 c1l2c3l4c5cal. value 93.658pf 119.67nh 131.65pf119.67nh93.658pfpractical94pf120nh132pf120nh94pfexamples of lpf design impedance: zo (ohm)=50 cutoff freque

25、ncy: fc (mhz)=75 stopband frequency: fx (mhz)=100 maximum attenuation at cutoff frequency: 3 (db) minimum attenuation at stopband frequency：20(db)step 2: determine the number of elementsstep1： specificationstep 3: calculate prototype element values，gk。 design a lc 1 db ripple chebyshev-type lpf(zo=5

26、0 ohm) with 75mhz cutoff frequency and at least 20db attenuation at 100mhzsolution:n=5step 4：select shunt capacitance series inductanceresult impedance: zo (ohm) upper passband edge frequency: fpu (hz) lower passband edge frequency: fpl (hz) upper stopband edge frequency: fxu (hz) lower stopband edg

27、e frequency: fxl (hz) maximum attenuation at passband: ap (db) minimum attenuation at stopband：ax(db) step 2: determine the number of elements，n is an odd integer that is to avoid differrence between the input and output impedance step1： specificationdesign of bandpass filters ),(1,1212221xxxpassxuo

28、xuxpassxlxloxminbwfffbwfffplpupasspuploffbwfff,xapaxnlog110110log5 . 010/10/（1）for butterworth type（2）for chebyshev type1101010/210/2rpaxmag)arccos(1arccos222xmagmagn design of bandpass filters2zobwgcpbwzoglspassevenevenpassoddodd2,2passevenevenpassoddoddbwzoglszobwgcp2,2cplplscscplsoosospopflccl211

29、22prototypebandpassbandpasstransformatransforma-tion -tion fomulafomula step 3: calculate prototype element values，gk, as before. select series induct-ance shunt capacitance or shunt capacitance series inductance, then calculate the values of c and l 。 a) series inductance shunt capacitance b) shunt

30、 capacitance series inductancestep 4:calculate the component values of bpf。transformate the lowpass prototype element values to the bandpass ones according the right transformation tableexample of bpf design design a 0.1 db ripple chebyshev-type bpf(zo=50 ohm) with bandpass of 10mhz and central freq

31、uency at 75mhz, the minimum attenuation at stopband has to be 30db with 30mhz stopbandstep1： specification impedance）: zo = 50 ohm upper passband edge frequency: fpu = 75 + 5 = 80 mhz lower passband edge frequency: fpl = 75 5 = 70 mhz upper stopband edge frequency: fxu = 75 + 15 = 90 mhz lower stopband edge frequency : fxl = 75 15 = 60 mhz maximum attenuat