信号及系统的状态空间

1、. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组第八章 状态方程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组系统分析，简言之就是建立表征物理系统的数学模型并系统分析，简言之就是建立表征物理系统的数学模型并求出它的解答。描述系统的方法可分为输入输出法和状求出它的解答。描述系统的方法可分为输入输出法和状态变量法。输入态变量法。输入输出法也称为输出法也称为端口法端口法，它主要关心的是，它主要关心的是激励（输入）与响应（输出）之间的关系。前面几章所讨激励（输入）与响应（输出）之间的关系。前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于输入输出法。由于输

2、论的时域分析和变换域分析都属于输入输出法。由于输入输出法只将系统的输入变量和输出变量联系起来，它入输出法只将系统的输入变量和输出变量联系起来，它不便于研究与系统内部情况有关的各种问题（譬如，系统不便于研究与系统内部情况有关的各种问题（譬如，系统的可观测性、可控制性等）。随着现代控制理论的发展，的可观测性、可控制性等）。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系统输出量的变化情况，而且对系统内部的人们不仅关心系统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最一些变量也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分析优控制

3、目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分析法。法。引引 言言. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组研究研究单输入单输出单输入单输出系统；系统；着眼于系统的着眼于系统的外部外部特性；特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。应特性的概念。产生于产生于20世纪世纪50至至60年代；年代；卡尔曼卡尔曼(R.E.Kalman)引入；引入；利用状态变量描述系统的利用状态变量描述系统的内部内部特性；特性；运用于运用于多多输入输入多多输出系统；输出系统；用用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来个状态变量的一阶微分（或差分

4、）方程组来描述系统描述系统 。二状态变量分析法二状态变量分析法一输入输出法（端口法）一输入输出法（端口法）. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组三三状态变量分析法状态变量分析法优点优点 (1)(1)提供了系统的内部特性以供研究；提供了系统的内部特性以供研究；(2)(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；数值计算；(3)(3)便于分析多输入多输出系统；便于分析多输入多输出系统；(4)(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念

5、。引出了可观测性和可控制性两个重要概念。. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组状态：状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态表示动态系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道变量），只要知道 时这组变量和时这组变量和 时的输时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。的行为。0tt 0tt 0tt 状态变量：状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的变量。例如上例中的 。 )(),(tvtiCL状态矢量：状态矢量：能够完全描述一个系统行为的能够完全描述一个系

6、统行为的k k个状态变个状态变量，可以看作矢量量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。的各个分量的坐标。 称为称为状态矢量。状态矢量。)(t )(t )(t 状态空间：状态空间：状态矢量状态矢量 所在的空间。所在的空间。状态轨迹：状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。而描出的路径称为状态轨迹。四名词定义. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 状态变量用来描述网络中一状态随时间变化的变量，称之为状态变量。状态方程描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励关系的一阶微分方程，称为状态方程。. 信号与

7、系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组一状态方程的一般形式和建立方法概述 一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即 te1 te2 tem. . . . tr1 tr2 trr 0ti tttk ,21为系统的为系统的k个状态变量。个状态变量。m个输入信号个输入信号r个输出信号个输出信号. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组状态方程 tte

8、tetetttfttttetetetttfttttetetetttfttmkkkmkmk,;,dd,;,dd,;,dd2121212122212111 ttetetettthtrttetetettthtrttetetettthtrmkrrmkmk,;,;,;,2121212122212111输出方程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 tebtebtebtatatatttebtebtebtatatatttebtebtebtatatattmkmkkkkkkkkmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111dddd

9、dd如果系统是线性时不变的，则状态方程和输如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：即：. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 tedtedtedtctctctrtedtedtedtctctctrtedtedtedtctctctrmrmrrkrkrrrmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组表示为矢量矩阵形式 ttttmmkkkkk111ddeBA tttrm

10、mrkkrr111eDC状态方程状态方程输入方程输入方程 ttttk21 ttttttttkdddddddd21. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组kkkkkkaaaaaaaaa212222111211Akkkkkkbbbbbabbbb212222111211Brkrrkkccccccccc212222111211Crkrrkkddddddddd212222111211D trtrtrtr21r tetetetm21e. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组状态方程和输出方程分析的示意结构图状态方程和输出方程分析的示意结构

