(六)比和比例应用题

1、（6）比和比例应用题重点中学小升初难度题解析王雪宇学案课题五比和比例应用比和比例在统计、测量、绘图、实验、建造、计算等等方面有着广泛的应用。反映在考试当中，工程问题，行- -准问题;按比例分配，解比例，比例尺，正比例和反比例 的其他应用都可能对本部分知识有所涉及。比和比例的知识是初中数学中一次函数、反比例函数、相似图形等课题的知识基础，属于重点知识。作为小学数学最后一个知识 模块，同学们接触不久便将其应用于解决实际问题存在一 定的困难，同学们更熟悉的是分率计算、算术法解题。但 正如上面所讲，很多实际问题中用到了比例的思想，建议同学们在学习时，将分数与比的思想多比照，多联系；在 应考之前，再次把

2、六年级数学书上册的“比和比的应用”及下册的“正比例和反比例的意义”、“比例的应用”等内容贯通在一起复习一遍（包括思考课后习题），将人教版课 本和北师大版课本互相参照地复习，着重从课本上简单而 熟悉的例子中体悟比和比例的思想，以更好地应用于解决 问题。做练习时需要注意以下三个方面：一、学会运用比和分率的联系解题及将比看成“份数”解题。另外，填空题或应用题求比是多少时，一定要化成 最简整数比（比的前项和后项化成互质的整数），要理解最 简比（比是两个数量之间的一种关系）和比值（比值是一 个数）之间的区别。二、能够根据题意找出成比例的量，并建立比例式,解比例得到答案。注意理解成比例的量是变化的量。三、

3、通过成比例将一种量的比转化成另一种量的比,这是解决问题的关键思想。如匀速行驶的两辆汽车同时出发，其速度比等于路程比（成正比例）；如工程总量一定， 工作时间与工作效率成反比，如在一个题目中，知道甲工 作3天完成的任务等于乙工作两天完成的任务，则二者的工作效率比是2： 3 （自己推导一下），如果再有二者的总工作量都相同，工作的总时间比是3： 2；侧面积相等的两个方柱，其底边长与高成反比，底边长乘高等于（侧面积+4）,从而结合其他已知条件计算两方柱体积比；再如一类典型 的按比例分配的题目，一个零件的两道工序，专做第一道 工序的每人每小时可完成4个，专做第二道工序的每人每 小时可完成5个，现工厂里有3

4、6名工人，如何分配，我们可以用以下思路解题：每道工序所占用的工时比等于每道工序所分配的人数比（成正比），第一道工序占用每人，小4时，第二道工序占用每人，小时，1： 1=5： 4,从而人数 545的分配也是5： 4o知识纲要如下（看完书再看以下内容）：1、比、分数和除法之间的联系与区别：比分啜除法联系 前项分子被除蚊比号Q ）分数能1一）除号后项（片口）分母（片口）除数CKD）比值分数值商a.a:b = r= aH-b区别意义表示两个数相除一种数一种运算形式a a;b或父a ba-r-b读法a比bb分之a0除以b1或b除a2、比和比例的基本性质比表示两个数相除的关系；比例表示两个比的关系。 任意

5、两个数都能组成比，但任意四个数不一定能组成比例。意义各部分名称基本性质两个甑.相除又叫f5l 1= 4 = 0. 25两个裁的比.它 1 1比的前项和后项都一般包含两种情况：前比后比乘以或除以相同的教项号项循（0除外）比值不变，O两个同关量相比，h q也可以与成±BP：比具比值表水两个数量比的前项除以后项a:b= (ax ni) : (b xni)间的信数关系或分率所得的商叫做比值，其中nBO2）不同类的两个量相比值是一个数，可以应用比的基本性质，比，其比值代表一种写成分数或小款的形可以化简比新的数量式，当可以化成整初时，要化成婺散在比例中，两个外项表尔两个比相等的式组成比例的四个教

