二项分布及其应用20171014PPT课件

1、内容提纲内容提纲 二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用 第1页/共43页 举例：设小白鼠接受一定剂量的某种毒物染毒后死亡率为举例：设小白鼠接受一定剂量的某种毒物染毒后死亡率为80%80%。若每组。若每组各用各用3 3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该种毒物染毒，观察各组小白鼠的只小白鼠（甲、乙、丙）接受该种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡情况。存亡情况。一、二项分布的一、二项分布的概念及应用条件概念及应用条件第2页/共43页第3页/共43页小白鼠存亡组合方式 排列方式 每种排列的概率 每种组合的概率 生存数（n-X） 死亡数（X） 甲 乙 丙 XnXXnCXP)1

2、()( （1） （2） （3） （4） 3 0 生 生 生 0.20.20.2=0.008 008. 0) 8 . 01 () 8 . 0 () 0 (03003CP 生 生 死 0.20.20.8=0.032 生 死 生 0.20.80.2=0.032 2 1 死 生 生 0.20.80.2=0.032 096. 0) 8 . 01 () 8 . 0 () 1 (13113CP 生 死 死 0.20.80.8=0.128 死 生 死 0.80.20.8=0.128 1 2 死 死 生 0.80.80.2=0.128 384. 0) 8 . 01 () 8 . 0 () 2(23223CP 0

3、 3 死 死 死 0.80.80.8=0.512 512. 0) 8 . 01 () 8 . 0 () 3 (33333CP 3只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算 3, 8 . 0n该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分布。第4页/共43页nnnnXXnXnnnnnnnCCCC 11222111)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1(该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分布。3223231131

4、333) 8 . 0() 8 . 0() 8 . 01 () 8 . 0() 8 . 01 () 8 . 01 ( 8 . 0) 8 . 01(CC第5页/共43页1)1 ()1 ()1 ()1 ()1(011100nnnxxnxnnnnnnCCCCxnxxnCxp1)(1)() 1 ()0(nppp第6页/共43页u例例. . 求前例中三只小白鼠死亡求前例中三只小白鼠死亡2 2只的概率。只的概率。384. 02 . 08 . 031)2(1223223Cxp第7页/共43页一、二项分布的一、二项分布的概念及应用条件概念及应用条件1 1、概念：、概念：若试验若试验 E 只有两种相互对立的结果只

5、有两种相互对立的结果( (A及及 ), ),并且并且 ， ， 把把 E 独立地重复独立地重复 n 次的试验称为次的试验称为 n 重贝努里试验重贝努里试验（Bernoulli trial）。 n 重贝努里试验中重贝努里试验中事件事件A发发生的次数生的次数 x 所服从的分布即为二项分布所服从的分布即为二项分布（binomial distribution），记为，记为 x B( B( , , n ）。 例例 抛硬币（正抛硬币（正/ /反），患者治疗后的结局（治愈反），患者治疗后的结局（治愈/ /未愈），未愈），实验动物染毒后结局（生存实验动物染毒后结局（生存/ /死亡），死亡），。A 1AP)(AP

6、第8页/共43页2 2、应用条件：、应用条件： n次试验相互独立次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立个观察单位相互独立）。）。 每次试验只有两种可能结果中的某一种（每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用适用 于二分类资料于二分类资料）。）。 每次试验发生某一种结果的概率每次试验发生某一种结果的概率 固定不变固定不变 （要求各观察单位同质要求各观察单位同质）。）。一、二项分布的概念及应用条一、二项分布的概念及应用条件件第9页/共43页设从概率为设从概率为 的总体中随机抽取样本量为的总体中随机抽取样本量为n的样本，每的样本，每个样本的事件发生数为个样本的事件发生数为x，则，则 x B( ，

7、n)。可以证明。可以证明：若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：nx1nxpnp1第10页/共43页np1nppsp)1 ( （实际值）第11页/共43页（二）二项分布的累计概率从阳性率为 的总体中随机抽取n n个观察单位，则（1 1）最多有k k例阳性的概率为 （2 2）最少有k k例阳性的概率为 )() 1 ()0()(kPPPkXP) 1(1)() 1()()(kXPnPkPkPkXP第12页/共43页(三)二项分布的图形第13页/共43页第14页/共43页 =0.2, n=50 =0.2, n=20 =0.2, n=5 =0.2,

8、n=10 =0.2, n=20第15页/共43页（四）二项分布的特点1 1、当、当 时，无论时，无论 n大小，其图形均呈对称分大小，其图形均呈对称分布；布；2 2、当、当 ，呈偏态分布；随呈偏态分布；随n不断增大，不断增大，逐渐趋于对称分布；当逐渐趋于对称分布；当 时，逼近正态分布。时，逼近正态分布。 实际工作中，只要实际工作中，只要n足够大，足够大， 与与1- 1- 均不太小时（通常均不太小时（通常规定规定 且且 与与 时），可时），可看作近似正态分布，即看作近似正态分布，即 或或 5 . 05 . 0n5n51n 1nnNxappro,.nNpappro1,.且且n小时小时n 50第16页