11、图 tD tA tB tCp1 te tr t是积分环节，它的输入为是积分环节，它的输入为 ，输出为，输出为 。 p1 ttdd t若若 矩阵是矩阵是 的函数，表明系统是线性时变的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的，对于线性时不变系统， 的各元素都为常的各元素都为常数，不随数，不随 改变。改变。 tDC,B,A,DC,B,A,t. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组状态变量的特性 每一状态变量的导数是所有状态变量和输每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数；入激励信号的函数； 每一微分方程中只包含有一个状态变量对每一微分方程中只包

12、含有一个状态变量对时间的导数；时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；输出信号是状态变量和输入信号的函数； 通常选择动态元件的输出作为状态变量，通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。在连续系统中是选积分器的输出。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组建立给定系统的状态方程的方法分为建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：直接法和间接法两类：直接法直接法主要应用于电路分析、电网络主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；（如滤波器）的计算机辅助设计；间接法间接法常见于控制系统研究。常见于控制系统研

13、究。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组二由电路图直接建立状态方程 (1)选取选取独立独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。有时也选电容电荷与电感磁链。 中必然包含中必然包含 ，注意只能将此项放在方程左边。，注意只能将此项放在方程左边。 (2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包包括括 ttiLLdd ttvCCdd，对连接有电容的结点列结点电流方程，其，对连接有电容的结点列结点电流方程，其(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。把方程

14、中非状态变量用状态变量表示。(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组状态变量的个数状态变量的个数 等于系统的等于系统的阶数。阶数。 k对于较简单的电路，用直观的方法容易列写对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（借助计算机辅助设计（CAD）技术。）技术。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组三由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程假定某一物理系统可用

15、如下微分方程表示假定某一物理系统可用如下微分方程表示 dddddddddddd111101111tebtetbtetbtetbtratrtatrtatrtkkkkkkkkkkkk此系统为此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次系统函数为次系统函数为 kkkkkkkksasasasbsbsbbsH1111111101为便于选择状态变量，系统函数表示成为便于选择状态变量，系统函数表示成 kkkkkkkkasasasbsbsbsbsH1111110. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组当用积分器来实现该系统时，其流图如下当

16、用积分器来实现该系统时，其流图如下 te tr0b1b2b1 kbkbs1s11s1s11 2 1 k k 1a 2a 1 ka2 kaka 2 kb3 取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的 ,21tttk. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 teaaaakkkkkkk11221113221 1122110112211teaaaabbbbbtrkkkkkkkk tebbabbabbabbabkkkkkk00111022201110状态方程状态方程输出方程输出方程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科

17、组通信与信息系统学科组表示成矢量矩阵的形式表示成矢量矩阵的形式 1000100001000010121121121teaaaakkkkkkk tebbabbabbabbabtrkkkkkk01210110220110,状态方程状态方程输出方程输出方程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 tetttettDCrBA简化成简化成对应对应A,B,C,D的矩阵分别为的矩阵分别为121100001000010aaaakkkA1000B 0110220110,babbabbabbabkkkkC0bD. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学

18、科组（二）用流图的串联结构形式列状态方程（二）用流图的串联结构形式列状态方程 四将系统函数分解 建立状态方程将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。的状态方程。 （一）用流图的并联结构形式列状态方程（一）用流图的并联结构形式列状态方程 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组时域方法时域方法借助计算机借助计算机变换域方法变换域方法简单简单由状态方程求系统函数由状态方程求系统函数. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组

19、通信与信息系统学科组一用拉普拉斯变换法求解状态方程 方程方程 tttttttDeCrBeAdd000021k，起始条件，起始条件方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换 sssssssDECRBEA0 sssBEAI0 ssssBEAIAI110整理得整理得. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 矩阵，则矩阵，则，称为特征矩阵或预解，称为特征矩阵或预解记为记为将将ssAI1 00ssssssssEDBCCRBE 零状态解零状态解零输入解零输入解sLtsLsLtsLsLsLtEDBCCrEB11111100因而时域表示式为因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的

20、一步是求可见，在计算过程中最关键的一步是求 。 s. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 sssEDBCR DBCHss若系统为零状态的，则若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为则系统的转移函数矩阵为是第是第i个输出分量对第个输出分量对第j个输入分量的转移函数。个输入分量的转移函数。 sHsHsHsHsHsHsHsHsHnmnnmm211222111211H sHij 则则，的的拉拉氏氏反反变变换换为为，的的拉拉氏氏反反变变换换为为设设tstshH 零状态解零状态解零输入解零输入解ttttttttehCreB00. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信

