工程电磁场第一章2

1、第第 一一 章章静静 电电 场场4. 4. 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 静电场中导体的性质静电场中导体的性质导体内电场强度导体内电场强度 E 为零，静电平衡；为零，静电平衡； 导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面； 下 页上 页 根据物质在静电场中的表现可以把它们分成导体和根据物质在静电场中的表现可以把它们分成导体和电介质两大类，电介质两大类，导体和电介质的存在将影响电场的分布，导体和电介质的存在将影响电场的分布，因此有必要讨论它们在电场中的因此有必要讨论它们在电场中的性质。性质。导体导体导体内含有大量的自由电子，如果对它们施导体内含有大量的自由电子

2、，如果对它们施加电场将引起其中自由电荷的运动。加电场将引起其中自由电荷的运动。导体性质：导体性质：导体内无电荷导体内无电荷 =0=0，带电导体的电荷一定分布在导，带电导体的电荷一定分布在导体表面形成面电荷体表面形成面电荷 ；第第 一一 章章静静 电电 场场电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面； 下 页上 页导体引入电场将发生静电感应现象。导体引入电场将发生静电感应现象。 外电场外电场E+ +- -感应电荷产生的电场感应电荷产生的电场导体球在均匀电场中第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页静电屏蔽静电屏蔽 q在金属球壳内第第 一一 章章静静 电电 场场接地导体都不带电。（ ）一导

3、体的电位为零，则该导体不带电。 （ ）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ）下 页上 页思考电位与参考点的选取有关电位与参考点的选取有关第第 一一 章章静静 电电 场场无极性分子有极性分子电介质的极化静电场中的电介质静电场中的电介质下 页上 页E E电介质电介质电介质内的电子被原子或分子内在力，或分电介质内的电子被原子或分子内在力，或分子间的力束缚而不能自由运动，如果对它们子间的力束缚而不能自由运动，如果对它们施加电场将引电介质的极化。施加电场将引电介质的极化。第第 一一 章章静静 电电 场场电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排

4、列；电介质内部和表面产生极化电荷电介质内部和表面产生极化电荷 ( (polarized charge)； 极化电荷与自由电荷一样是产生电场的源，从而引起原极化电荷与自由电荷一样是产生电场的源，从而引起原电场的变化。电场的变化。下 页上 页电介质性质：电介质性质： 极化强度极化强度P ( polarization intensity )表示电介质极化程度的量，定义：表示电介质极化程度的量，定义：20C/m limavVNPVpP 电偶极矩电偶极矩体密度体密度第第 一一 章章静静 电电 场场 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 EP0e 电介质的极

5、化率电介质的极化率, ,无量纲量。无量纲量。e 各向同性媒质 线性媒质媒质特性不随空间坐标而变化；媒质特性不随空间坐标而变化；下 页上 页 关于媒质的术语：关于媒质的术语：媒质特性不随电场方向而改变；媒质特性不随电场方向而改变； 均匀媒质 媒质特性不随电场的值而变化；媒质特性不随电场的值而变化；第第 一一 章章静静 电电 场场 极化强度与极化电荷的关系极化强度与极化电荷的关系下 页上 页大电偶极子大电偶极子VS+Q-Qa均匀极化SQaSQaVVVddlimlim00pPSPQSPQdddnpe PdddpVVQPS P VV Pp根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零根据电荷守恒原理，极化电荷的

6、总和为零第第 一一 章章静静 电电 场场 极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位2020414cosRRqdRep体积 V 内电偶极子产生的电位d) ()(4130VPVrrrrr下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场d) (4120VRVRerPRRRR112ed1) (410VRVrPd) (41d) (4100VRVRVVrPrP矢量恒等式：uuuFFF)(下 页上 页体积 V 内电偶极矩产生的电位第第 一一 章章静静 电电 场场d) (41d) (41 00SRVRSnVerPrP令Pp极化电荷体密度npeP 极化电荷面密度d) (41d) (41)(00SRVR

