正弦定理和余弦定理精编版

1、最新资料推荐正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在厶ABC中，若角A, B, C所对的边分别是a, b, c, RABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理a2 b2 + c 2bccosA;内容abcb2 c2+ a2 2cacosB;si nA si nB si nCc2 a2 + b2 2abcosC(1)a= 2RsinA, b= 2RsinB, c= 2RsinC;b + c aabccosA2bc ;变形(2)sinA= 2R, sinB 2R, sinC 2R;c2+ a2 b2 cosB 2ac ;a : b : c sinA : sinB : sinC;2、22a + b c(

2、4)asinB bsinA, bsinC csinB, asinC csinAcosC2ab111abc 18 abc= QabsinC = gbcsi nA= qacsi nB =示=2(a+ b+ c)r(r 是三角形内切圆半径)，并可由此计算R、r选择题在厶ABC中，已知a = 2, b = 6, A=45°则满足条件的三角形有（）A. 1个B . 2个C. 0个D .无法确定解析 v bsinA= 2育=3,二bsinA<a<b, a满足条件的三角形有2个.J3在厶ABC中，A= 60° AB= 2,且厶ABC的面积为专，贝U BC的长为（C. 2 3解

3、析 因为 S=ABXACsinA=，所以 AC= 1,B. 33A."2所以 BC2= AB2 + AC2 2ABACcos60= 3,所以 BC= 3.已知在 ABC中，a=x, b = 2, B = 45°若三角形有两解，则x的取值范围是（）2最新资料推荐D. 2vxv2 3A. x>2B. xv2C. 2vxv2 2解析 若三角形有两解，则必有a>b, x>2,又由sinA= bsinB =号占v 1,可得xv2 2, a x的取值范围是2vxv2 2.已知锐角三角形的边长分别为1, 3, x,则x的取值范围是（）A. (8,10)B. (2 2,

4、. 10)C. (2 2, 10)D. ( . 10, 8)解析因为3>1，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,宀22影1 + x >3 ,Q q2 2J + 3 >x ,即 8<x2<10.4又因为x>0,所以2 2<x< . 10.在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为A .钝角三角形ca, b, c,若b<cosA,C.锐角三角形则厶ABC为（）D .等边三角形B .直角三角形csinC解析 已知b<cosA,由正弦定理，得sinB<cosA,即 sinC<sinBcosA，所以 sin(A+ B)<

5、;sinBcosA,即 sinBcosA + cosBsinA sinBcosA<0，所以 cosBsinA<0.又 sinA>0，于是有 cosB<0, B 为钝角，所以 ABC 是钝角三角形.a + c在厶ABC中，cos2=£（a, b, c分别为角A, B, C的对边），则 ABC的形状为（）A .等边三角形B .直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形a a= cosB c=a2 + c2b2a ，2B a+ c cos 2 = 2c，a (1 + cosB) = a+ c,a 2a2 = a2 + c2 b2, a a2 + b2=

6、 c2, / ABC 为直角三角形.在厶ABC中，已知b = 40, c= 20, C= 60°则此三角形解的情况是（）A.有一解B .有两解C.无解D.有解但解的个数不确定"!3bb i C 40X2"解析 由正弦定理得 丽二sinC，asinB=晋二= 3>1.A角B不存在，即满足条件的三角形不存在.若厶ABC的三个内角满足si nA： si nB ： si nC = 5 ： 11 ： 13,则厶ABC（ ）A .一定是锐角三角形B .一定是直角三角形最新资料推荐C 一定是钝角二角形D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析 由正弦定理siaA= 岛二

7、CC= 2R（RABC外接圆半径）及已知条件 sinA : sinB : sinC =5 ： 11 : 13,可设 a = 5x,b= 11x,c=13x(x>0).则 cosC =2 2 2(5x)+ (11x)( 13x)2 5x 11x23x2110x2 v0,66 C为钝角， ABC为钝角三角形. ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,贝a>b”是“ cos2Avcos2B”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2 2 2 2 2 2 解析 因为在 ABC 中，a>b? sinA>sinB? s

