自动控制试题九非线性

1、第九章非线性控制系统一、填空选择题（每题2分）1 非线性系统的稳定性与下列（D）因素有关。A 系统结构和参数 B .初始条件C.输入信号大小 D A、B、C、2 非线性系统 自持振荡是与-有关。A .系统结构和参数 B .初始条件C.输入信号大小 D . A、B、C、3 .非线性系统自持振荡中的振幅和频率是由-系统本身的特性-决定的，4 .相平面法适用于-一、二-阶非线性系统，描述函数法适用于一任意-阶非线性系统。5. 系统中有二个非线性元件串联，其描述函数分别为Ni、N2,则合成的描述函数必是（D）A . N1/N2B . Ni*N2 C . N什N2D .需重新分析计算6. 系统的-1/N

2、和G （jw ）如图，在A和B处产生了自持振荡，分析其稳定性，A点是-不稳定-的，B点是- 稳定-的7. 非线性系统的相轨迹在相平面的上半部，其走向是从一左-向一右-方向运动，而在相平面的下半部则从一右-向-左-运动。8 .相轨迹的对称性是指其曲线可能对称于-,-，或-坐标原点-;正交性是指与-X-轴正交。Z . / _I I I i I I . .9.已知非线性系统的微分方程是：x 3 20，则奇点位置是 。、 'iI I s1 I.I-10 .已知非线性系统的微分方程是：x 3x 20，则奇点性质是 。11.极限环把相平面分为内外二部分，相轨迹 -不能-（填能或不能）从环内穿越极限

3、环进入环外，-不能-（填能或不能）从环外穿越极限环进入环内。12 .已知非线性系统的微分方程是：x 3x 2x= 0，则奇点性质是v. . _1 I.1（A）。A、稳定节点B、稳定焦点C、鞍点D、中心点1 . D2 . A3. 系统本身的特性4. 一、二，任意5 . D6. 不稳定，稳定7. 左，右，右，左8 . X , x，坐标原点，x9.坐标原点10 .稳定节点11.不能12 . A、综合计算题al.a2.b1.（12分）二阶阻尼系统：匸：-' :- :',试用等倾斜线法绘制系统相轨迹。盘 70,脅） 詹叫士 +诉兀=_=解：由 宀，/;_ _ a:1Jl rA葢=一 就得

4、到等倾斜线方程：-：匸G 一匚；。如八 ，则1 +匕。3'在相平面上作出这些等倾线，并在这些等倾线上作出对应相轨迹的斜率匚的短线段，光滑连接短线段即得到相轨迹。9'% ” 仝 # i Ii '（12分）已知：十丄一 II， L - _ -,；"_ '， 试用F法作出其相轨迹。 I X j /I I j .解：取tiJ -.，则匸卫；I 一上 'II.' I .1 I fh b > j ff iL，/ '、i r-" 1 |在初始点， 4山°丿：爲二罚1Q）= 尸】=i,作圆弧AAo 3' &qu

5、ot;?Z hlI 二|/ ;然后确定相轨迹上的点A,以该点坐标为新起点，计算新的圆弧AA的圆心和半径：Aa（0.98,-0,2|匚川 <，】；，依此可作出相轨迹。 有时为提高作图精度，的中间位置作为新起点，然后按本法画出相轨迹。9'I.1f" "I 、'、（12分）非线性系统：一1丄.：一-丄工求系统奇点，作相轨迹图并分析系统运动的性质. . 、V （ j解：（1）求奇点。由：' = 11.' mI 二 °、| L二二飞求得相轨迹的奇点分别为：（0, 0 ）和（一2, 0 ）o 2'（2）在奇点（0, 0）处泰勒级数

6、展开：-：.二.： - 1 Jo二个根为-0.25+j1039,-0.25-j1.39,故此奇点为稳定焦点。2'（3）分析在奇点I - 处泰勒级数展开，令 A 匸 二由上 '.：.： -叽 FT',二个根为1.19,-1.69,因此.奇点为鞍点。2' 初始条件不同，相轨迹或趋于原点，或趋于无穷远，系统分别为稳定或不稳定，即系统的稳定性 与其初始条件有关。2'b2. （ 12分有一非线性控制系统如 图所示，令丄-.。讨论下面情况下的相轨迹：当输入信号为 阶跃信号*，系统的初始状态为零；解：首先根据控制系统框图，设法得到各分区的线性方程。由得到：- I I将