9、/共43页二项分布的正态近似示意图二项分布的正态近似示意图第17页/共43页v二项分布的累计概率:152025303540455055606570第18页/共43页三、二项分布的应用三、二项分布的应用（一）估计总体率的可信区间1、率的抽样误差、率的抽样误差 (理论理论值值) (估计估计值值)2 2、总体率的区间估计、总体率的区间估计第19页/共43页2 2、总体率的区间估计、总体率的区间估计(1)(1)查表法查表法样本量较小时样本量较小时(n 50)例例3.6 3.6 某医院皮肤科医师用某种药物治疗某医院皮肤科医师用某种药物治疗2020名系统性红斑狼疮患者，其名系统性红斑狼疮患者，其中中8 8

10、人近期有效，求该法近期有效率的人近期有效，求该法近期有效率的95%95%可信区间。可信区间。用用n=20和和x=8查附表查附表7.27.2百分率的可信区间得该法近期有效率的百分率的可信区间得该法近期有效率的95%可信区可信区间为间为19% 64%。由于附表由于附表7 7百分率的可信区间中值只列出了百分率的可信区间中值只列出了x x n n/2/2的部分，当的部分，当x x n n/2/2时，应时，应以以n n - -x x查表，再从查表，再从100100中减去查得的数值即为所求可信区间。中减去查得的数值即为所求可信区间。第20页/共43页2 2、总体率的区间估计、总体率的区间估计（2 2）正态

11、近似法）正态近似法当样本含量足够大，且样本率当样本含量足够大，且样本率p和和 1 1-p均不太小，一般均不太小，一般 np与与n(1-p)均大于均大于5 5时，样本率的抽样分布近似正态分布，时，样本率的抽样分布近似正态分布，即即此时此时, , 总体率的可信区间可按下式进行估计总体率的可信区间可按下式进行估计: :其中其中, ,)1,(nNp第21页/共43页三、二项分布的应用三、二项分布的应用（二）假设检验1、样本率与已知总体率的比较：、样本率与已知总体率的比较：(1)(1)直接计算概率法直接计算概率法: :例例1 1 根据以往长期的实践，证明某常用药根据以往长期的实践，证明某常用药的治愈率为

12、的治愈率为65%65%。现在某种新药的临床试验中，。现在某种新药的临床试验中，随机观察了随机观察了1010名用该新药的患者，治愈名用该新药的患者，治愈8 8人。问人。问该新药的疗效是否比传统的常用药好？该新药的疗效是否比传统的常用药好？第22页/共43页（1 1）建立假设，确定检验水准。）建立假设，确定检验水准。 H0： = 0，即即新药治愈率与传统药物相新药治愈率与传统药物相同同 H1： 0，即即新药治愈率高于传统药物新药治愈率高于传统药物 = 0.05（2 2）根据二项分布的分布规律，计算）根据二项分布的分布规律，计算 P P 值。值。H0成立时，随机抽查的10人中治愈人数x 的分布第23

13、页/共43页(3) 做出推断结论。本例P 0.05，按=0. 05的检验水准不拒绝H0，尚不能认为新药疗效较传统药物疗效好。26160. 001346. 007249. 017565. 065. 035. 065. 01035. 065. 045)1 ()1 ()1 ()10()9()8(81092801010101991028810CCCpppXP第24页/共43页例2 据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1，某医生观察了当地400名新生儿，发现有1例染色体异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于一般？H0成立时, 400名新生儿中染色体异常例数的概率分布第25页/共43页（1）建立检验假设，

14、确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准 H0： = 0，即，即该地新生儿染色体异常率不低于一般该地新生儿染色体异常率不低于一般 H1： 0.05，按，按 =0.05检验水准不拒绝检验水准不拒绝H0，尚，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。第26页/共43页1、样本率与已知总体率的比较：(2) (2) 正态近似法正态近似法: : 当当 n 0 和和 n(1- 0) 均大于均大于5 5时时, , 可用正态近似法可用正态近似法, , 按下式计算检验统计量按下式计算检验统计量u值。值。 或或npu/ )1 (000第27页/共43页例例3 据报道，某常

15、规疗法对某种疾病的治愈率为据报道，某常规疗法对某种疾病的治愈率为65%。现某医生用中西医结合疗法治疗了现某医生用中西医结合疗法治疗了100例该病患者，治愈例该病患者，治愈了了80人。问该中西医结合疗法的疗效是否比常规疗法好？人。问该中西医结合疗法的疗效是否比常规疗法好？当当H H0 0成立时成立时, 100, 100例患者中治愈人数的概率分布例患者中治愈人数的概率分布第28页/共43页（1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准 H0： = 0，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗法相同法相同 H1： 0，即该种中西医结合疗法疗效好于常规，即该种中

