第4章统计物理学基础

1、研究与温度有关的热现象的科学。研究与温度有关的热现象的科学。热力学热力学从宏观的角度研究热现从宏观的角度研究热现象，建立宏观量象，建立宏观量(温度、温度、压强、体积压强、体积)之间的关系。之间的关系。研究宏观物体之间热功研究宏观物体之间热功转换的关系和条件。转换的关系和条件。统计物理学统计物理学运用统计方法，阐明宏运用统计方法，阐明宏观量观量(温度、压强等温度、压强等)的的微观本质，讨论气体分微观本质，讨论气体分子的速度、速率、能量子的速度、速率、能量满足的统计分布规律。满足的统计分布规律。第二篇第二篇 热物理学热物理学4-1 统计物理的基本概念统计物理的基本概念一、物质的微观模型一、物质的微

2、观模型热力学系统热力学系统（热力学研究的对象）（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。 外界外界：热力学系统以外的物体。热力学系统以外的物体。0rrFO 斥斥力力引引力力(1)分子分子(或原子或原子)非常小非常小. 10 9m 10 10m(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大. NA 1023(3)分子之间存在相互作用力分子之间存在相互作用力分子力。分子力。(4)分子或原子都以不同的速分子或原子都以不同的速率不停地运动。率不停地运动。微观粒子体系的基本特征微观粒子体系的基本特征宏观量

3、宏观量(状态参量状态参量) :描写热力学系统宏观状态的参量。描写热力学系统宏观状态的参量。 如如 压强压强 p、体积、体积 V、温度、温度 T 等。等。微观量微观量: :描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。物理量。 如分子的质量、如分子的质量、 直径、速度、动量、能直径、速度、动量、能量等。量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、系统状态的描写二、系统状态的描写在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强。但随着时间的

4、推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是是平衡态平衡态。设一容器，用隔板将其隔开，当设一容器，用隔板将其隔开，当隔板右移时，分子向右边扩散隔板右移时，分子向右边扩散平衡态平衡态: :在无外界的影响下，系统的宏观性质不随在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。时间改变的稳定状态。假想把箱子分成两相同体积的部假想把箱子分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：例如：粒子数粒子数说明说明：平衡态是一种理想状态平衡态是一种

5、理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间不随时间 改变。改变。平衡态是一种热动平衡平衡态是一种热动平衡状态方程状态方程mpVRTM 理想气体理想气体0),( TVpf物态方程物态方程(状态方程状态方程)当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：函数关系：m气体质量气体质量M气体摩尔质量气体摩尔质量po),(111TVpI222II(,)p VTV 8.31J/molR 普普 适适 气气 体体

6、 常常 量量在温度保持不变的过程中，理想气体的压强与体积在温度保持不变的过程中，理想气体的压强与体积之间的关系为双曲线。之间的关系为双曲线。 Celsius scale: TC ( C) =T(K)273.15 Kelvin scale: T(K)= TC ( C) +273.15K 9 5TF ( F) = TC ( C) +32Temperature is one of the seven SI base quantities: Fahrenheit scale F102C39 FCTT例例1. 氧气瓶的压强降到氧气瓶的压强降到106Pa就要重新充气，以免混入就要重新充气，以免混入其他气体

7、而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压，压强为强为1.3 107Pa，若每天用，若每天用105Pa的氧气的氧气400L，问此瓶，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为111222333p V mp V mp V m使用时的温度为使用时的温度为T设可供设可供 x 天使用天使用原有原有每天用量每天用量剩余剩余 x 111p V m T22

8、2p V m T333p V m T分别对它们列出状态方程，有分别对它们列出状态方程，有312112233mmmp VRTp VRTp VRTMMM 13132VVmmxm 13131222()mmpp VxmpV (130 10) 329.61 400 天天p2 =105PaV2 = 400Lp3 =106PaV3 = V1 = 32Lp1 =1.3 107Pa三、分子热运动的无序性和统计规律性三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性什么是统计规律性(statistical regularity) 大量偶然性大量偶然性从从整体上整体上所体现出来的必然性。所体现出来的必然性。例例.

