周一维无限深势阱

1、6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 （一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程 l（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 l（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 l（四）定态的性质（四）定态的性质 （一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 讨有外场情况下的定态讨有外场情况下的定态Schrodinger Schrodinger 方程：方

2、程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t, t, r r 无关的常数无关的常数该方程称为该方程称为定态定态Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可称为定态波函也可称为定态波函数，或可看作是数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的

3、定态波函数。的定态波函数。此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频率的关系是正弦型的，其角频率=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描所描写的状态时的能量。也就是说，此时写的状态时的能量。也就是说，此时体系体系能量有确定的值能量有确定的值，所所以这种状态称为定态，波函数以这种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数。Etiertr )(),( )()(222rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由可由方程方程和具体问题和具体问题(r)

4、(r)应满足的边界条应满足的边界条件得出。件得出。能量有确定的值能量有确定的值能量定值能量定值？, 2 , 122222nnmLEn（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦称称量量，称称为为与与经经典典力力学学相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于都是以一个算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t

5、)。所以这两个算。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 HVti222 是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都称为能量算符。为能量算符。也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。数学物理方法中的本

6、征值方程相似。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； EH EV22 将将改写成改写成（3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为法

7、中的边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。因此在量子力学。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函数本征函数。2.写出Schrodinger方程1.模型4.由边界条件（波函数标准条件）确定常数3.解方程5.确定能量6.确定归一化常数、波函数7.讨论 求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤（四）定态的性质（四）定态的性质nnntr ),( （1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()/exp(ti

8、EtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn （2）几率密度与时间无关）几率密度与时间无关2),(nnnnnitrJ )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn 金属中的电子在构成金属骨架的晶体点阵之间运动时，要受到点阵上正离子的作用力，这种作用力可用两者相互作用的势能表征。电子在这个有势力场中运动时，通常并不能自发地挣脱出金属表面，这表明在金属内的电子运动到表面上时，它的总能量（动能和势能）远小于表面处的势能，因而受到阻挡。因此，我们对金属中的电子运动有时

9、可以作这样的简化处理，即认为：如果没有外界影响（如外电场、光照等），电子好似被无限高的势能“壁”禁囿于金属内，并在一维势力场作用下运动着，这个抽象出来的计算模型，称为一维无限深方形势阱，简称一维方势阱。a金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x极极限限U=0EUUU(x)x0a 无限深方势阱无限深方势阱 （potential well）是实际情况的极端化和简化。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。粒子在阱内自由运动不能到阱外一、薛定谔方程和波函数a0)(xVx0a,xxaxxV0 0 0)()(2222xVxmHdd)()(

10、211222xExxmdd)()(222222xExxmdda0)(xVx0根据波函数有限的条件阱外0,0)(2xaxx1)阱外)()(222222xExxmdd)()(dd2222xExxm令222mEk2)阱内0)()(2 xkx(为了方便将波函数脚标去掉)将方程写成通解kxBkxAxsincos)(式中 A 和 B 是待定常数0A2(0)(0)0 ( )sinxBkx 0sinkaB2( )( )0aa kxBkxAxsincos)(通解是A 已经为零了，B 不能再为零了。即)0(knka), 3 ,2 , 1(nank0sinkaB0B), 3 ,2, 1(22222nnmaEn222

11、nm Ek222an只能 sin(ka)等于零要求故能量可能值但由上式), 3 , 2 , 1(sin2)( nxanaxn1xxxad )()(*01sin022axkxBdaB2得本征函数这组函数构成本征函数系。tnEinnex)(), 3 , 2 , 1(sin2 nexanatnEi*nnnnnP, 2 , 1sin22nxanar 每个可能的值叫能量本征值讨论), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn) 1( 2E 221nr 粒子能量取值分立 (能级概念)能量量子化r 基态：最低能量不为零-波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。r 能级间距：, 2 , 122222n

12、nmLEnL-阱宽r 通常表达式写为)3 , 2 , 1( n212) 1(EE 2222nnnnnnnn当n 很大时,能量趋于连续, 量子效应不明显。本征能量和本征函数的可能取值nnnPEn32122212maExaasin21axaPsin221124EE xaaPxaa2sin22sin2222xaaPxaa3sin23sin2233139EE 小结：xanansin2,2,1sin22nxanaPn22222nmaEn x4 x3 x2 x1 4E3E2E1E)(xoa 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a n时，量子经典符合