7、SpVprrrd) (41d) (41 00VRVRVVrPrP下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场0ddVSnSVePP根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零0p电介质均匀极化时，极化电荷体密度电介质均匀极化时，极化电荷体密度 下 页上 页比较导体和介质的性质可以得出：比较导体和介质的性质可以得出：电场对导体的影响是引起静电场感应产生感应电荷；电电场对导体的影响是引起静电场感应产生感应电荷；电场对介质的影响是引起介质极化，产生极化电荷；场对介质的影响是引起介质极化，产生极化电荷；感应电荷在导体内产生的电场抵消外电场，使导体内电场感应电荷在导体内产生的

8、电场抵消外电场，使导体内电场为零；极化电荷在介质内产生的电场只是削弱外电场；为零；极化电荷在介质内产生的电场只是削弱外电场；导体是等位体；介质中各点电位不同；导体是等位体；介质中各点电位不同；介质所能经受的电场强度有一定的限度，这个电场强度介质所能经受的电场强度有一定的限度，这个电场强度的极限称为电介质强度；的极限称为电介质强度；注意第第 一一 章章静静 电电 场场电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律ffpfPEPE )(0000定义PED0 电位移矢量 （displacement vector） D高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式取体积分VVVddD SqSD d高斯定理的积分形式高斯定

9、理的积分形式下 页上 页普遍形式的普遍形式的高斯定律高斯定律第第 一一 章章静静 电电 场场ED 介电常数 F/mr 0 其中 相对介电常数，无量纲量。er 1EEEEPEDre 0000构成方程下 页上 页穿出任意闭合面的电位移矢量的通量等于闭合穿出任意闭合面的电位移矢量的通量等于闭合面内自由电荷的代数和，而与闭合面的形状、面内自由电荷的代数和，而与闭合面的形状、大小、电荷的分布及介质的分布无关；大小、电荷的分布及介质的分布无关；在各向同性介质中在各向同性介质中注意第第 一一 章章静静 电电 场场D、E 与 P 三者之间的关系D线E线P线D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；线由正的

10、自由电荷发出，终止于负的自由电荷；E 线由正电荷发出，终止于负电荷；线由正电荷发出，终止于负电荷；P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。下 页上 页D、E 与与 P 三者之间的关系三者之间的关系第第 一一 章章静静 电电 场场1.3 1.3 基本方程基本方程分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1. 1. 静电场基本方程静电场基本方程 ( Basic Equation )静电场是有源无旋场，电荷是静电场的源。静电场是有源无旋场，电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition0 E D微分形式微分形式0

11、 lldEqSdDS 积分形式积分形式构成方程构成方程ED 下 页上 页分析静电场分析静电场的依据的依据第第 一一 章章静静 电电 场场 2泊松方程泊松方程 E0 E EEE 2222222zyx 2 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 D02 拉普拉斯方程拉普拉斯方程当当 =0时时下 页上 页2.2.泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation)第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页泊松方程和拉普拉斯方程结合了静电场基本方程；泊松方程和拉普拉斯方程结合了静电场基本方程；泊松方程和拉普拉斯方程只适用于均匀、线性泊松方

12、程和拉普拉斯方程只适用于均匀、线性和各向同性的媒质；和各向同性的媒质； 2 2 1 1 3 3 3 3 1 1 2 2012 02 2 02 3 同一媒质中的有源区和无源区要分别列出泊松同一媒质中的有源区和无源区要分别列出泊松方程和拉普拉斯方程；方程和拉普拉斯方程； =0=01 2 012 22注意第第 一一 章章静静 电电 场场 E 的衔接条件的衔接条件围绕点围绕点 P 作一矩形回路作一矩形回路 ttEE12 0dllE根据根据01211 2lttdlElElE下 页上 页介质分界面02 L3. 3. 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件（Boundary Condition) 当电场中存在