6、的积等于两个内项的比千，叫做比例【组成叫做比例的项积。即：叱例的四个数,都不V V= : f若a:b二c:d,则例能是口）内项ad=bc苏项一'应用比例的基本性质，可判断两比是舌成比例根据比和比例的基本性质，我们还可以推导出，如果 a:b=c:d（a> b、c、d 四个数均不为 0）,那么 b:a=d:c； a:c=b:d； c:a=d:b,例如，3： 5=15： 25,贝！I 5： 3=25： 15；重点中学小升初难度题解析王雪宇学案 MW MW MW MW MW MW MW MW MW MW 3： 15=5： 25；15： 3=25： 5,同学们开动脑筋想一下,如果a:b=c

7、:d,则c=aXm,而d=bXm,也就是说c和d是a 和b扩大或缩小了若干倍得到的，自然也就有了比例的基- -本性质-ad=aXbXm=aXmXb,以上推论也是据此得出,在学习时，同学们要注意前后知识点的联系，重视思考过程, 懂得活学活用。3、化简比的方法:（1）根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘以或除以同一个数（0除外）进行化简。（2）把前项除以后项所得的比值，改写成最简整数比。注意：有单位名称的同类量的比化简时，要先化成相同的单位，然后再计算。4、解比例的方法：已知比例中的任意三项，根据比例 的基本性质，可求出其余的一项（未知项），注意写成以下形式时，用交叉相乘法:G,一 4x是两个内

8、项相乘二5> 5 X 5是 两个外项相乘,4x=5 X 5 o5、判断两个比是否可以组成比例的方法:（1）分别求出两个比的比值，如果比值相等，就可以组成比例;（2）将两个比都化简成最简整数比，如果得到的最简整数比相同，则可以组成比例;（3）假设两个比能组成比例，那么两个内项的积和两个外项的积一定相等。如果积不相等，则说明假设不成立,也就不能组成比例。6、正比例和反比例:正 比 例反 比 例意文.相同点两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化不同点网种重中相对应的两个数的比值（也就星两）一定网种量相对应的两个数的积 一定关系式±=k（k一定）xy=k （k 一定）判断正、反

9、比例时，先分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。根据两种相关联的量与那个一定的量列出 数量关系式。两种相关联的量之间的关系若是商一定，则成正比例关系，若是积一定，则成反比例关系，若商和积 都不是定量，则不成比例。一些常用的正比例和反比例: 图形问题中，例如三角形，面积一定，底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例（注意：嘴和底边长）； 高一定，面积和底成正比例。又如圆锥的体积一定，高和底面积成反比例；底面积一定，体积和高成正比例（注意野q底面积）高一定，体积和底面积成正比例。在工程问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间 成反比例。工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例; 工作时间一定，工

10、作总量和工作效率成正比例。例：（1）加工一批零件，若单独做，甲可比规定的时 间提前2天完成，乙则要超过规定时间3天完成。如果 甲乙两人合作2天后，剩下的由乙单独做，那么刚好在重点中学小升初难度题解析王雪宇学案期乏萌而品最:期金获扁鬲而更多万灵 一解题思路：根据条件可知，甲工作两天完成的零件 数是乙工作三天完成的零件数，也就是说工作量一定时, 一一甲五的工作时间比是2： 3。单独做，甲、乙各自所需的 天数的比与2： 3成比例，若设规定时间是x天，则甲的 工作天数是（x-2）天，乙的工作天数是（X+3）天，则有:三|=，解得规定完成的天数x=12x + 33（2）小张单独加工一批零件会比规定时间晚

11、三天完 成任务，王师傅帮小张做了两天，恰好在规定时间完成, 现在若有150个零件需要加工，让小张和王师傅同时开 始做同时完工，应如何分配？解题思路：根据已知条件，王师傅工作两天完成的 零件数是小张工作三天完成的零件数，即加工相同个数 的零件，王师傅与小张所需的时间比是2： 3,也就是说,工作量相同时，王师傅所需时间是小张所需时间的白工 作量一定，工作效率与工作时间成反比，则王师傅的工 作效率是小张工作效率的,（"X'y=k,k为相同的工作 量，x为工作天数，y为工作效率），两人工作效率比为3： 2（1： p如此可按两人的工作效率比将工作总量“150个零件”进行分配，应分配给小

