现代控制理论课件2

1、2021-10-311第二章第二章系统数学建模系统数学建模Mathematical Models of SystemsFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳22. 系统数学建模系统数学建模 2.1 引言 2.2 物理系统的微分方程 2.3 物理系统的线性近似 2.4 Laplace变换 2.5 线性系统的传递函数 2.6 框图模型 2.7 信号流图模型 2.8 控制系统的计算机辅助分析 2.9 设计实例 2.10 利用MATLAB进行系统仿真 2.11 循序渐进设计示例：磁盘驱动读取系统 2.12 小结 Fundamen

2、tals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳3要求 能够建立物理系统的微分方程（differential equations） 理解和掌握以下概念： Laplace变换（Laplace Transform） 传递函数（Transfer Function） 会化简方框图（block diagrams ）和信号流图（signal-flow graphs ）Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳42.1 引言术语: 数学模型数学模型 (Mathematical models)

3、： 利用数学工具对系统行为进行的描述。 线性系统（线性系统（Linear system）： 指满足叠加性(superposition)和齐次性(homogeneity)的系统。 线性叠加原理线性叠加原理: 若系统对激励x1(t)的响应为y1(t)，对激励x2(t)的响应为y2(t)，则线性系统对激励x1(t) +x2 (t)的响应必须是y1(t)+y2(t)。 齐次性准则：齐次性准则： 若系统对输入激励x的输出响应为，则线性系统对缩放了常数（）倍的输入激励x的响应必须是y。 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础 问题： y=ax+b是线性系统吗

4、？2021-10-31张秦艳5Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳6分析研究动态系统的步骤1. 定义系统及其部件。2. 确定必要的假设条件并推导数学模型。3. 列写描述该模型的微分方程。4. 求解方程（组）得到所需的输出变量。5. 检查假设条件和所得到的解。6. 若必要，重新分析和设计系统。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳72.2物理系统的微分方程（组）物理系统的微分方程（组） 图图2.1 (a) 旋转弹簧质量系统 (b)弹簧元件质量为零

5、through-variable（通过型（通过型变量）变量）Ta(t) - Ts(t) = 0 across-variable （跨越型变量）（跨越型变量）(t) = s(t) a(t) Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳8表表2.1 通过型和跨越型变量通过型和跨越型变量Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳9 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳10弹簧-质量-阻尼系

6、统Spring-mass-damper system图图2.2 (a) 弹簧-质量-阻尼系统 (b) 质量的运动分析图粘性粘性阻尼阻尼Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳11dttdytv)()(ttrdttvktbvdttdvM0)()()()(令令)()()()(22trtkydttdybdttydM图图2.2Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳12RLC电路图图2.3 RLC电路Fundamentals for Control Engin

7、eering 控制工程基础2021-10-31张秦艳13ttrdttvLRtvdttdvC0)()(1)()( )( )Ldi tv tLdt( )( )Cdv titCdt( )( )Rv titR01( )( )tLitv t dtLFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳14相似变量（Analogous variables ）和相似系统图图2.4 典型响应速度速度电压电压velocityvoltagettrdttvktbvdttdvM0)()()()(ttrdttvLRtvdttdvC0)()(1)()(veloci

8、ty力力电流电流forcecurrentFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳15注： 具有相似解的相似系统有助于人们分析和设计其他不熟悉的系统。 相似变量不是不变的。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳16Inductive storage(感性储能)电感平动弹簧旋转弹簧流体惯量物理元件 描述方程 能量或功率 符号Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳17Capaciti

9、ve storage（容性储能）电容平动质量转动惯量流体容量热容量Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳18Energy dissipators（耗能）电阻平动阻尼器旋转阻尼器流阻热阻Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳192.3 物理系统的线性近似 已知 如果 则系统是线性的systemx1y1systemx2y2systemx1+x2y1+y2线性系统：Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础20