9、扔硬币扔硬币从入口投入小球从入口投入小球与钉碰撞与钉碰撞落入狭槽落入狭槽为清楚起见为清楚起见 , , 从正面来从正面来观察。观察。( ( 偶然偶然 ) )隔板隔板铁钉铁钉统计规律和方法统计规律和方法 伽尔顿板伽尔顿板 大量偶然事件整体所遵大量偶然事件整体所遵循的规律循的规律 统计规律。统计规律。再投入小球：再投入小球：经一定段时间后经一定段时间后 , 大量小大量小球落入狭槽。球落入狭槽。分布情况分布情况: 中间多，两边少。中间多，两边少。重复几次重复几次 ，结果相似。，结果相似。单个小球运动是随机的单个小球运动是随机的 ,大大量小球运动分布是确定的。量小球运动分布是确定的。小球数按空间小球数按

10、空间位置位置 分布曲线分布曲线统计规律和方法统计规律和方法四、四、 统计的基本概念统计的基本概念(self taught自学自学)1. 概率概率 如果如果N次试验中出现次试验中出现A事件的次数为事件的次数为NA,当当N时，比值时，比值NA/N称为出现称为出现A事件的事件的概率概率。()limANNP AN 概率的性质概率的性质:(1) 概率取值域为概率取值域为1)(0 AP 统计规律特点统计规律特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性

11、。大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 (2) 各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1)( NNAPiAiiii几率归一化条件几率归一化条件(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和二互斥事件的概率等于分事件概率之和()( )( )P ABP AP B (4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积二相容事件的概率等于分事件概率之积)()(),(BPAPBAP 统计平均值统计平均值 设设 N 个分子组成的系统，处于某一状态。如果在这个分子组成的系统，处于某一状态。如果在这 N 个分子中，有个分子中，有 N1 个分子的物理量个分子的物理量 W 取值为取值为 W1，N2

12、 个分子的取值为个分子的取值为 W2，则物理量，则物理量 W 的的算术平均值：算术平均值： 一般一般 与与N的依赖关系随的依赖关系随N增大而减弱。当增大而减弱。当N增大增大到到 与与N无关时，就把无关时，就把 称为物理量称为物理量W在该状态上的在该状态上的统计平均值。统计平均值。WWWiiiWNNW NWNWN 2211WNiiiWNNW 一般一般 与与N的依赖关系随的依赖关系随N增大而减弱。当增大而减弱。当N增大增大到到 与与N无关时，就把无关时，就把 称为物理量称为物理量W在该状态上的在该状态上的统计平均值。统计平均值。WWW 在一定宏观条件下，对系统某一物理量的某一次测在一定宏观条件下，

13、对系统某一物理量的某一次测量值并不一定等于它的统计平均值量值并不一定等于它的统计平均值 只有当分子数只有当分子数 N 很大时，涨落相对统计平均值很很大时，涨落相对统计平均值很小，才能用统计平均值代表宏观测量值。小，才能用统计平均值代表宏观测量值。 直角坐标系中，分子在三个坐标轴上的直角坐标系中，分子在三个坐标轴上的速度分量平速度分量平方方的统计平均值：的统计平均值： 22,ixixvvN 22,iyiyvvN 22izizvvN 围绕统计平均值的涨落围绕统计平均值的涨落因因 ，则有则有: :2222ixiyizivvvv 如果系统处于平衡态，分子向各个方向运动的概率如果系统处于平衡态，分子向各

14、个方向运动的概率相等：相等：222xyzvvv 2222ixiyiziiiiivvvvNNNN2222xyzvvvv 222213xyzvvvv4-2 理想气体的压强理想气体的压强 温度和内能温度和内能一、理想气体的微观模型和统计假设一、理想气体的微观模型和统计假设1 . 理想气体微观模型理想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。可忽略不计。1)2) 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。3) 分子间的碰撞是完全弹性的。分子间的碰撞是完全弹性的。4) 分子所受重力忽略不计。分子所受重力忽略不计。理想气体

15、的分子模型是弹性的自由运动的质点。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。2 . 统计假设统计假设 分子数密度处处相等；分子数密度处处相等； cbannn 分子沿各个方向运动的几率均等。分子沿各个方向运动的几率均等。即分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。即分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。222213xyzvvvv 2222212invvvvvNN abc0 zyxvvv二理想气体的压强公式二理想气体的压强公式 一定质量的处于平衡态的某种理想气体。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m )kvjvivviziyixi 平衡态下器壁平衡态下器壁各处压强相同，各处压强

16、相同，选选A1面面, 求其所求其所受压强。受压强。xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvxy1lO2A1Aixmvixmv i分子动量增量分子动量增量ixixmvp2 i分子对器壁的冲量分子对器壁的冲量ixmv2i分子相继与分子相继与A1面碰撞的时间间隔面碰撞的时间间隔12/ixtlv 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的碰撞次数面的碰撞次数121l/vt/Zix 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的冲量面的冲量122l/vmvixix i分子对分子对A1面的平均冲力面的平均冲力122l/vmvFixixix 所有分子对所有分子对A1面面的平均作用力的平均作用力 Nii