12、张零件数：150+ （2+3） 义2二60 （个），应分配给王师傅零件数：150-60=90 （个）解题过程: 由题意知：加工相同个数的零件，王师傅与小张所需的时间比是2： 3, 则壬师傅与小张的工作效率比是3： 2o1504- （2+3） X2=60 （个）；150-60二90（个）答：应分配给小张60个零件，应分配给王师傅90个 零件。在行程问题中：路程一定，速度和时间成反比例；速 度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成 正比例。例：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟 后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了小 明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追

13、小 明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几 分？ 解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上 小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从线段图 中我们可以看出爸爸走了 3个4千米的时间，小明只走了 1个4千米,小明所行路程是爸爸所行路程的！，相同时间内, 路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的重点中学小升初难度题解析王学宇学案4祎一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一爸爸小明第一次追上时离家4千米第二次追上时离家8千米我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的另从爸爸第一次开始

14、追小明到追上小明的这段时间内，爸爸行出4千米，小明行出4千米的X同 样是根据相同时间内，路程与速度成正比），小明必须 先行出4X产?千米。先行出4千米的二V,也就是说，小明用8分钟的时间小明先用8分钟时间走起jk米的"小明l,3I I J1爸爸进而我们求出小明的速度是千米/分钟，小明8点重点中学小升初难度题解析王学宇学案8芬女豪至由娶;蓟藤i三次i王示丽向7示丽环 8用米，8-?1=24分钟i-aii,从而求得第二次追上的时间是32分。解题过程： 4+（4+8）=14XQT）="千米）卢8V （千米/分钟）84-1 =24 （分钟）8+24=32 （分）答:这时是8点32分

15、。在价格问题中：总价一定，单价和数量成反比例；单价一定，总价和数量成正比例；数量一定，总价和单价成正比例07、比例尺：图上距离：实际距离比例尺（图上距离= 实际距离比例尺），为了计算简便，通常把地图上的比例尺的前 项化简成“1”，精密零件的图纸，实际距离很小，一般 是把比例尺的后项（实际距离）化成“1”。典型习题：1、用一条长108厘米的铁丝，做成一个长方体模型,要求长宽高的比为2: 3: 4,如果每个面都用铁皮包上做成铁盒，这个铁盒的表面积和体积各是多少？2、学校篮球场的长是26米，宽是14米，用1： 1000的比例尺画出这个篮球场的平面图，并求这个平面图的面重点中学小升初难度题解析王雪宇学

16、案 MW MW MW MW MW MW MW MW MW MW 积。3、某种机器零件要经过三道工序，专做第一道工序的 每人每小时可完成10个，专做第二道工序的每人每小时可 - -汽成5-个，专做第三道工序每人每小时可完成4个。现有 88个人怎样分配才合适？4、有一种零件，每个主件上要配两个附件，而且每个 主件要分两道工序，装附件只需要一道工序。专做主件第 一道工序的每人每小时可完成3个，专做主件第二道工序 的每完成1个需要一个人2小时的时间，专装配件每人每 小时可装4个配件。工厂里有170个工人，每道工序应如 何分工？5、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段， 三段的路程之比依次为1:

17、2: 3,王强走这三段路所用时 间比是4: 5: 6o已知他上坡时的速度是每小时4千米， 路总长36千米。则王强走完全程要多少小时？6、甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B 时，乙离B地还有35米，丙离B地还有68米；当乙跑到B 时，丙离B地还有40米，设甲、乙、丙的跑步速度都是匀 速，则A、B两地相距多少千米？7、甲、乙两种糖的单价比是4： 5,质量比是4： 1, 把这两种糖混合成100千克的什锦塘，单价为8.4元，原 来每种糖的总钱数各是多少元？8、制造一个零件，甲需要6分钟，乙需要5分钟，丙重点中学小升初难度题解析王学宇学案需要4. 5加露。现云看1590天豪件的编造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每个人应该分配到多 少个零件？- -9、-加工一个零件，甲、乙、丙所需的时间比为6: 7:8o现在有3650个零件要