21、息系统学科组通信与信息系统学科组 1 1矩阵指数矩阵指数 的定义的定义二用时域法求解状态方程(一)矩阵指数!1!121e022kkkkkttktkttIAAAAA！tAeAkk 式中式中 为为 方阵方阵, , 也是一个也是一个 方阵方阵tAekk AAIAAAAAAAtttttttteeeddeeee12.2.主要性质主要性质. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组(二)用时域方法求解状态方程 1. 1. 求状态方程和输出方程求状态方程和输出方程 ttttBeAdd若已知若已知000021k并给定起始状态矢量并给定起始状态矢量对式对式(1)两边左乘两边左乘 ，

22、移项有，移项有tAe tttttttBeAAAAeedde(1)化简，得化简，得 eeddtttttBeAA. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组两边取积分，并考虑起始条件，有两边取积分，并考虑起始条件，有 ttt0d)(e0eBeAA对上式两边左乘对上式两边左乘 ，并考虑到，可得，并考虑到，可得tAeeeIAAtt e0ede0e0ttttttteBBeAAAA e0ede0e0 零零状状态态解解零零输输入入解解ttttttttttteDBCCDeBeCDeCrAAAA为方程的一般解为方程的一般解求输出方程求输出方程r(t). 信号与系统概论信号与系统概论

23、 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组依此原理，将依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于无穷项之和的表示式中高于 次的各次的各项全部化为项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和化为有限项之和对于对于 方阵方阵A有如下特性：有如下特性： kk ？如如何何求求tAe. 2凯莱凯莱-哈密顿定理（哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）：）：kjbbbbkkj,112210AAAIA也即，对于也即，对于 ，可利用，可利用 以下幂次的各项之和表以下幂次的各项之和表示示 ，式中，式中 为各项系数。为各项系数。kj jAb1kAtAek1

24、kAtAe112210ekktccccAAAIA(2)(3). 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组式中各系数式中各系数 c 都是时间都是时间t 的函数，为书写简便省略了的函数，为书写简便省略了变量变量t。按照凯莱按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式的特征值代入式(2)后，后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数中的系数c ，最后解出，最后解出 。tAe具体计算步骤：具体计算步骤：求矩阵求矩阵A的特征值；的特征值；将各特征值分别代入式（将各特征值分别代入式（3 3），求系数），求系数c

25、。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组第一种情况A的特征值各不相同，分别为的特征值各不相同，分别为 ，代入式，代入式(3)有有 k,21eee11221012122221011121211021kkkkktkktkktcccccccccccck(4). 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组第二种情况若若A的特征根的特征根 具有具有m阶重根，则重根部分方程为阶重根，则重根部分方程为 1 mkkmmmtmtmmkkttkktcmkkcmcmcmtckcctcccc1121111111211121111212110)!(!1-

26、! 2)!1(!1eedd12eedde11111其他非重根部分与式其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解相同处理，两者联立解得要求的系数。得要求的系数。(5). 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组8.3 离散时间系统状态方程的建立 状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入由系统的输入 输出差分方程建立状态方程输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系

27、统学科组通信与信息系统学科组一状态方程的一般形式和建立方法概述 离散系统的状态方程：一阶差分方程组离散系统的状态方程：一阶差分方程组为系统的为系统的r 个输出信号。个输出信号。为系统的为系统的m 个输入信号；个输入信号； nnnk,21 nxnxnxm,21 nynynyr,21为系统的状态变量；为系统的状态变量；. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 ,;,;,;,2121212122212111nnxnxnxnnnhnynnxnxnxnnnhnynnxnxnxnnnhnymkrrmkmk输出方程：输出方程： ,;,1,;,1,;,121212121222

28、12111nnxnxnxnnnfnnnxnxnxnnnfnnnxnxnxnnnfnmkkkmkmk状态方程：状态方程：. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即态变量和输入信号的线形组合，即 nxbnxbnxbnananannxbnxbnxbnananannxbnxbnxbnanananmkmkkkkkkkkmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111111状态方程：状态方程：. 信号与

29、系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 nxdnxdnxdncncncnynxdnxdnxdncncncnynxdnxdnxdncncncnymrmrrkrkrrrmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111输出方程：输出方程：. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组可见：可见：n+1时刻的状态变量是时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的时刻状态变量和输入信号的函数。函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。