17、xNiixxvlmFF1211压强压强NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132 221NixixvvN nlllN 3212xpnmv i分子对分子对A1面面的平均冲力的平均冲力122l/vmvFixixix 1l2l3l222231vvvvzyx 2213xpnmvnmv 分子的平均平动动能分子的平均平动动能212Wmv 平衡态下平衡态下23pnW 2xpnmv 该公式表明平衡态下理想气体的该公式表明平衡态下理想气体的压强压强( 宏观量宏观量)与分子的平均平动与分子的平均平动动能动能(微观量的统计平均值微观量的统计平均值)的关系的关系2221()()332m

18、NvNpmvVV压强正比于单位体积内的分子数及分子的平均平动压强正比于单位体积内的分子数及分子的平均平动动能动能.该关系式给出了宏观量该关系式给出了宏观量(p)与微观量与微观量(分子速率分子速率)的统的统计平均值之间的关系计平均值之间的关系. 即揭示了宏观量的微观本质即揭示了宏观量的微观本质.可以通过增加容器内单位体积里的分子数可以通过增加容器内单位体积里的分子数(You do this when you add air to a tire)或增加分子的平均平动动能使得或增加分子的平均平动动能使得容器内的压强增加容器内的压强增加.The pressure in the tire can als

19、o be increased by increasing the average translational kinetic energy of molecules in the tire.1AANRpRTnTV NN三、分子的平均平动动能与温度的关系三、分子的平均平动动能与温度的关系mpVRTM 2311.38 10J KAkR N nkTp 23pnW 21322WmvkT 温度是气体分子平均温度是气体分子平均平动动能大小的量度平动动能大小的量度玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率(root-mean-square speed)2v大量分子速率的平方平均值的平方

20、根大量分子速率的平方平均值的平方根233kTRTvmM 21322WmvkT 气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率vrms 与气体的热力学温度的与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv 221/vM 例例2. (1)在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27oC升到升到177oC，体积减少一半，求气体压强变化多少？，体积减少一半，求气体压强变化多少？ (2) 这时气体分子的平均平动动能变化多少？这时气体分子

21、的平均平动动能变化多少？解：解：112212(1)pVp VTT 12122,27327300K,273177450KVV TT 12211221233004502pVVpTVTVp 3(2)2WkT 2121213()23.11 10JWWWk TT 计算温度计算温度300K 的氮气分子的平均平动动能及方均根的氮气分子的平均平动动能及方均根速率速率. (氮分子质量氮分子质量m = 4.65 10 26 kg)解解: : 32WkT 23213(1.38 10)(300)26.21 10J. 3rmskTvm 23263(1.38 10)(300)4.65 10517m/s. 思考：思考：由以

22、上计算可知，室温下氮气分子的方均由以上计算可知，室温下氮气分子的方均根速率为根速率为517 m/s，但声音在该气体中的传播速率，但声音在该气体中的传播速率却为却为 350 m/s. 为什么为什么?课堂练习课堂练习1. 自由度自由度: 确定一个物体的空间位置所需要的确定一个物体的空间位置所需要的以刚性分子为例以刚性分子为例:四、能量按自由度均分定理四、能量按自由度均分定理 He O O O2 H H H H C CH4独立坐标数目独立坐标数目或物体可能具有的或物体可能具有的独立运动模式独立运动模式数目数目.单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子多原子分子多原子分子自由度自由度i = 3平动自由

23、度平动自由度自由度自由度i = 5平动自由度平动自由度3转动自由度转动自由度2自由度自由度i = 6平动自由度平动自由度3转动自由度转动自由度3二、能量均分定理二、能量均分定理21322WmvkT 222213xyzvvvv 22211112222xyzmvmvmvkT气体分子沿气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的三个方向运动的平均平动平均平动动能动能完全相等，可以认为分子的平均平动动完全相等，可以认为分子的平均平动动能能 均匀分配在每个平动自由度上。均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能自由度

24、的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有如果某种气体的分子有 t 个平动自由度个平动自由度, r 个转动个转动自由度自由度, s 个振动自由度个振动自由度.则分子具有：则分子具有：平均平动动能平均平动动能2tkT平均转动动能平均转动动能2rkT平均振动动能平均振动动能2skT注意：注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份对应分子的一个振动自由度，除有一份 平均动能外，还有一份平均势能。平均动能外，还有一份平均势能。结论：结论：分子的平均总能量分子的平均总能量 1(2 )2trs kT 对刚性分子：对刚性分子：不考虑振动，则分子的平均动能为不考虑振动，则