8、in A>sin B? 2sin A>2sin B? 1 2sin Av 1 2sin B?cos2Avcos2B，所以 “a>b” 是 “cos2Avcos2B” 的充分必要条件.在厶ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c,已知b = c, a2= 2b2(1 sinA)，则A=()3nA3TnB.3b2 + c2 a2 2b2 a2解析 在厶 ABC 中，由 b= c,得 cosA= 2b2 ，又 a2 = 2b2(1 si nA)，所以 cosA= sinA,n即tanA= 1,又知A (0, n)所以A= 4 故选C.在厶 ABC 中，AB= 3, AC

9、= 1, B = 30° ABC的面积为宁，则C=（A. 30B. 45C. 60D. 75解析1Saabc= AB AC sinA=1即2X .3X 1X sinA= sinA= 1,由 A (0 ° 180°,二 A= 90° C = 60° 故选 Cc bsinA已知 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且二= sinC+sjnB，贝B等于（）解析B.4根据正弦定理a _ b _ csinA_ si nB_ sinCa2 + c2 b2 = ac, 得 cosB =nC5a2+ c2 b2ac2'3nDP/口 c

10、 bsi nAa得 c a si nC + si nB c+ b，故b=n，故选c.最新资料推荐19在厶ABC中，角A, B,2 nC对应的边分别为a, b, c,若A=3' a= 2, b =nA.35 nBEnD.62 n解析/ A= -3-,a = 2,b=2, 由正弦定理bsin A-sin B可得，sinBasinA=设厶ABC的内角A, B, C所对边的长分别为a, b, c,若b+ c= 2a,3sinA= 5sinB,则角C等于()2 nn3 n5 nA.JB3CND.§37解析 因为3sinA= 5sinB,所以由正弦定理可得3a = 5b.因为b+ c=

11、2a,所以c= 2aga=5a.令 a= 5,b = 3, c= 7,则由余弦定理 c2= a2+ b2 2abcosC，得 49= 25+ 9 2X3x5cosC,1 2 n解得 cosC= 1，所以 C= 23.在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2= (a b)2+ 6,。=扌， ABC的面积是()A. 3B.野。弩D. 3 3解析I c2 = (a b)2 + 6, c = a2 + b2 2ab+ 6.I C = ， c2= a2 + b2 2abcosn= a2 + b2 ab. 由得ab+ 6= 0,即 ab= 6, Sabc = *absinC=2x623

12、=32.填空题 ABC 中，若 bcosC + ccosB= asinA，则 ABC 的形状为解析 由已知得 sinBcosC + cosBsinC = sin2A, sin(B+ C)= sin2A, sinA= sin2A, 又sinAM 0, sinA= 1, A=扌， ABC为直角三角形.在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若角A, B, C依次成等差数列，且a= 1, b= . 3, 贝U SaABC=.sin2AsinC 解析因为角A, B,C依次成等差数列，所以B = 60。.由正弦定理，得总，。解得sinAj 因为 0°<Av 180&#

13、176;，所以 A= 30°或 150°(舍去)，此时 C= 90°,所以 &ABcab3在厶 ABC 中，a = 4, b= 5, c= 6,则2 2 2解析由余弦定理：cogb = 25零6知3,“nA#，cosC =a2 + b2 c22ab16 + 25 36_ 12X4X 5 _8, sinC 亠 sin2A sinC _2X 3x¥1.在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若(a2+ c2 b2)tanB_3ac,则角B的值为2ac解析由余弦定理，得 a 第小b _ cosB，结合已知等式得 cosBtanBu-3

14、,二sinBu-3,二B_3或号在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知bcosC +羽bsinC a c_0,则角B_解析由正弦定理知，sin BcosC+ . 3si nBsinC si nA si nC_ 0/ sinA_ sin(B+ C) _ sinBcosC + cosBsinC，代入上式得，3sinBsinC cosBsinC sinC_ 0 / sinC>0, -/3sinB cosB 1 _ 0,二2sin加一滸_ 1，即卩 sin；Bg.nT B (0, n ,二 B_3在厶ABC中，已知si nA： si nB_J2： 1, c2_ b2+2b