13、不同媒质时，在不同媒质分界面处，场量当电场中存在不同媒质时，在不同媒质分界面处，场量的大小和方向会发生变化，有必要了解分界面上场量所应满的大小和方向会发生变化，有必要了解分界面上场量所应满足的条件，这些条件称为不同媒质分界面上的衔接条件。足的条件，这些条件称为不同媒质分界面上的衔接条件。第第 一一 章章静静 电电 场场包围点包围点 P 作高斯面作高斯面 D的衔接条件的衔接条件SDSDSDnndS21侧面qSSDd根据根据介质分界面nnDD12当当0 nnDD21下 页上 页0L第第 一一 章章静静 电电 场场静电场的折射定理静电场的折射定理当交界面上 时，02121tantan折射定律折射定律

14、 DDnn21 ttEE21 222111coscosEE2211sinsinEE下 页上 页 介质分界面 在不同媒质分界面处，场在不同媒质分界面处，场量的方向会发生变化。量的方向会发生变化。第第 一一 章章静静 电电 场场0dlim21Pp021lEd 的衔接条件的衔接条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧， 0d21因此电位连续 电位的衔接条件下 页上 页21若则EE第第 一一 章章静静 电电 场场nEDnEDnnnn2222211111,nn2211得由 其中nnDD12下 页上 页2121bbaa21a1b2a2b121UU 2211UlEUlEtt2t1tEE212t1tEE等价等价

15、第第 一一 章章静静 电电 场场 D 的衔接条件的衔接条件nnDD12D 的法向分量不连续的法向分量不连续下 页上 页ttEE12 E 的切向分量连续。的切向分量连续。E 的衔接条件的衔接条件 的衔接条件的衔接条件nn2211电位的法向导数不连续电位的法向导数不连续21电位连续电位连续2121tantan折射定律折射定律结论第第 一一 章章静静 电电 场场导体表面是等位面，导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；线与导体表面垂直； 导体与电介质分界面例例解解ttnnEEDD2112 ，nn221121 ，212 , Cn导体中导体中 E10 ，D1=0导体表面上任一点的导体表面上任一点的 D

16、等于该点的等于该点的 。下 页上 页试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 分界面衔接条件分界面衔接条件0 E 222tnnED，分界面介质侧分界面介质侧表明第第 一一 章章静静 电电 场场电力电容下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场测量局部放电下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场放电铜球下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场忽略边缘效应忽略边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121 EE22110SSq图图(a)图图(b)02211qSS2211 试求两个平板电容器的电场强度。试求两个平板电容器的电场强度。2211

17、EE02211UdEdE平行板电容器例例解解下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场1.4 1.4 静电场边值问题静电场边值问题 唯一性定理唯一性定理静电场的求解可分为两类：静电场的求解可分为两类：VreEd42rBoundary Value Problem and Uniqueness Theorem下 页上 页第一类问题：场源问题第一类问题：场源问题已知空间电荷分布，求电场分布已知空间电荷分布，求电场分布Vrd4第二类问题：边值问题第二类问题：边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给场域边界上

18、的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。定边界条件的电位微分方程的解。直接求积分方程直接求积分方程直接求微分方程直接求微分方程第第 一一 章章静静 电电 场场1. 静电场的边值问题静电场的边值问题（Boundary Problem)边值边值问题问题场域边界条件场域边界条件( (待讲）待讲）分界面衔分界面衔 接条件接条件 强制边界条件强制边界条件 有限值有限值lim0r自然边界条件自然边界条件 有限值有限值rrlim微分微分方程方程边界边界条件条件初始初始条件条件21nn2211泊松方程泊松方程/2拉普拉斯方程拉普拉斯方程02下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场场

19、域边界条件场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条件）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)3）第三类边界条件）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位已知边界上的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数已知边界上电位的法向导数( (即电荷面密度即电荷面密度 或或电力线电力线) )(2sfnS)()3sfnS（下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法积分方程法积分方程法