25、分子的平均动能为kTikTrt2)(21 单原子分子单原子分子i = 3双原子分子双原子分子i = 5多原子分子多原子分子i = 6五、理想气体的内能五、理想气体的内能分子间相互作用分子间相互作用可以忽略不计可以忽略不计分子间相互作用的势能分子间相互作用的势能=0理想气体的内能理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能理想气体的内能mol()22AiiENkTRT一定质量理想气体的内能一定质量理想气体的内能2iERT 温度改变温度改变 T，内能改变量，内能改变量2iER T 为摩尔数为摩尔数例例3.就质量而言，空气是由就质量而言，空气是由76%的

26、的N2，23%的的O2和和1%的的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为。空气的摩尔质量为28.9 10-3kg，试计算，试计算1mol空空气在标准状态下的内能。气在标准状态下的内能。解：解： 在在1摩尔空气中摩尔空气中N2质量质量33128.9 1076%22.1 10 kgm 摩尔数摩尔数11122.10.78928mM O2质量质量33228.9 1023%6.65 10 kgm 摩尔数摩尔数2226.650.20832mM Ar质量质量33328.9101%0.28910 kgm 摩尔数摩尔数3330.2890.00740

27、mM 1mol空气在标准状态下的内能空气在标准状态下的内能3121231122332221()2iiiERTRTRTiiiRT 31(5 0.7895 0.2083 0.007) 8.31 27325.68 10 J 练习十一练习十一 统计物理学基础（一）统计物理学基础（一）Homework 4-3 麦克斯韦分子速率分布率麦克斯韦分子速率分布率平衡态下，理想气体的每个分子运动速度各不相平衡态下，理想气体的每个分子运动速度各不相同，而且通过碰撞不断发生变化，对任何一个分同，而且通过碰撞不断发生变化，对任何一个分子来说，在任何时刻它的速度的大小受到许多偶子来说，在任何时刻它的速度的大小受到许多偶然

28、因素的影响，因而是不能预知的。但从整体上然因素的影响，因而是不能预知的。但从整体上统计地说，气体分子的速度统计地说，气体分子的速度分布是有规律的，这个规律叫分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，若不考虑分子速度的方向，则叫则叫麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律。问题：平衡态下，气体分子如何按速率分布？问题：平衡态下，气体分子如何按速率分布？解决方案：解决方案：按照经典理论，气体分子的速率可以连按照经典理论，气体分子的速率可以连续地取续地取0到无限大的任何数值到无限大的任何数值.因此，研究分子按速因此，研究分子按速率分布时需将分子按速率区间分组

29、，例如将速率以率分布时需将分子按速率区间分组，例如将速率以10m/s的间隔划分为的间隔划分为0 10, 10 20, 20 30 m/s,的区间，然后找出各区间的分子数的区间，然后找出各区间的分子数一、速率分布函数一、速率分布函数N分子总数分子总数.dN 速率处于速率处于v 到到 v dv区间的分子数区间的分子数.( )dNf vNdv f(v)的物理意义的物理意义: 速率在速率在v附近的附近的单位速率区间单位速率区间的分子的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比概率密度概率密度.( )dNf v dvN 或或: f(v)dv 为一个分子的速率为一个分子的速率处于处于v 到到 v dv的

30、概率的概率. 速率在速率在 v 到到 v+dv区间的分子区间的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比. 速率分布函数定义速率分布函数定义1859年年, 麦克斯韦根据概率论推导出了在平衡态下，麦克斯韦根据概率论推导出了在平衡态下，理想气体分子速率分布函数理想气体分子速率分布函数23 22/2( )4 ()2mvkTmf vv ekT f(v)dv( = dN/N ): 速率处于速率处于 v 到到 v+dv区间的分子数占总区间的分子数占总分子数的百分比分子数的百分比.或或:一个分子一个分子f(v)vdv面积面积=f(v)dv速率处于速率处于v 到到 v dv区间的概率区间的概率.速率在速率在

31、v1 到到 v2的分子数占总的分子数占总分子数的百分比分子数的百分比:2211( )vvvvdNf v dvN 速率分布曲线下的总面积速率分布曲线下的总面积0( )1f v dv v1v2二、麦克斯韦速率分布律及三种统计速率二、麦克斯韦速率分布律及三种统计速率归一化条件归一化条件分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值平均速率平均速率0( )vdNvvf v dvN 代入麦克斯韦速率分代入麦克斯韦速率分布函数，并积分得布函数，并积分得881.60kTRTRTvmMM 方均根速率方均根速率vrms220( ),vv f v dv 代入代入 f (v), 23kTvm 2331.73kTRTRTv