10、21-10-31张秦艳20 如果条件不满足，则系统是非线性的。 例如 : 但 : 是线性的2xy bmxyxmy非线性系统：Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳21线性近似（Linear approximation） 定义：定义：指通过建立设备的输入与输出之间的线性关系而获得的近似模型。 设 在工作点（ operating point）处进行Taylor展开，只取其一阶项：).,(21nxxxgy)()()(),(00000000022211121nnxxnxxxxnxxxgxxxgxxxgxxxgy000,21nxx

11、xFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳22T = 质量上的转矩，输出= 角位移，输入M = 摆质量L = 摆长度图图2.6 摆振荡器例例 2.1 摆振荡器模型摆振荡器模型Pendulum oscillator model(1)长度长度质量质量MgFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳23 质量上的转矩 质量的平衡位置 线性近似 其中 所以 在 范围内，上式的近似精度是相当高的。 (2)sinMgLT 00)(sin000MgLTT00TMgLMg

12、LT)0)(0(cos)4()4(Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳24例 2.5 液压执行机构Hydraulic actuator（1）表表2.5-9 液压执行机构(page56 in English, page49in Chinese)Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳25（2）x=阀芯向下位移（valve displacement）,即为阀开口量，系统输入 ；y=活塞推动负载向下位移（main piston displacement）

13、, 系统输出；Q =负载流量（load flow rate） ，即为进入或流出油缸的流量； 负载压降（ load pressure） ，即为活塞两端单位面积上的压力差；A = 活塞面积（piston area）；b =粘性阻尼系数。21ppPFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳26流体连续方程(流体的质量守恒定律)： 系统的总流入量减去总流出量等于流体受压缩产生的流量变化加上系统容积变化产生的流量变化。ddvQQvdtdt入出体积体积 密度密度Fundamentals for Control Engineering 控

14、制工程基础2021-10-31张秦艳27 设本系统中密度不发生变化且等于1，体积与位移成正比，则有活塞处的流体连续方程为:dtdyAQ Q =负载流量y=活塞推动负载向下移A = 活塞面积（piston area）: (1)Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳28（3） 液压系统是复杂的具有分布参数的控制系统，在实际工程中通常用集中参数近似描述它； 液压系统中的元件有明显的非线性，需进行线性化处理。或 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳29（

15、4） 活塞上力平衡方程为: (2) 液体流经微小缝隙的流量特性： (3) 用线性近似: 设APybyM ),(PxgQ )()(),(000000PPPgxxxgPxgQPPxx0, 000Px0),(00PxgFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳30（5） 得 (4) 其中 流量增益, 流量压力系数 . 把方程 (4)代入(2)得 (5) 结合方程(5)和(1)得到 # 0 xx xgkx0PP PgkP 2()PxxAkAMybyxkkxPQk xk P22()xpAd ydyk xQMbkdtdtFundamen

16、tals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳312.4 Laplace变换（Laplace Transform） Laplace变换变换(Laplace Transform)：将时域：将时域函数函数f(t) 转换成复频域函数转换成复频域函数F(s)的变换。的变换。 作用：用它很容易求解很难的微分方程。 主要步骤为： 1. 建立微分方程（组）； 2. 求取微分方程（组）的Laplace变换； 3. 对感兴趣的变量求解代数方程； 4. 求代数方程解的Laplace逆变换。Fundamentals for Control Engineering 控

17、制工程基础2021-10-31张秦艳32定义(1) 定义 : 条件: 1. 当 t0, f(t) 在有限时间段内是分段连续的 2. f(t) 是指数级的，即 其中 是正实数 其中: F(s)是像函数(image function), f(t)是原函数（ object function）dtetft10)(10( )( ) ( )stF sf t edtL f tFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳33(2) 反 Laplace变换 : Laplace变量 s 可看成微分算子 或jjstdsesFjtf)(21)(dtd

18、s tdts01Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳34简单函数的 Laplace 变换阶跃函数Step function 1(t)脉冲函数Pulse function (t)斜坡函数Ramp function t指数延迟函数Decaying exponential eat正弦函数Sinusoid sint Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳35阶跃和脉冲函数 1(t),(t) 阶跃函数 : 脉冲函数 :0010)( 1tttLttedtes