30、量常常选延时单元的输出。 表示成矢量方程形式 1111111nnnnnnmmrkkrrmmkkkkkxDCyxBA输输出出方方程程状状态态方方程程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 nnnnk21kkkkkkaaaaaaaaa212222111211Akmkkmmbbbbbbbbb212222111211B各矩阵说明 nynynynr21y nxnxnxnm21xrkrrkkccccccccc212222111211Crmrrmmddddddddd212222111211D. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组若系统是

31、线性时不变的，则若系统是线性时不变的，则A,B,C,D 各元素都为常数，各元素都为常数，不随不随n 改变。改变。 若若A,B,C,D 矩阵是矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的，的函数，表明系统是线性时变的，图中，图中， 是延时单元，它的输入为是延时单元，它的输入为 ，输出，输出 。1 z 1 n n示意结构图 nD nA nB nC1z ne nr t. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组二由系统的输入 输出差分方程建立状态方程 对于离散系统通常用下列对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述（输阶差分方程描述（输入入输出方程）输出方程） k knxbknx

32、bnxbnxbnxbknyaknyanyanyanykkkk1211211210121 kkkkkkkkazazazbzbzbzbzH1111110其系统函数为其系统函数为. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 kkkkkkkkkzazazazazzbzbzbzbbzH11221112210考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为其流图形式其流图形式 nx ny0b1b2b1kbkb11z121kk1a2a1ka2kaka2kb31z1z1z. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系

33、统学科组 nxnanananannnnnnnkkkkkkk112211132211111选选延时单元输出延时单元输出作为状态变量，则有作为状态变量，则有 nxbnbabnbabnbabnbabnxnanananabnbnbnbnbnykkkkkkkkkkkkkk001110222011101122110112211. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组表示成矢量方程形式为表示成矢量方程形式为 nnnnnnDxCyBxA1121100001000010aaaakkkA1000B 0110220110,babbabbabbabkkkk，C0bD其中其中. 信号与

34、系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组三给定系统的方框图或流图建立状态方程 给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。 四由研究对象的运动规律直接建立状态方程. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组矢量差分方程的时域求解矢量差分方程的时域求解An的计算的计算离散系统状态方程的离散系统状态方程的z变换解变换解离散系统状态方程的求解和连续系统的离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域

35、和变换域两种求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。方法。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组一矢量差分方程的时域求解 nnnBxA1离散系统的状态方程表示为离散系统的状态方程表示为0001nnnBxA此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。设给定系统的起始状态为：在设给定系统的起始状态为：在 ， 则按式则按式(1)有有0nn 0n以下用迭代法，求以下用迭代法，求 时刻的值：时刻的值： nnn,3,200 0001nnnBxA1112000000nnnnnnBxABxABxA2（1）. 信号与系统概论信号与系统概论

36、 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 212230000000nnnnnnnBxABxBxAABxA23对于任意对于任意n 值，当值，当 可归结为可归结为0nn 11002010000001111nniinnnnnnnnninnnnnnnnBxAABxBxABxAABxA上式中，当上式中，当 时第二项不存在，此时的结果只由时第二项不存在，此时的结果只由第一项决定，即第一项决定，即 本身，只有当本身，只有当 时，式时，式(2)才才可给出完整的可给出完整的 之结果。之结果。0nn 0n0nn n(2). 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组如果起始时刻选如果

37、起始时刻选 ，并将上述对，并将上述对 值的限制以阶跃信值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有号的形式写入表达式，于是有 00 nn 零状态解零状态解零输入解零输入解10101nuinunniinBxAAn nnnDxCy还可解得输出为还可解得输出为 零零状状态态解解零零输输入入解解nunnuinuniDxBxCACAi1nn1010. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组由两部分组成：由两部分组成：n一是起始状态经转移后在一是起始状态经转移后在 时刻得到的响应分量；时刻得到的响应分量； 1 n另一是对另一是对 时刻以前的输入量的响应。它们分别时刻以前的输入

38、量的响应。它们分别称为零输入解和零状态解。称为零输入解和零状态解。其中其中 称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中的的 含义类似，也用符号含义类似，也用符号 表示，写作表示，写作nAtAe n nnA它决定了系统的自由运动情况。它决定了系统的自由运动情况。. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组可以看出，零状态解中，若令可以看出，零状态解中，若令 ，则系统的单位，则系统的单位样值响应为样值响应为 nnx nnnDBuCAh1n1可见，零状态解正是可见，零状态解正是 与与 的卷积和，也可写作的卷积和，也可写作 nh