7、V 代入方程，有：.I'.-. J /I I j *.丨-/?'. :7?匚丨'：'.12'J j I I I ,| I | j I | ；I * > I *< - 1| / ； ./式中，rl、： ：|为饱和非线性的输出。根据饱和非线性的输入输出特性，可将相平面分为：正饱. J FI I和、负饱和以及线性区域，女口图1。2'负帼和区Q冬正饱和区C区域III、工X威1)1区域IIJ 1' r30§1». . 1'1?图1当输入信号' *时，产 Ci ''，则各区域上的线性方程

8、：3'当输入信号为阶跃信号'工，系统的初始状态为零；在正、负饱和区域根轨迹是匚相线根轨迹，而在线性区，由于参数均大于0,奇点可能是稳定焦点或稳定节点，位于相平面的原点，系统的初始状态:：川 可二丁 ，因此可粗略画出其相轨迹如图2。5'图2输入为阶跃信号的相轨迹b3.（12分）具有饱和非线性的控制系统如图所示，已知饱和非线性特性的描述函数为(X _ S)试求。N(X2karcsin §+三 J (巴)2 nX X X(1)K=15时系统的自由运动状态。若有自持振荡产生，求其频率和振幅(其中振幅只要 求列出表达式即可)。 欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，K的临界

9、稳定值是多少。解：饱和非线性特 已知，其中k=2，s=1，起点X=1时，；1/N(X)=:，因此负实轴上。系统线性部分的 频率特性为：题1非线性系统的结构图性的描述函数于是：1/N(x)= 05。当 X t :时,：1/N(X)曲线位于这段题1系统的G(j ：)和1/N(X)曲线G(j )- s(0.1s+1)(0.25+1) 二 k4.3 -j(1 -0.02 .2) 0.0004 40.05 2 12'令lmG(j )=0即1 D.02冬0,得G(j )曲线与负实轴交点的频率为:n7.07rad/s2' '0.02代ReG(j )，可求得G(j )曲线与负实轴的交点

10、为：ReG(') 0.0004 4 -0.05.2 .1-0.3k(1)将K=15代入上式，得ReG(j )= ：1。图中绘出了 K=15时的G(j ：)曲线与：1/N(A)曲线，两曲线交于(：1, j0)点。显然，交点对应的是下一个稳定的自振荡，根据交点处的幅值相等，即：求得与交点对应的振幅X=2.5。因此当 K=15时系统的自由运动状态为自振荡状态，其振幅和频率为X=2.5 ,=7.07rad/s。3'(2)欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于G(s)极点均在左半s平面，故根据奈氏判据知，应使G(j：)曲线不包围1/N(A)曲线，即 故K的临界稳定值为：K MAX0.5

11、0.40.3=7.53'b4. (12)非线性系统如图所示。1、把系统的结构图变换成典型结构，即单位反馈形式。2、 试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。已知非线性特性是滞 环继电特性：M=1 , h=0.2,解：由题2非线性系统的结构图图可知，系统的结构图不是描述函数应用时的典型结构，因此首先变换成典型结构。由于在用描述函数分析稳定性和自振荡时，不考虑r(t)的作用，故设r(t)=0。再根据结构图中信号间的相互关系，故图变换成下图a,b的典型结构。3'(a) (b)题2解结构图变换由结构 图知，非线 性特性是滞 环继电特 性：M=1 ,h=0.2，故画

12、出：1/N(X)曲线与G(j )曲线如图所示，：1/N(A)曲线是一条虚部为 j :h/4M= J0.157 的直线。2'显然两曲线的交点处决定了一个稳定的自振荡。令lmGjJ =-10 2 =.157，试探法解下列方程:国(1 +国)0.0157 ：(1+ ：2)=1得汗 4 (rad/s) 2'10将=4 代入 ReG(j ):2- =0.5882'1+国令 ReG(j )=Re ：1/N(A)D.588= ：、X 2 -0.224得 X=0.775故自振荡的振幅 X=0.775，频率=4rad/s。3'题2系统的G(j )和：1/N(X)曲线b5. (12

13、分)一非线性系统中含滞环非线性，其线性环节的频率特性如图。试分析此非线性系统的运动规律。题3图线性部分极坐标题 3图线性与非线性相交解：(1)写出此非线性特性的描述函数为:对应的负倒描述函数为:写成实部和虚部形式:3'随着A从1的增大，负倒描述函数的实部的值从0变化到负无穷，其虚部叫)为4不变。因此可将恥月)画在砂)平面上，如上图.(2 )分析交点处振荡的性质。从图中可看出,"/T与厂：:常I共有三个交点 U和。设它们对应的频率：二、儿和儿，且匸- '：.，对应的幅值分别为：、 用 ；:，且:- .-'l.o根据对自持振荡的讨论及其负倒描述函数的走向，可知.、