19、sstst11100( )( ) 000)(ttt( ) t dt 1( )( )( )tf t dtf0Lttedteststt( )( )001Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳36 斜坡函数 : 用部分分式法: 则 斜坡函数 t000)(ttttfudvuvvduL f tt edttesesdtststst( ) 000 esdtsesstst112002Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳37 脉冲 阶跃 斜坡)( 1 tt)(t原

20、函数像函数s/1121sdtds tdts01Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳38指数延迟函数eat asasedtedteeeLtastasstatat10)(0)(0Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳39正弦函数 sint sin()tjeej tj t1200221sinsin()21112stj tj tstLtt edteeedtjjsjsjsFundamentals for Control Engineering 控制工程基础

21、2021-10-31张秦艳40Laplace变换性质(1) 叠加性Superposition 时间平移Translation in time 复频域微分Complex differentiation S域平移Translation in the s domain 实域微分Real differentiationL K ftK ftK F sK F s11221122( )( )( )( )L f taeF sas()( )()(asFtfeLatL fts F sf( )( )()0L t f tddsF s ( )( )Fundamentals for Control Engineering

22、 控制工程基础2021-10-31张秦艳41(2) 时域积分Real integration 其中 终值定理Final value 初值定理Initial value 复频域积分Complex integrationlim( )lim( )tsf tsF s0Lf ttF s dss( )( )Lf t dtF sssfLf t dtsF ssfsfsftttntnnnn( )( )()( )()( )()()()()()()()01000112101101010ff tsF sts()lim( )lim( )00)0()()(0000 nttnttfdttfFundamentals for

23、Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳42 (3) 周期函数的Laplace变换 Laplace transform of the periodic function若 （则ftTf tL f tef t edtsTstT)( ),( )( )110Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳43证明(3)Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳44 (4) 卷积定理Convolution theorem 其中)()

24、()()()()(,)()(0sGsFdgtfLtgLsGtfLsFt则：若：Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳45证明 (4)Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳46反拉式变换 (1) 部分分式展开法Partialfraction expansion method 1) 一阶极点: 设 其中K1,K2Kn 是未知常数. 则 其中)()()()()()()(2121011011nmnnnnmmmmpspspszszszsKasasabsbsb

25、sAsBsF)()()()()(2211nnpsKpsKpsKsAsBApdA sdsispi()( )f tLF sB pApeiiinp ti( )( )()()11Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳47(2) 2)多重极点:其中F sB sA sB saspspspnrrn( )( )( )( )() ()()11KspKspKspKspKspKsprrrrrrrnn1111211111122()()11111)()!1(1psrrrrpssFdsdrK()( )()(1,2, )()js pjjpjjpB s

26、KF s spjrrnA s1111)(psrpssFK1112)(psrpssFdsdKFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳48(3) 用s域平移定理 : 则f tLF sKrtKrtKeKeK errrp trptnp trn( )( )()!()!11111221112111(1)!rrrL ts )( 1)!1()(11111tektpsLtpkk)(1)( 111psteLtp)()(asFtfeLat查表查表2.5可知可知Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础

27、2021-10-31张秦艳49用 LT解微分方程 微分方程 S的代数方程Laplace变换X(s)反LTX(t)代入初始条件并整理Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳50例： 弹簧-质量-阻尼系统 (1)考虑 (2.1)式所示的方程：Laplace 变换得： 当 及 )(22trkydtdybdtydM)()()0()()0()0()(2sRskYyssYbdtdysysYsM, 0)(tr0)0(yy00tdtdyFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-3

28、1张秦艳51 (2) 有 解 Y(s)得 当 k/M=2 ， b/M=3, 则 用部分分式法展开，设 0)()()(002skYbysbsYMsysYMs)()()()(20sqspkbsMsybMssY)2)(1()3()(0ssyssY21)(21sksksYFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳52 (3) 当 yo =1 ,有 k2 = 1 . 则 得 2)2)(1()3)(1()()()(11111ssssssssqspssk1121( )12y tLLsstteety22)(Fundamentals for

