中考数学专题复习学案将军饮马类题型大全含部分答案经典实用

1、“将军饮马”类题型大全一求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图， amef，bnef，垂足为m、n，mn12m，am5m，bn4m， p是ef上任意一点，则papb的最小值是_m分析：这是最基本的将军饮马问题，a，b是定点，p是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点a关于ef的对称点a，根据两点之间，线段最短，连接ab，此时appb即为ab，最短而要求ab，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决解答：作点a关于ef的对称点a，过点a作acbn的延长线于c易知amamnc5m，bc9m，acmn12m，在rtabc中，ab15m，即papb的最小值是15m变式：如图

2、，在边长为2的正三角形abc中，e，f，g为各边中点，p为线段ef上一动点，则bpg周长的最小值为_分析：考虑到bg为定值是1，则bpg的周长最小转化为求bppg的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点g关于ef的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接ag，则agbc，再连接eg，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得aeeg，则点a就是点g关于ef的对称点最后计算周长时，别忘了加上bg的长度解答：连接ag，易知pgpa，bppgbppa，当b，p，a三点共线时，bppgba，此时最短，ba2，bg1，即bpg周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在abc

3、中，abac5，d为bc中点，ad5，p为ad上任意一点，e为ac上任意一点，求pcpe的最小值分析：这里的点c是定点，p，e是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于abc是等腰三角形，ad是bc中线，则ad垂直平分bc，点c关于ad的对称点是点b，pcpepbpe，显然当b，p，e三点共线时，be更短但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当beac时，be最短求be时，用面积法即可解答：作beac交于点e，交ad于点p，易知adbc，bd3，bc6，则ad·bcbe·ac，4×6be·5，be4.8变式：如图，bd平分abc，e，f分别为线段bc，

4、bd上的动点，ab8，abc的周长为20，求efcf的最小值_分析：这里的点c是定点，f，e是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题因为点c的对称点c必然在ab上，但由于bc长度未知，bc长度也未知，则c相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点e关于bd的对称点解答：如图，作点e关于bd的对称点e，连接ef，则efcfefcf，当e，f，c三点共线时，efcfec，此时较短过点c作ceab于e，当点e 与点e重合时，ec最短，ec为ab边上的高，ec5.（三）两定两动型例3：如图，aob30°，oc5，od12，点e，f分别是射

5、线oa，ob上的动点，求cfefde的最小值.分析：这里的点c，点d是定点，f，e是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑作点c关于ob的对称点，点d关于oa的对称点解答：作点c关于ob的对称点c，点d关于oa的对称点d，连接cd cfefde cf ef de，当c，f， e，d四点共线时，cfefde cd最短易知doc90°，od12，oc5，cd13，cfefde最小值为13变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面ab宽1.78m，白球e距ad边0.22m，距cd边1.4m，有一颗红球f紧贴bc边，且距离cd边0.1m，若要使白球e经过边ad，dc，

6、两次反弹击中红球f，求白球e运动路线的总长度分析：本题中，点e和点f是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点e关于ad边的对称点e，作点f关于cd边的对称点f，即可画出白球e的运动路线，化归为两定两动将军饮马型解答：作点e关于ad边的对称点e，作点f关于cd边的对称点f，连接ef，交ad于点g，交cd于点h，则运动路线长为egghhf长度之和，即ef长，延长ee交bc于n，交ad于m，易知emem0.22m，en1.780.222m，nfnccf1.40.11.5m，则rtenf中，ef2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m小结：以上求线段和最值问题，几乎都

7、可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称（二）求角度例1:p为aob内一定点，m，n分别为射线oa，ob上一点，当pmn周长最小时，mpn80°（1）aob_°（2）求证：op平分mpn分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将m，n的位置找到，再来思考aob的度数，显然作点p关于oa的对称点p，关于ob的对称点p

8、，连接pp，其与oa交点即为m，ob交点即为n，如下图，易知dpc与aob互补，则求出dpc的度数即可解答：（1）法1：如图，12100°，1p323，2p424，则3450°，dpc130°，aob50°再分析：考虑到第二小问要证明op平分mpn，我们就连接op，则要证56，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接op，op，则57，68，问题迎刃而解解答：（1）法2：易知opop，785680°，pop100°，由对称性知，911，1012，aob91050°（2）由opop，pop100°知，7840&#

9、176;，5640°，op平分mpn变式：如图，在五边形abcde中，bae136°，be90°，在bc、de上分别找一点m、n，使得amn的周长最小时，则amnanm的度数为_分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作a点关于bc、de的对称点a、a，连接aa，与bc、de的交点即为amn周长最小时m、n的位置解答：如图， bae136°， maanaa44°    由对称性知，    maamaa，    naanaa，   amnanm 2maa2naa88°思考题：1.如图所示，正方形abcd的边长为6，abe是等边三角形，点e在正方形abcd内，在对角