15、c，则三内角 A, B, C的度数依次是解析由题意知 a_ 2b, a2_ b2 + c2 2bccosA，即 2b2_ b2 + c2 2bccosA,又 c2_b2 + 2bc,二 cosam-, A_45° sinB_2, B_30° 二 C_ 105°.1设厶 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 a_2, cosC_ 4, 3sinA_2sinB,贝U c_解析 由 3sinA_2sinB 及正弦定理，得 3a_ 2b，又 a_ 2,所以 b_3,故 c2_a2 + b2 2abcosC_4+ 9 2X 2X 3X 1 _ 1

16、6,所以 c_4.1n设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若a=J3, sinB= ， C=g，贝U b =解析 因为sinB = *且B (0, n)所以B = 6或 B=5兀nn2 n又 C = 6, B+ C<n,所以 B = 6, A= n B C = "3.又 a= 3,由正弦定理得asinAb sinBsin ybnsin6在厶 ABC 中，A= 60° AC= 2, BC=3，贝U AB =解析 T A= 60° AC = 2, BC= 3,设 AB = x,由余弦定理，得 BC2= AC2 + AB2 2AC BcosA

17、, 化简得 x2 2x+ 1 = 0,二 x= 1, 即卩 AB= 1.2 n在厶ABC 中，A=3, a=/3c,则一 =3C解析在厶ABC中，a2=b2 + c2 2bccosA,将 A=気 a= ,3c代入，可得(3c)2= b2 + c2 2bc 1 ,整理得2c2= b2+ bc, T CM 0, 等式两边同时除以c2，得2= b2 + b可解得b= 1在厶ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知 ABC的面积为3.15, b c= 2, cosA1=1则a的值为41解析 t cosA= 4, 0v Av n151115si nA=, Sa abc= bcs

18、inA= QbcX 4 = 3 15 , bc= 24 ,2 2 2 2又 b c= 2, b 2bc+ c = 4 , b + c = 52 ,2 2 2由余弦定理得，a = b + c 2bccosA= 52 2X 24 x4 = 64 , a= 8.解答题在厶ABC中，内角A , B , C所对的边分别是a , b , c ,已知A=才，b2 a2=；c2(1)求tanC的值；(2)若厶ABC的面积为3,求b的值.解(1 )由b2 a2=2c2及正弦定理得21122n3sin B 2= 2sin C.所以一cos2B= sin C.又由 A=4, 即卩 B+ C = 4 n 得33cos

19、2B= cos2 4 n C = cos 2 n 2C = sin2C = 2sinCcosC,，由解得 tanC = 2.由 tanC = 2, C (0, n得 sinC = 5, cosC=55,因为 sinB = sin(A+ C)= sin 4+ C，所以 sinB = 300,由正弦定理得c= 3b,又因为A=n 2bcsinA= 3,所以bc= 6.2,故b= 3.已知a, b, c分别为 ABC三个内角 A, B, C的对边，a= 3bsinA acosB.(1) 求角B;若b= 2,A ABC的面积为，3,求a, c.解 由 a= 3bsi nA acosB 及正弦定理，得

20、sinA= , 3s in B si nA si nA cosB,0<A<n,二 si nA>0,-n 1n n 5 nn 3sinB cosB= 1,即卩 sin B g =，又：0<B<n, 6<B 6<石，二 B=.1 2 2 2 2 2(2) v S= 2acsinB= 3, ac= 4,，又 v b = a + c 2accod3, 即卩 a + c = 8.由联立解得a = c= 2.如图，在 ABC中，D是BC上的点，AD平分/ BAC, ABD面积是 ADC面积的2倍. sinB求sinC；(2)若 AD= 1, DC=y，求 BD 和

21、 AC 的长.1 1解 (1)&abd = 2ABADSin/BAD, Ssdc = qAC ADsin/ CAD.因为 Sabd= 2SADC ,/ BAD =/CAD，所以AB = 2AC,由正弦定理可得sinB = AC_ 1sinC = AB _ 2因为 Sabd : Sadc_ BD : DC,所以 BD_ 2.在厶ABD和厶ADC中，由余弦定理，知AB2_ AD2+ BD2 2AD BDcos/ ADB, AC2_ AD2 + DC2 2AD DCcos/ ADC. 故 AB2+ 2AC2_3AD2 + BD2 + 2DC2_6, 由 (1)知 AB_2AC,所以 AC_