29、Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳53解线性系统微分方程 考虑下面的微分方程 在零初始条件下，系统可用传递函数表示为 完整的输出响应包括零输入响应（由初始状态决定）和由输入作用激励下的零状态响应。于是：rpdtrdpdtrdpyqdtydqdtydnnnnnnnnnnn02221110111)()()()()()()()()(01102211sRqsqspspspsRsqspsRsGsYnnnnnnn)()()()()()(sRsqspsqsmsY其中q(s)=0构成了系统的特征方程。Fundamentals for Control Engineer

30、ing 控制工程基础2021-10-31张秦艳54 若输入具有有理式的形式： 则 （2.46） Y1(s)：零输入响应的部分分式展开式； Y2(s)：部分分式展开式中与q(s)的因式有关的部分分式； Y3(s)：部分分式展开式中与d(s)的因式有关的部分分式。)()()()()()()()()()(321sYsYsYsdsnsqspsqsmsY)()()(sdsnsRFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳55 若对式（2.46）作Laplace逆变换可得 瞬态响应为 稳态响应为)()()()(321tytytyty)()

31、(21tyty)(3tyFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳56例2.2 一个微分方程的解 考虑下述微分方程所描述的系统： 其中初始条件为 ，输入激励为t0时r(t)=1.)(23422trydtdydtyd0, 1)0(0tdtdyyFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳57 由Laplace变换可得： 由于R(s)=1/s， 故有： 其中q（s）s24s3(s3)(s1)0为特征方程，而d(s)=s。2( )(0)y (0)4( )(0)(

32、)2 ( )s Y ssysY sysY sR ssssssssY1342344)(220, 1)0(0tdtdyyFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳58 于是Y(s)的部分分式展开式为： 时间响应函数则为： 可见，系统的稳态响应为：2/3。 )()()(3/233/11132/112/3)(321sYsYsYssssssY32312123)(33tttteeeetyFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳59作业 2-1 Page 104(En

33、g.)/86(Chi.):P2.1, P2.5(a)（p1-p20） Page98(Eng.)/82(Chi.): E2.4 Page101(Eng.)/84(Chi.): E2.17Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳602.5 线性系统的传递函数(Transfer Function) 定义: 初始条件为零时，输出变量的 Laplace变换与输入变量的Laplace变换之比。 例：弹簧-质量-阻尼系统 其传递函数为kbsMssRsYsGinputoutput21)()()()()()0()()0()0()(2sRsk

34、YyssYbdtdysysYsM)()()()(22trtkydttdybdttydMFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳61例2.4 相似系统的传递函数 (1) 图图2.16 (a) 双质量机械系统 (b) 相似的双节点电路系统221122111,1,1,bRbRKLMCMCFundamentals for Control Engineering 控制工程基础 利用机械系统的力学方程可以得到：2021-10-31张秦艳62112 1112(t)(t)( ( )( )(t)vMb vb v sv srdt222112(

35、t)(t)( (t)(t)dvMk vdtb vvdtFundamentals for Control Engineering 控制工程基础 在零初始条件下，拉式变换得： 消去V2(s)，得：2021-10-31张秦艳63112 1112( )( )( ( )( )( )M sV sbV sb V sV sR s222112( )( )( )( )V sM sV skb V sV ss1212112211221321211122212112( )(/ )( )()(/ )s +(b +bb )s +(k+b b )s+b k+b kV sM sbk sR sM sbbM sbk sbM s +

36、bs+kM MMMMMFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳64对照表 (2) 机械系统电路系统微分方程微分方程laplace微分方程微分方程laplace力 电流速度 电压质量电容弹簧电感阻尼电阻dtdvMtr)(MssRsV1)()(vdtktr )(kssRsV)()()()(tbvtrbsRsV1)()(0nnF0nni0iiv0iiV节点)回路dtdvCtr)(CssRsV1)()(vdtLtr1)(LssRsV)()()(1)(tvRtrRsRsV)()(Fundamentals for Control En