14、二是稳定的自持振荡，j是不稳定的振荡。当初始幅值- L时，产生频率为111、幅值为L的自持振荡；当初始幅值 ' j时，产生频率为'：、幅值为.：的自持振荡。比较-、，处的自持振荡发现，一处振幅大，频率低；I处振幅小，频率高。9'if I Ii 'c.(14分)已知非线性系统如图所示，图中非线性环节的描述函数为X +6N(X)(X _0)试求：X +2(1) 该非线性系统稳定、不稳定以及产生自持振荡时，线性部分的K值范围。(2) 判断自持振荡的稳定性，并计算稳定自持振荡的频率和振幅解：l' -, I/ (1)此非线性环节描述函数的负倒特性为：起点X=0时，

15、：1/N(x)= 1/3。当XT:时，1/N(X)=：1,因此：1/N(X)曲线位于：1/3：1这段负实轴上。系统线性部分的频率特性为：G(j»s弘 s(s+1)2*2 2' k -2 j(1)灼(CO2 +1)2令lmG(j )=0即1 ：.=0,得G(j )曲线与负实轴交点的频率为:= 1rad /S2'代ReG(j ：)，可求得G(j ：)曲线与负实轴的交点为：ReG(j )-k2'(a)当-k/2<-1.即k>2时，G(j ：)包围：1/N(x)，非线性系统不稳定;(b)当-1三-k/2三-1/3 ,即2/3三k三2时，G(j )与：1/N

16、(x)相交，非线性系统会产生周期运动(自持振荡)；(c)当-k/2>-1/3 ，即k<2/3时，G(j )不包围：1/N(x)，非线性系统稳定；4'(2)当2/3三k三2时，G(j ：)与：1/N(x)相交，非线性系统会产生周期运动(自持振荡)，且曲线由不稳定区域进入稳定区域，所以其振荡是稳定的。此时.=1rad/s，根据交点处的幅值相等，即：6k _ 4所以自持振荡的频率是 =1rad /s，振幅X4'2 kc1.（ 16分）一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如图，试用描述函数法确定当K=n时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产生自持振荡时的临界增益匕解：首

17、先对非线性串联环节的等效特性进行分析。当 | e|<l，el=O,u=O当 e>1, e1=2, u=k（e1_1）=1当 e<-1, e1=-2, u=k（ e1-（-1）=-1因此等效的非线性环节特性如图，是一带死区的继电器，对应的负倒描述函数:1将负倒描述函数N（x）和线性部分的频率特性绘制在极坐标平面上,容易分析A2点的自持振荡是稳定的，如图，存在交点A1和A2,F面计算交点处的频率和幅值。线性部分的频率特性:显然 Go（j ）=轴相 点处，计算得:A1点的则不稳定。-K2 2、2 一iiK 1 - 2j 时（j 灼）2 +（ j 时）+1）时 2+（1_时2）2&q

18、uot;豹3+时（1_时2）-V '、I1当3 =1时，Go（ j ）与负实交于-K。当K =:时，在交X2 =8 _4 36'即在A2处的稳定振荡幅值为 J4.93，频率为1，而在A1点幅值为 J.07的振荡实际上是不存在的。F面研究产生自持振荡的临界增益K。在1 < X < g时，令得到：X二 2，根据自持振荡产生的条件，得到临界增益K：4'璋）c2.（ 12分）典型阶线性系统如图所示，试用相平法求系统的阶跃响应和斜坡响应。典型二阶系统的结构图解由于是用相平法求 r(t)作用下的系统的响应，故相平面取为e e平面，由结构图可写出系统的微分方程为：因e=r

19、 c，有Te 亠e 亠 Ke =Tr 亠r 2'1.阶跃响应 此时r(t)=R1(t)，则当t>0时，有r(t)=R,0。代入上式，得阶跃输入下系统的误差方程:Te e - Ke = 0 2'e(0)=R, e(0)=0。(a)所示。若具有两个负实数例如稳态误差为零，当R=1时,由此绘制相轨迹曲线，奇点为(0, 0)。设系统的初始状态为c(0)=0 , c(0)=0 ,则误差的初始条件为若参数T、K使系统具有一对负实部的共轭复数极点(欠阻尼)，则其相轨迹如下图极点(过阻尼)，则其相轨迹如下图(b),分析相平面图即可了解系统响应的性质。 超调量如图所示等。3'(a)