32、mMM 最概然速率最概然速率 vp f (v)的极大值对应的速率的极大值对应的速率令令 df (v) /dv = 0得得221.41pkTRTRTvmMM ( )dNf vNdv 273 K1273 K2273 Kvf(v)O f(v)vvrmsvpvO 881.60kTRTRTvmMM rms331.73kTRTRTvmMM 221.41pkTRTRTvmMM 分布曲线随温度或摩分布曲线随温度或摩尔质量的变化而变化尔质量的变化而变化如如T2 T1 或或 M2M1: 曲曲线下的面积始终为线下的面积始终为1. 总结总结 例例4. 氦气氦气: T = 300 K ,N = 106, 分子质量分子质

33、量m = 6.65 10 27 kg. (a) 原子的最概然速率原子的最概然速率? 解解: :233272(2)(1.38 10)(300)1.12 10 m/s(6.65 10)pkTvm (b) 估算分布在速率区间估算分布在速率区间vp vp 40 m/s的分子数的分子数解解: 由麦克斯韦速率分布函数，分布在速率区间由麦克斯韦速率分布函数，分布在速率区间 v v v 的分子数为的分子数为( )NNf vv2/23 224()2pmvkTpmNv evkT 3 104 即，即，106个氦气分子中个氦气分子中 大约有大约有 3% 的氦气分的氦气分子处于速率区间子处于速率区间 1120 m/s

34、到到 1160 m/s内内(c) 令令 v = 10 vp, 计算分布在速率区计算分布在速率区间间 v v 40 m/s的分子数的分子数.解解: : 代入代入 v = 10vp = 1.12 104 m/s, 得得 ( )NNf vv23 22/24()2mvkTmNv evkT N = 4 10 39. 表明几乎没有分子具有如此大的速率表明几乎没有分子具有如此大的速率处于处于 v1 到到 v2的分子平均速率的分子平均速率2211122211( )( )( )( )vvvvvvvvvvvNf v dvvf v dvvNf v dvf v dv 2121vvvvdvvvfv)(0( ),vvf

35、v dv 220( ),vv f v dv ?211221vvvvvvvdNvdN ( )dNf vNdv ( )dNNf v dv f(v)vv1v2分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区速率区 间内的分子数占总分子数的比率。间内的分子数占总分子数的比率。分布在速率分布在速率v附近附近v v+dv速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分单位体积内分子速率分布在速率布在速率 v附近附近v v+dv速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1. ( )f v dv2.( )Nf v dv3.( )nf v dvNdvdNvf )(N dNdNVNVdNN

36、dN )()(2121)(. 4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内内的分子数占总分子数的比率。的分子数占总分子数的比率。 )()(2121)(. 5vNvNvvdNdvvNf分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2内的分子数。内的分子数。1)(.60 dvvf分布在分布在 0 速率区间内速率区间内的分子数占总分子数的比的分子数占总分子数的比率。（率。（ 归一化条件）归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。NdvdNvf )(解解课堂练习课堂练习 023av 00112v av a(1) 由归一化条件得由归一化条件得

37、0002001vvvavdvadvv0va)(vf02vvO(2) 02 3Nv aN有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为(1) 作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2) 求速率大于求速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数000000( )202av vvvf vavvvvv 0vv 23NN0vv 13NN4-4 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何一一 、 玻耳兹

38、曼分布律玻耳兹曼分布律经典粒子按能量的分布函数经典粒子按能量的分布函数kTECeEf )(麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布kTEpenn 0经典粒子按势能分布经典粒子按势能分布kTEiieAN 近代理论中，粒子近代理论中，粒子数按能级分布数按能级分布kTmghenn 0重力场中粒子按高重力场中粒子按高度的分布规律度的分布规律例例5. 氢原子基态能级氢原子基态能级E1 13.6eV，第一激发态能，第一激发态能级级E2 3.4eV，求出在室温，求出在室温T = 270C时原子处于第时原子处于第一激发态与基态的数目比。一激发态与基态的数目比。解：解：102.3943001038.1106.1

39、2.10)(121058.1231612 eeeNNkTEE在室温下，氢原子几乎都处于基态。在室温下，氢原子几乎都处于基态。1.60molRTvM 氮气分子在氮气分子在27oC时的时的平均速率为平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。路程非常曲折。气体分子气

40、体分子平均速率平均速率4-7 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程扩散速率扩散速率平均速率平均速率 分子自由程分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。AB 大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假假定定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。的弹性小球。只有某一个分子只有某一个分

41、子A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静止。v平均碰撞次数平均碰撞次数dddv A运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将为半径的圆柱体内的分子都将与分子与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内:分子分子A经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数dddv AnvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvdZ22 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次数Z平均自由程平均自由