概统4.1-数学期望(教材§2.2和§3.4.2)

1、Ch4-1第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征Ch4-2 分布函数能完整地描述分布函数能完整地描述 r.v.的统的统计特性计特性, 但实际应用中并不都需要知但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道道分布函数，而只需知道 r.v.的某些的某些特征特征. 判断棉花质量时判断棉花质量时, 既看纤维的既看纤维的平均长度平均长度 平均长度越长平均长度越长,偏离程度越小偏离程度越小, 质量就越好质量就越好; 又要看又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如例如：Ch4-3 考察一射手的水平考察一射手的水平, 既要看他的既要看他的平均环数平均环数是否高是否高,

2、还要看他弹着点的还要看他弹着点的范围是否小范围是否小, 即即数据的波动数据的波动是否小是否小. 由上面例子看到，与由上面例子看到，与 r.v. 有关的有关的某些数值，虽不能完整地描述某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但但能清晰地描述能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要在某些方面的重要特征特征 , 这些数字特征在理论和实践上这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义都具有重要意义.Ch4-4q r.v.的平均取值的平均取值 数学期望数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差q 描述两描述两 r.v.间的某种关系的数间的某种关系的数 协方差协方差与与相关系数相关

3、系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性随机变量某一方面的概率特性 都可用都可用数字数字来描写来描写Ch4-54.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望加加 权权 平平 均均初初赛赛复复赛赛决决赛赛总总成成绩绩算术算术平均平均甲甲乙乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75胜者胜者 甲甲 甲甲 乙乙 甲甲 甲甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲甲 乙乙 乙乙引例引例 学生甲乙参加数学竞赛学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负观察其胜负Ch4-60 .70为这为这 3 个数字的个数字的加权平均加权平均5 . 0

4、533 . 0852 . 09031iiipx称称数学期望的概念源于此Ch4-7设设 X 为离散为离散 r.v. 其分布为其分布为, 2 , 1,)(kpxXPkk若无穷级数若无穷级数1kkkpx其和为其和为 X 的的数学期望数学期望 记作记作 E( X ), 即即1)(kkkpxXE数学期望的定义数学期望的定义绝对收敛绝对收敛, 则称则称Ch4-8设连续设连续 r.v. X 的的 d.f. 为为)(xf若广义积分若广义积分dxxxf)(绝对收敛绝对收敛, 则称此积分为则称此积分为 X 的的数学期望数学期望记作记作 E( X ), 即即dxxxfXE)()( 数学期望的本质数学期望的本质 加权

5、平均加权平均 它是一个数不再是它是一个数不再是 r.v.r.v.定义定义Ch4-9例例1 1 X B ( n , p ), 求求 E( X ) .解解nkknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(1101111 nnkknkknqpnpppCnpkk)()()(令令np特例特例 若若Y B ( 1 , p ), 则则 E(Y) p nkknkppknkkn11)()!( !Ch4-10例例2 2 X N ( , 2 ), 求求 E ( X ) .解解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令例例3 3 设设 X

6、 参数为参数为 p 的几何分布，求的几何分布，求E ( X ).解解11)1 ()(kkpkpXEpxkkkxp111pxkkxp11pxppx1)1 (112Ch4-11常见常见 r.v. 的数学期望的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP( ), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk Ch4-12分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布其它, 0,1)(bxaabxf2ba E( )其它, 0, 0,)(xex

7、fx1N( , 2)222)(21)(xexfCh4-13注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有数学期望都有数学期望例如例如：柯西：柯西(Cauchy)分布的密度函数为分布的密度函数为xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但但发散发散它的数学期望不存在它的数学期望不存在!Ch4-14q 设离散设离散 r.v. X 的概率分布为的概率分布为, 2 , 1,)(ipxXPii 若无穷级数若无穷级数1)(iiipxg绝对收敛，则绝对收敛，则1)()(iiipxgYEq 设连续设连续 r.v. 的的 d.f. 为为f (x)dxxfxg)()(绝对收敛绝对收敛, 则则dx

8、xfxgYE)()()(若广义积分若广义积分 r.v.函数函数 Y = g(X ) 的数学期望的数学期望Ch4-15q 设离散设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为的概率分布为, 2 , 1,),(jipyYxXPijjiZ = g(X ,Y ),1,),(jiijjipyxg绝对收敛绝对收敛 , 则则1,),()(jiijjipyxgZE若级数若级数Ch4-16q 设连续设连续 r.v. (X ,Y )的联合的联合 d.f. 为为f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛绝对收敛, 则则 dxdyyxfyxgZE),(),()(若广义积分

9、若广义积分Ch4-17例例3 3 设设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求求22YXZ的数学期望的数学期望.解解dxdyyxfyxZE),()(22 dxdyeyxyx2222221 2002221drdrerr2Ch4-18q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) CXEaCXaEniiiniii11)(q 当当X ,Y 独立时，独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .q 若存在数若存在数 a 使使 P(X a) = 1, 则则 E (X ) a ； 若存在数若存在数 b 使

10、使 P(X b) = 1, 则则 E (X ) b.数学期望的性质数学期望的性质常数常数Ch4-19性质性质 4 的逆命题不成立，即的逆命题不成立，即若若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立不一定独立反例见附录反例见附录 1 1（涉及多维分布内容）（涉及多维分布内容）注注Ch4-20 设设 X 连续，连续，d.f. 为为 f (x), 分布函数为分布函数为 F(x), 则则)(1)(aXPaXP1)(1aF0)(aFaxxF , 0)(axxf , 0)(故故adxxxfXE)()(adxxaf)(a证证 性质性质5Ch4-21例例6 6 将将 4 个不同色的球