20、欠阻尼(b)过阻尼图阶跃输入时的相平面图为 r(t)=vt, t>0 时，r =v 0,r =0，代入程，得斜坡输入下的误差方程为.r.-e ：=e V/K为Te、+e + Ke = 0 3'差方程相同。所以，只须把阶跃输入时的 v/K即可得出。由此可知此时相轨迹的奇 c(0)=0 , c(0)=0下斜坡响应2 斜坡响应 设输入信号 系统的误差方 它可以写成 作变量置换 则误差e 的方程 与阶跃输入的误相平面图右移点为(v/K, 0)。下图(a)、(b)分别对于欠阻尼和过阻尼情况，给出了系统在初始状态应当特别指出，由于(a)欠阻尼(b)过阻尼可以分段加以线性图斜坡输入时的相平面图

21、用线性微分方程描线性系统相平面分c3. （12 分）继P'll面法分析系统的单I,1解由结构图知，方程为：(a)结构图(b)非线性特性因为e-c，所题6图继电控制系统写成的相平面图。由于 e(0)= r (0) :c(0)=v,故相轨迹的起点为(0,V)。显然由相平面图可知系统稳态误差是v/Ko 2'在非线性系统中，其非线性特性往往 化，而在每一个分段中，系统都可以 述，因此线性系统在相平面分析是非 析的基础。电控制系统如下图所示，试利用相平 位阶跃响应。系统的微分以上式又可根据已知的非线性特性，当Te e Ky =Tr - r 2'e>0时，有：M ,y j 0

22、,-M,eeie! e _e01e ：-e°当e ： 0时，有:因为 r(t)=1(t)，当 t>0 时，r =r =0 ,M , e e。y =0,e° e . _e! 1'-M , e ：占有Te e Ky =0 1'对于 e>0 , e>e1 禾口 e <0, e>e0 时， 其相平面图渐近线为 6二KM。1' 对于e>0 , e< e0和e<0 , e<色时， 该区相轨迹渐近线为 e = KM。1' 对于 e>0 , e-i >e> ?e0 和 e <0,

23、e0>e> ?e-i 时，则有Te e = 0 或：色_ 1 1' de 可得系统的以e-e为坐在相平面上，则相应为斜率为1/T的平行的直线。将以上各区域的相平面图拼接后， 标轴的总的相平面图。图系统的相轨迹曲线ii令 T=1、K=4、e0=0.1、e1=0.2 和 M=0.2，则该继电控 制系统在单位阶跃输入下的相轨迹曲线如下图所示。由于假定系统在开始时处于静止状态，所以相轨迹的起点为 e(0)=1 , e(0)=0。3'由图可见，在稳态时，存在一个极限环。因此系统的 输出将持续振荡。自振荡的振荡与e和e1值有关，e1和(e1 &)越大(即死区越大、滞环越

24、宽)，振幅也越大。 此外，K、T和M的增大，也将使系统的振荡加剧，因为 交界线的换接点8、P3与横轴的距离也增大了。1'C4. ( 12分)采用非线性校正的控制系统如图所示，试利 用相平面法分析，在原来的线性系统的基础上，采用非线性校正，可以显着改善系统的动态响应品质。(a)非线性校正的控制系统结构图(b)非线性特性题7图采用非线性校正的控制系统解由图(b )知，非线性特性为因此，相平面被分为二个 区域，开关线分别为 e=eo和e= :e0。系统方程为在线性区I内, 在线性区n内,TC C 二 KY:e ：<e0，系统误差方程为：:e >e°，系统误差方程为：Te

25、 e KTr r 2'其中，增益K和k应这样选择：一方面，为了在 e>e。时获得快速性，在线性区n中应选择较大的K值，使系统阻尼较小，对应于稳定焦点，具体地应先选K>1/(4T)。另一方面，为了防止超调量过大，在 ：e：<eo时，在线性区I中应适当选择k使系统处于临界阻尼，对应于稳定节点，具体地应选k使k<1/(4T)。2'设输入r(t)为阶跃函数，当t>0时，有r” = r =0,可得n区内系统的误差方程为：此时的相平面图如下图1(a)所示，平衡点位于(0,0)是稳定焦点。在I区内系统的误差方程为：Te e Kk 0 ,相平面图如下图1 （b）所示，平衡点位于（0, 0）,是稳定节点。3'把图1 （a）、（b）的相轨迹分别画到相平面图的各区域中，就得到系统状态的运动轨迹，如图2所示。当阶跃输入的幅度较小时，相轨迹曲线是图中AAi0，阶跃响应是单调的， 没有（a）II区（b）I区题7图2单位阶跃输入时的相轨迹曲线超调，且响应速度较快，题7图1I区和I