(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第五讲解读绝对值

1、精品资源第五讲解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础.绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、 解方程(组卜解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：'a(a >0)l.去绝对值的符号法则：a| = < 0(a = 0)-a(a < 0)2 .绝对值基本性质a a _2 c c非负性：a “； ab = a，b ;：=(b#0); a =a2|=a2.3 .绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；a-b表示数a、数b的两点间的距离.例题

2、【例 1】(1)已知 a=1, b=2,c=3,且 abAC,那么 a + b -c=.(北京市“迎春杯”竞赛题 )(2)已知 a、b、c、d 是有理数，a-b <91,c d <16,且 a-b-c+d =25,那么 b _ a _ d _ C .(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)由已知条件求出a、b、c的值，注意条件abAC的约束；(2)若注意到9+16= 25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解.a b c abcabc【例2】 如果a、b、c是非零有理数，且 a+b+c= 0,那么？ +兰+ c +半的所有可能的值为().A. 0 B.1 或一 l C. 2 或一

3、2 D. 0 或一 2(山东省竞赛题)思路点拨 根据a、b的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键【例3】已知ab -2与今-1互为相反数，试求代数式：1111一 +的值.ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 2002)(b 2002)(“五羊杯”竞赛题)思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a、b的值.【例4】化简(1) 2x 1 ；(2) x 1 + x 3 ；(3)| x 1 2 + x +1 .思路点拨 （1）就2x -120,2x -1 <0两种情形去掉绝对值符号；（2）将零点1,3在同 一数轴上表示出来，就x < 1 ,

4、1 w x<3 , x > 3三种情况进行讨论；（3）由x +1 =0,x -1 2 = 0,得 x = 1, x=1,x = 3.【例5】已知a为有理数，那么代数式 a-1 + a-2+a3 + a-4的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由.思路点拨a在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值.注：我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a、a2n是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质：（1） a >0,即非负敷有最小值

5、为 0；（2）若 a + b + + h =0,则 a =b =一“ = h =0形如（2）的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0,得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可.请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤.学力训练1,若有理数 x、y 满足 2002（x 1）2 + x12y+1 = 0,则 x2 + y2 =.2 .已知 a|=5, b=3,且 ab=b a,那么 a + b=.-3 c o a b "（第3题）3 .已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图所示：则c

6、-1 +|a -c +|a -b化简后的结果是 .湖北省选拔赛题）4 .若a、b为有理数，那么，下列判断中：（1）若 a =b ,则一定有 a = b ； （2）若 a >|b ,则一定有 a >b ；（3）若 a >b,则一定有a >|b ；（4）若a| = b ,则一定有a2 = （-b）2,正确的是 （填序号）5 .已知数轴上的三点 a、b、C分别表示有理数 a, 1, 1,那么a+1表示（）.A. A、B两点的距离B. A、C两点的距离C. A、B两点到原点的距离之和D. A、C两点到原点的距离之和（江苏省竞赛题）6 .已知a是任意有理数，则 -a a的值是（）

7、.A.必大于零B.必小于零 C必不大于零 D.必不小于零7 .若a + b+1与（ab+1）2互为相反数，则a与b的大小关系是（）.A. a >b B. a=b C. a < b D. a 之b8 . 如图，有理数 a、b在数轴上的位置如图所示，则在a+b,b 2a, b a,ab,a+2, b4 中，负数共有（）A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9 .化简：（1） 3x -2 +|2x +3 ;（2）Ix -1 -3 + 3x +1 .10 .求满足a-b+ab =1的非负整数对（a, b）的值.（全国初中联赛题）11 .若 x <2 ,则 1 -1 +x| =；

8、若2=a,则 a1a2 =.12 .能够使不等式（x -x）（1 +x） <0成立的x的取值范围是 .-4 a ab +b13 . a与b互为相反数，且 ab=,那么'=.5 a +ab +114 .设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且aEbWc,则 a -b +|b c + c -a可能取得的最大值是 .（江苏省竞赛题）.3x - |x|15 .使代数式 的值为正整数的 x值是（）.4xA.正数 B.负数 C.零 D.不存在的).16 .如果2a+b=0,则且_1 +,旦_2等于（ bblA. 2B. 3C. 4D. 517 .如果0 < p <

9、15 ,那么代数式 x p + x -15 + x p 15在p < x W 15的最小值是( ).A. 30B. 0C. 15 D. 一个与 p有关的代数式b c c a a b .18 .设 a +b +c = 0 , abc a 0 ,贝U j+ , , + , ,的值.|a|lb HA. -3 B. 1 C. 3 或-1D. -3 或 1* *|a|b |d19 .有理数a、b、c均不为零，且a+b + c = 0,设x =一 + 一匚+ 土， |b + c c + a a+b试求代数式x19 99x+2002的值.1999,20 .若 a、b、c为整数，且 a -b 十 ca=

10、1 ,求 c a + a b + b c 的值.21 .已知x| <1, y <1 ,设M =x + y+|y+1 +|2y x4 ,求M的最大值与最小值.22 .已知 X1 -1| +|x2 -2 +|x3 -3 + + x2002 -2002 + x2003 2003 = 0,求代数式 2x1 -2x2 -2 x2002 + 2x2003 的值.欢迎下载参考答案国解读跑时值E例题求解】例1口正或0 f乃因|出一由虎】心拙|&一川|十|一4149/调=£5,又因为±5=加一&一r +山=|<口一揖十旧一r） |系用一*| + Ld -r&

11、lt;25,所以 |&一4|=9+|亡-4|=6*故原式=0一：16=-7.黯 提屈，也I岫一21十恼一 1|=。蜴 fiUUlm原式=<1-2工（当工（3）零期共为一 LL3三点，将躯轴分成4个部分叩才<一1,一 1苟fVI买工七323,讨始将用式一一 2 1一2 K - 1J2r+21.2t-2(t>3)提示i解武10 - 11 8-2a CL<fl<2>4<2<a<3>当0=2时,原式有品小值等于忙2f13 工 3。就 41lii-K <a>4>学力训练】第 2. - 2 或一E 3, 1 Zr+A 3

12、6C 8. A9. (1)原式=<4工十35j+ 1（工4）tx+5加 i| =04ji=l会提示，岫一护一闻士一看1615. D 】6.B提示!用式必一？21! + I山I+加i21al储，依=口.g/O.U .<1.1）提示i由条件都2J>1 Uh I<一】 提示：m 因 U LJT-： H I -1一。I故4 H<d1.提示山内.,中小靠全间号,必一正二负或二正一负,将u=一仆-C.&=4tr-G，r=一储+百），即不一一1，六工品=一| “所以昌震中必有两个同号.另一个符号与其相比印其值为的个+i ,一十一】或两个一八一个十% 工=1,除式=iq.

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