16、西医结合疗法疗效好于常规疗法疗法 = 0.05 （2） 计算检验统计量计算检验统计量 。本例本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。 （3） 确定确定P值，做出推断结论。值，做出推断结论。 查表得查表得, 0.0005P 0，即老年胃溃疡患者胃出血发生率高于一般患，即老年胃溃疡患者胃出血发生率高于一般患者者 = 0.05 （2） 计算检验统计量计算检验统计量 。 （3） 确定确定P值值 , 做出推断结论。查表得做出推断结论。查表得, P0.0005, 按按 = 0.05水准拒绝水准拒绝H0, 接受接受H1, 认为老年胃溃疡患者较一般患认为老年胃溃疡患者较一般患者更易发生胃出血者更易发

17、生胃出血。 05. 5304)20. 01 (20. 020. 03158. 0)1 (000npu第31页/共43页小贴士：小贴士：注意事项注意事项以上各例均为单侧检验, 若需进行双侧检验, 则P值为从H0规定的总体中抽到现有样本以及更极端（即概率小于等于现有样本概率）情形的累计概率。据以往经验，新生儿染色体异常率一般为据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1 1。为了解某地。为了解某地新生儿染色体异常率，某医生观察了当地新生儿染色体异常率，某医生观察了当地400400名新生儿名新生儿, ,发现有发现有1 1例例染色体异常，问该地新生儿染色体异常率是否与一般人群相同？染色体异常，问该地新生儿染

18、色体异常率是否与一般人群相同？（1 1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准该地新生儿染色体异常率与一般人群相同该地新生儿染色体异常率与一般人群相同该地新生儿染色体异常率与一般人群不同该地新生儿染色体异常率与一般人群不同第32页/共43页2001. 0)6()5()4()3()2(1)7() 1(pppppxpxpP，按，按 =0.05检验水准不拒绝检验水准不拒绝H0，尚不能认为该地新生儿，尚不能认为该地新生儿染色体异常率与一般人群不同。染色体异常率与一般人群不同。第33页/共43页第34页/共43页建立检验假设，确定检验水准：建立检验假设，确定检验水准：若H0成立时, 10

19、0人中治愈人数 xB(0.65,100)，其中p(80)=0.00044，比其更极端的情形包括x80和x49。 按正态近似法对应的概率分别为P(u3.14)和P(u -3.14)。故P=(u1)+1-(u2)=2(u1)=0.00168。P0.05，故按=0.05水准拒绝H0, 接受H1，认为中西医结合疗法与常规疗法不同。第35页/共43页（1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准 H0： = 0，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗法相同法相同 H1： 0，即该种中西医结合疗法疗效好于常规，即该种中西医结合疗法疗效好于常规疗法疗法 = 0.05

20、 （2） 计算检验统计量计算检验统计量 。本例本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。 （3） 确定确定P值，做出推断结论。值，做出推断结论。 查表得查表得, 0.001P50,n250且且n1p1, n1(1-p1), n2p2, n2(1-p2)均大于均大于5) ) 时，可用时，可用u检验检验: : 其中，其中，p1, p2 分别为两样本率分别为两样本率, , pc为两样本的合并率为两样本的合并率: : 第37页/共43页2、两样本率的比、两样本率的比较较例例5 5 为研究高血压病的遗传度为研究高血压病的遗传度, 某医师进行了高血压子代患病率某医师进行了高血压子代患病率调查。其中

21、父母双亲有一方患高血压者调查了调查。其中父母双亲有一方患高血压者调查了205人，其中高血人，其中高血压患者压患者101人；父母双亲均患高血压者调查了人；父母双亲均患高血压者调查了153人，其中高血人，其中高血压患者压患者112人。问双亲中只有一方患高血压与双亲人。问双亲中只有一方患高血压与双亲均患高血压的均患高血压的子代中，高血压患病率是否相同？子代中，高血压患病率是否相同？第38页/共43页（1 1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准 H0： 1 = = 2，即两组人群中子代患病率相同，即两组人群中子代患病率相同 H1： 1 2，即两组人群中子代患病率不同，即两组人群中子代患病率不同 = 0.05= 0.05 （2 2）计算检验统计量）计算检验统计量 。 本例本例, , p1=101/205=0.49268, p2=112/153=0.73203, pc =(101+112）/（205+153)=0.59497 。 （3 3） 确定确定P P值值, , 做出推断结论。做出推断结论。 查表得查表得P P0.00050.0005，按按 = 0.05= 0.05水准拒绝水准拒绝H H0 0， 接受接受H H1 1，认为两组子代患病率，认为两组子代患病率不同，父母双亲均患病者子代高血压患病率高于单亲患不