22、1.在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知a cfb, si nB= 6sinC 求cosA的值；求cos 2A g的值.bc解 () ABC 中，由 而二拆，及 sinB= 6sinC,可得 b= 6c,又由a c=有 a= 2c,所以 cosA=b2+ c2-a2 _ 6c2+ c2-4c2 y62bc 2 6c2 4(2)在厶ABC 中，由 cosAu-，可得 sinA=#°于是,cos2A= 2coVa 1 = 4,sin2A= 2sinA cosA=所以,nnn6 二 cos2Acos6+ sin2As陀二已知 a, b, c分别为 ABC 三个

23、内角 A, B, C 的对边，a= 2,且(2 + b)(sinA sinB) = (c b)sinC,则 ABC面积的最大值为.解析由正弦定理，可得(2 + b)(a b) = (c b) cI a= 2, a2 b2= c2 bc, 即卩 b2 + c2 a2= bc 由余弦定理，得 cosA= b * = 2， -sinA-3 由 b2 + c2 bc= 4,得 b2 + c2= 4+ be.tb2+ c2> 2bc,即 4+ bc> 2bc, bc< 4, Smbc = |bc sinA< ,3,即 0ABc)max= 3.在厶 ABC 中，内角 A, B, C

24、 所对的边分别为 a, b, c.已知 aM b, c= 3, cos A cos2B= 3sinAcosA 3si nBcosB.(1)求角C的大小；4若sinA= 5，求厶ABC的面积.1 + cos2A 1 + cos2B 3解 (1)由题意得22= "Ts in2Ax/31yj31f即"sin2A 2cos2A= sin2B 2cos2B, sin 2A 6nsin(2B-=)n -2nn3.由 ab,得 Am B,又 A+ B (0, n ,所以 2A;+ 2B = n,即 A+ Br，所以 .一4 a c / 口 8由 c= 3, sinA= 5，SinA= s

25、inC，得 a = 5,4+ 3.3103 由 avc,得 Av C,从而 cosA= 5,sinB= sin(A+ C) = sin AcosC + cosAs inC =8 ；3+ 18251所以， ABC的面积为S= qacsinB =在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 cosB = f, si n(A+ B)ac= 2 3,求 sinA和c的值.解 在厶 ABC 中，由 cosB= ¥3，得 sinB=弓6,因为 A+ B+ C = n,所以 sinC= sin(A+ B) = 因为sinCvsinB,所以CvB,可知C为锐角.所以co

26、sC = 3.因此 sinA= sin(B+ C)= sinBcosC + cosBsin£= J2.2罷由孟二孟，可得a=snA二三6二2 3c，又ac=2 3,所以* j百专项能力提升在厶ABC中，AC=>/7, BC = 2, B = 60°贝U BC边上的高等于()3_ 3,3- .3+_ .3+. 39A<2Bpc. 2d. 4解析 设 AB = c,则由 AC2 = AB2+ BC2-2AB BC osB 知 7= c2 + 4-2c,即 c2-2c-3= 0, a c= 3(负 值舍去).a BC边上的高为AB sinB= 3X= 穿.在厶ABC中

27、，内角A, B, C所对的边长分别是 a, b, c,若c-acosB= (2a- b)cosA，则 ABC的形状为()A .等腰三角形B .直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析 I c-acosB= (2a- b)cosA, C= n- (A+ B),a 由正弦定理得 sinC- sinAcosB= 2sinAcosA- sinBcosA,a sinAcosB+ cosAsinB - sinAcosB = 2sinAcosA - sinBcosAn cosA(sinB sinA) = 0,二 cosA= 0 或 sinB = sinA,二 A=或 B = A 或 B= n A(舍去), ABC为等腰或直角三角形.在厶ABC中，三个内角A, B, C所对的边分别为a,