20、积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法计算法计算法实验法实验法解析法解析法数值法数值法实测法实测法模拟法模拟法边边值值问问题题下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场试写出图示静电场的边值问题。试写出图示静电场的边值问题。 0z2222222yxV100)1S(0)(大地，下 页上 页例例解解S1 100VS2 50VV50)2S(大地以上空间：大地以上空间： 第第 一一 章章静静 电电 场场试写出图示平板电容器电场的边值问题。试写出图示平板电容器电场的边值问题。 021212x221dx 下 页上 页例例解解+q12-q2 1

21、 022222x0dxd/2011xSqndxSqn2222211dxnn同一个条件同一个条件010 x参考点参考点第第 一一 章章静静 电电 场场试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 根据场分布的对称性根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy下 页上 页缆心为正方形例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场2.2.静电场的静电场的唯一性定理唯一性定理（Uniqueness Theorem)研究

22、给定怎样的条件静电场解是唯一的。研究给定怎样的条件静电场解是唯一的。下 页上 页唯一性定理唯一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。程的解是唯一的。或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。唯一性定理的证明唯一性定理的证明 ：证明（反证法）证明（反证法）第第 一一 章章静静 电电 场场下 页 为简便起见，设场中只有一种均匀媒质，场域边为简便起见，设场中只有一种均匀媒质，场域边界为导体边界和无穷远处的边界面。界为导体边界和无穷远处的边界面。ro设场有两个解：设场有两个解：x,y,zx,

23、y,z21和都满足方程和边界条件：都满足方程和边界条件：1222kSkU1kSkU2kSQdSnk1kSQdSnk2S1S2SnSo Q1Q2Qn上 页第第 一一 章章静静 电电 场场下 页21 令022122kS2100dSndSndSnkkkS2S1S0z 2222222yx场域内场域内无极值无极值02121拉普拉拉普拉斯方程斯方程零边界零边界上 页第第 一一 章章静静 电电 场场VVdSddSVV 2)()( 2)()( 2对等式两端求体积分对等式两端求体积分 ddnSdVSsVS 2)( 即即下 页022122 应用矢量恒等式应用矢量恒等式2)( kS 0 0 kSdSn 00 C 0

24、 考虑参考考虑参考点电位点电位上 页第第 一一 章章静静 电电 场场201 axdU3. 3. 唯一性定理的意义唯一性定理的意义图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。002 bUxdU003 cUxdU下 页上 页 平板电容器外加电源U0例例可用以判断静电场问题解的正确性。可用以判断静电场问题解的正确性。0222xdx0 x00 ,U第第 一一 章章静静 电电 场场已知点电荷的电场，问：已知点电荷的电场，问：下 页上 页例例q放置与点电荷同心的导体薄球壳，放置与点电荷同

25、心的导体薄球壳，空间场是否改变？空间场是否改变？放置与点电荷同心的有厚度的导体球放置与点电荷同心的有厚度的导体球壳，空间场是否改变？改变电荷在壳壳，空间场是否改变？改变电荷在壳内的位置，内的位置，空间场是否改变？空间场是否改变？放置一偏心的导体球壳，空间场放置一偏心的导体球壳，空间场是否改变？是否改变？02rRr0 ,CqdSDSqq第第 一一 章章静静 电电 场场RRRURRUE RR21212lnlndlnd22图示无限长同轴电缆，内导体加电压图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外，外导体接地，求内外导体间的电场分布。导体接地，求内外导体间的电场分布。eE212ln222121RRddEURRRR下 页上 页例例 R1 1R2 2U解一解一应用高斯定律应用高斯定律12lnU2RReRRUE12ln任一点的电位任一点的电位第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页 R1 1R2 2U解二解二解边值问题，场为轴对称，取圆柱坐标解边值问题，场为轴对称，取圆柱坐标dddd102120RRU, 通解通解BAln边界条件边界条件BRAU1lnBRA2ln021lnRRUA 221lnlnBRRRURRRU 212lnln