39、nx nnxh nnnDxCy 零零状状态态解解零零输输入入解解nunnuinuniDxBxCACAi1nn1010. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组关键：关键：计算状态转移矩阵计算状态转移矩阵 ，即，即 。二 的计算 nA nnA112210nnnccccAAAIA 利用凯莱一哈密顿定理，利用凯莱一哈密顿定理，(3)设设 为为A的的n n个独立的特征单根，用下列联立方个独立的特征单根，用下列联立方程组求系数程组求系数)2 , 1(1ni110, kccc11221012122221021112121101nnnnnjnnnjnnjccccccccccc

40、c110, kccc将将 分别代入分别代入（3），即可。，即可。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组若若 的特征根为重根的情况，例如的特征根为重根的情况，例如 为为A 的的m 阶重根，阶重根，则对重根部分计算为则对重根部分计算为1111311132212221112111111212110! 1!dd212321dd12dd111mnmmnnnnnnnnnnnmnncnnccnncnccnccccA1 mnkmmmcmnncmcmcm1121111! ! 1! 2! 1! ! 1. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组三

41、离散系统状态方程的 变换解 和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变换变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。方法也使状态方程的求解显得容易一些。 z由离散系统的状态方程和输出方程由离散系统的状态方程和输出方程 nnnnnnDxCyBxA1z zzzzzzzzDXCYBXA0两边取两边取 变换变换z zzzzzzzzzzzDXBXAICAICYBXAIAI111100整理整理,得到得到. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 zZzZzzZnzZzZzzZnXDBAICAICyXBAIAI111111111100取其

42、逆变换即得时域表示式为取其逆变换即得时域表示式为: :状态转移矩阵即为状态转移矩阵即为 11111AIAIAzZzzZn1111AIAzZnun或或. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组8.5 状态矢量的线性变换从状态变量的选择看出，同一系统可以从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因矢量用不同基底表示

43、时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有用的。变换，对于简化系统分析是很有用的。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组一在线性变换下状态方程的特性之之间间有有与与另另一一组组状状态态变变量量变变量量变变换换关关系系，设设一一组组状状态态按按线线性性空空间间不不同同基基底底的的kkkkkkkkkkppppppppp22112222121212121111矢量形式矢量形式p k21k21kkkkkkpp

44、ppppppp212222111211P为为列列矢矢量量和和其其中中线线性性变变换换. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组系数间的关系设原基底下状态方程表示为设原基底下状态方程表示为 tetttBAdd经变换后经变换后 tetttBAPP11dd或或 tettettettytettetttDCDCPDCBAPBPAPdd11DDCPCPBBPAPA11D,C,B,ADC,B,A,新矩阵系数新矩阵系数原矩阵系数原矩阵系数系数间的关系系数间的关系. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组二系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上

45、讲状态方程式描述系统的一种方法，而从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：不变的： DBAICDBAICH11sss上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。结论同样适用于离散系统。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通

46、信与信息系统学科组三A矩阵的对角化在线性变换中，使在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。阵的对角化是很有用的变换。A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际矩阵的对角化。实际上就是以上就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求矩阵对角化所需

47、要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矩阵的特征矢量，以次构作变换阵矢量，以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分，即可把状态变量相互之间分离开。离开。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组四由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状态方程，则由态方程，则由A阵的对角化分析可知，阵的对角化分析可知，A矩阵对角化矩阵对角化后其对角元素是后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统矩阵的特征值，特征值决定

48、了系统的自由运动情况。因此可根据的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。系统的稳定情况。 连续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组连续系统稳定性的判断 0Rei的的特特征征值值稳稳定定系系统统：A这需要解方程这需要解方程 0 AIa转移函数分母的特征多项式转移函数分母的特征多项式 0 AI s此方程的根在此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。平

49、面的左半平面，可确定系统为稳定的。 . 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组离散系统稳定性的判断1ia即系统的特征根位于单位圆即系统的特征根位于单位圆内内，和连续系统相似，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。位置相同，所以他们的判定准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，则要求对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值矩阵的特征值. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组 8.6 系统的可控制性与可观测性系统的可控性定义、

50、判别法系统的可控性定义、判别法系统的可观性定义、判别法系统的可观性定义、判别法可控、可观性与系统转移函数之关系可控、可观性与系统转移函数之关系. 信号与系统概论信号与系统概论 通信与信息系统学科组通信与信息系统学科组一系统的可控性定义、判别法可控性：可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这