13、玻尔对应原理|2n|an 很大En0平均效应明显2/|2/|0)(0axVaxxV2sin|/ 2( )0 |/ 2nn xxaxaaxalim( , )0rr t束缚态无限远处为零的波函数所描述的状态存在束缚态条件lim( , )rEV r t特点：（1）处于束缚态粒子能量是离散的（2）波函数一般可以用实函数描述（3）束缚态能量所对应本征函数不简并2/|2/|0)(0axVaxxV为阱深。为阱宽，0Va00VE 讨论束缚态，即势的特点：空间反射对称0 0 x xa/2a/2-a/2-a/2V V0 0V V0 0V V( (x x) )E)1(0)(2dd102122EVmx写出分区定态方程

14、在阱外(经典禁介区)2()(20EVm0 121xe1令方程(1)变为其解为都是方程的解？，有时：考虑到束缚态边界条件0|x，与前结论一致。)2|(|0)(axx22)(1axAeaxBexxx.,为待定常数BA,0时（无限深势阱）当V现在是有限深的情况！)3(02dd22222mExikxekxkx，或， cossin0 222k)4(2mEk 在阱内(经典允许区)令则方程变为其解可以写为4E按照上节定理 ，其束缚态能量 的本征函数不简并，且必有确定的宇称，考虑到空间反射不变性，即)()(xVxV宇称2|cos)(2axkxxa、偶宇称态连续。连续或更方便的方法是取处是连续的，在和由于这里内

15、外解)(ln2|)( )(axxxtan52kak（ ）处，结果同上。在2ax，得处，有因此在22)ln()ln(cos2axxaxekxax）（，622aka）（7tanmEkEVm2,)(20)8(222022amV2202kmV 令则(5)式化为由有再利用(6)式,有结果如右图所示：求解。可用数值计算或图解法所满足的超越方程组，和）两式是（）（8,7，由此求出的解，的交点给出）（）给定，曲线（在右图中，数值EaV8,720试考虑：如何由 求?,E,.)8(7,20基态）在一偶宇称的束缚态（即至少存方程组至少有一个根，）（么小的值多，无论由图可见，对偶宇称态aV在）。线，第一条线仍存条为束

16、缚态，相应于第二（仍还会出现其第一激发态tan多激发态。继续增大，则将出现更20aV态，不仅会出现偶宇称的基，增大，使当22220aV2|sin)(2axkxxb、奇宇称态cot)2/cot()(lnkak连续条件可得：与上类似，由量本征值。如右图。，从而确定能和参数）式联立，可确定与（8当对奇宇称态则不同，只4/2/222022amV2222200222V aVmma即，或时称能级。才可能出现最低的奇宇3、束缚态与分立谱的讨论分析可知，束缚态能量是分立的.相应动量也是分立的。我们也可从波函数变化规律来解释这一现象.)()(2)( 2xxVEmx由定态方程这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结

17、果。0 )(2kxVE时，在经典允许区，向下弯曲取极大值，时，0 0轴弯曲。总是向反号，故与快。因增大而加符号相反，而且振荡随与这时xxk)( 理解：这可以用函数的性质来，kxkx sin,cos为实数振荡函数0)(2xVEmk解为向上弯曲（见右图）取极小值，时，0 0ExV)(经典禁戒区，与经典允许区不同，在轴弯曲。总是背向符号相同，则与这时xx)( 理解：这可以用函数的性质来0)(20 2ExVm，xex)(向上弯曲取极小值，时，0 0解为向下弯曲（见右图）取极大值，时，0 0 据此可定性讨论能量可能取值及波函数的节点数。知，基态为偶宇称态。限深势阱，由前可先讨论基态。对对称有22)(axAeaxBexxx时为经典禁区。（束缚态）可知，当由20axVE0 0 x xa/2a/2-a/2-a/2V V0 0V V0 0V V( (x x) )E曲线上弯。呈指数上升，始）时，增加（由当)(xx。直延续到曲线开始下弯，一此时典允许区后进入经当达到2)(, 0,2axxEax，曲线开始上弯。，超过02VEax不能满足束缚态条件，时在于一般情况下上弯曲线光滑连接的前提下，由处波函数在保证)(,2xxax知即由0)(2ExVm也不满足束缚态条件E当曲线上翘， 曲率不满足束缚态条件E当曲线变直 曲率与横轴相交。区域中经历了一次振荡在振荡加快，从而使，增加，故的增加，随