11、随机放入个不同色的球随机放入 4 个盒子个盒子 中中, 每盒容纳球数无限每盒容纳球数无限, 求空盒子数的求空盒子数的 数学期望数学期望. 解一解一 设设 X 为空盒子数为空盒子数, 则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 344! 442413144PCC4341224244)(CCCC4144C6481)(XECh4-22解二解二 再引入再引入 X i ,i = 1,2,3,4其它，盒空，第, 0, 1iXi4321XXXXXXi P 1 04434431443)(iXE6481434)(4XECh4-23例例7 7 设二维设二维 r.v. (X ,Y ) 的的 d.f. 为为其

12、它, 0, 10 , 20),31 (41),(2yxyxyxf求求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解解 dxdyyxxfXE),()(20102)31 (41dyyxdxx34 dxdyyxyfYE),()(20102)31 (41dyyyxdx85Ch4-2424478534)()()(YEXEYXE)(XYE658534由数学期望性质由数学期望性质X ,Y 独立独立 dxdyyxfxyXYE),(20102)31 (2121dyyydx)()(321585XEYE)()(YEXECh4-25Ch4-26据统计据统计65岁的人在岁的人在10年

13、内正常死亡年内正常死亡解解应用应用1 1的概率为的概率为0. 98, 因事故死亡概率为因事故死亡概率为0.02.保险保险公司开办老人事故死亡保险公司开办老人事故死亡保险, 参加者需交纳参加者需交纳保险费保险费100元元.若若10 年内年内因事故死亡公司赔偿因事故死亡公司赔偿 a 元元, 应如何定应如何定 a , 才能使公司可期望获益才能使公司可期望获益;若有若有1000人投保人投保, 公司期望总获益多少公司期望总获益多少?设设Xi 表示公司从第表示公司从第 i 个投保者身上所得个投保者身上所得的收益的收益, i =11000 . 则则Xi 0.98 0.02100 100aCh4-27由题设由

14、题设 02. 0)100(98. 0100)(aXEi002.0100a5000100 a公司每笔赔偿小于公司每笔赔偿小于5000元元, 能使公司获益能使公司获益.公司期望总收益为公司期望总收益为.20100000)()(1000110001aXEXEiiii若公司每笔赔偿若公司每笔赔偿3000元元, 能使公司期望能使公司期望总获益总获益40000元元.Ch4-28 市场上对某种产品每年需求量为市场上对某种产品每年需求量为 X 吨吨 ，X U 2000,4000 , 每出售一吨可赚每出售一吨可赚3万元万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少

15、吨万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能才能使平均利润最大？使平均利润最大？ 解解其它, 0,40002000,20001)(xxfX设每年生产设每年生产 y 吨的利润为吨的利润为 Y 显然，显然，2000 y 4000应用应用2 2Ch4-29xyyxxyyxg,4,3)(XyXyXXyyXgY, 1)(3,3)(dxxfxgYEX)()()(4000200020001320001)4(yydxydxyx)108140002(2000162yyCh4-30)140004(20001)(ydyYdE0令显然，显然，020004)(22dyYEd故故 y=3500 时时, E(Y )最大最大,

16、E (Y )= 8250万元万元Ch4-31作业 P.81 习题2.2 1 、4、10、11、13Ch4-32柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857法国数学家法国数学家Ch4-33柯 西 简介简介法国数学家法国数学家 27岁当选法国科学院院士岁当选法国科学院院士 早在早在1811年就解决了拉格朗日向他年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这这一直是几何学中一个精彩的结果一直是几何学中一个精彩的结果. 在概率论中他给出了有名的柯西分在概率论中他给

17、出了有名的柯西分布布. 然而他一生中最重要的数学贡献在然而他一生中最重要的数学贡献在 另外三个领域：微积分学、复变函数和另外三个领域：微积分学、复变函数和微分方程微分方程.Ch4-34 柯西在代数学、几何学、误差理论以及柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础. 在这三个领域中我们常常能见到以柯西在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理、公式和方程等名字命名的定理、公

18、式和方程等:柯西积分定理柯西积分定理;柯西积分公式柯西积分公式;柯西柯西-黎曼方程黎曼方程;柯西判别法则柯西判别法则;柯西不等式柯西不等式;柯西初值问题柯西初值问题微积分在几何上的应用微积分在几何上的应用 1826 年年 柯西的著作大多是急就章，但都朴实无柯西的著作大多是急就章，但都朴实无华，有思想华，有思想, 有创见有创见. 他所发现和创立的定理他所发现和创立的定理和公式和公式, 往往是一些最简单、最基本的事实往往是一些最简单、最基本的事实.因而，他的数学成就影响广泛，意义深远因而，他的数学成就影响广泛，意义深远. 柯西是一位多产的数学家，一生共发表柯西是一位多产的数学家，一生共发表论文论文 800 余篇，著书余篇，著书7本本.柯西全集共有柯西全集共有27卷，其中最重要的为：卷，其中最重要的为：分析教程分析教程 1821 年年 无穷小分析教程概论无穷小分析教程概论 1823 年年Ch4-36若若 X 服从柯西服从柯西(Cauchy)分布分布, 其其 p.d.f. 为为)(1 1);(2xxfx简记简记 X C( )分布分布,Ch4-37性质性质 4 的逆命题不成立，即的逆命题不成立，即若若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立不一定独立反例反例 1 1X Y pi