37、gineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳65(3) 机械系统电路系统V(s)/F(s)F(s)/V(s)V(s)/I(s)I(s)/V(s)质量1/MsMs电容1/CsCs弹簧s/kk/s电感Ls1/Ls阻尼1/bb电阻R1/RFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳66(4) 根据电路系统，我们可以用串并联的方法建立机械系统的数学模型。 推导过程见maple文件 p51-ample2.4.mws 11221122,1,1,1CM CMLk Rb Rb11212212112( )1111|( )( )(

38、)321 1122212112V ssR sM sbbM skV sM s +b s+kR sM M s +(M b +b M +M b )s +(M k+b b )s+b k+b kFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳67例2.5 直流电机的传递函数 图图2.17 直流电机 (a) 线路示意图 (b) 结构略图电枢 转动惯量 摩擦系数励磁电流 惯性负载 转子线圈 电刷 定子线圈 转换器 轴承 转轴 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳68 磁

39、场 电机扭矩满足: 磁场控制式电机磁场控制式电机field current controlled motor : 电枢控制式电机armature controlled dc motor :ffiK)()()(11titiKKtiKTaffam)()()()(1sIKsIIKKsTfmfafm)()()()(1sIKsIIKKsTamaffmFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳69磁场控制式电机磁场控制式电机 磁场转矩满足 磁场电压满足 负载转矩满足 关系式 其中Td(s)为扰动转矩 输入: 输出:)()()()(1sI

40、KsIIKKsTfmfafm)()()(sIsLRsVffff)()()(2sbssJssTL)()()(sTsTsTdmL)(sVf)(sFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳70 方框图为 所以 TF为 其中) 1)(1()()()(sssbRKsGsVsLffmffffRLbJL/Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳71电枢控制式电机 磁场转矩满足 电枢电压满足 反馈电压为 负载转矩满足)()()()(1sIKsIIKKsTamaffm)(

41、)()()(sVsIsLRsVbaaaa)()(sKsVbb)()()()()(2sTsTsbssJssTdmLFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳72 方框图为Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳73 所以 TF为 不过，对许多直流电机，电枢时间常数 是可以忽略的，因而有其中)2()()()()(22nnmmbaamasssKKKbJssLRsKsVssGaaaRLaaaRL) 1( )()()()()(1ssKKbRKKKbJsRsKsVs

42、sGmbammbama)(1mbaaKKbRJRFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳74作业2-2 Page 102(Eng.)/85(Ch.): E2.20 Page 99(Eng.)/82(Ch.) : E2.8 Page 101(Eng.)/84(Chi.): E2.13Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳752.6 框图（Block diagrams）模型定义:由单方向功能方框组成的一种结构图，这些方框代表了系统元件的传递函数。举例:

43、磁场电流控制电机 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳76 多个受控变量的系统 举例:)()()()()(2121111sRsGsRsGsY)()()()()(2221212sRsGsRsGsYFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳77串联与并联 串联: 并联:)()()()()()(121223sXsGsGsXsGsXx2G1(s)G2(s)+-x1x4x3G1(s)+G2(s)x1x4)()()()()()()()()()(121121132

44、4sXsGsGsXsGsXsGsXsXsXFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳78负反馈系统)()()()()()(sYsHsRsBsRsEa)()()(sEsGsYa)()()()(1)(sRsGsHsGsYFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳79表2.6 框图的基本变换合并串联方框合并串联方框相加点后移相加点后移分支点后移分支点后移相加点前移相加点前移分支点前移分支点前移消去反馈回路消去反馈回路Fundamentals for Contro

45、l Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳80例例 2.7 方框图化简方框图化简 图图2.26 多回路反馈控制系统 方法1： 方法2Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础方法22021-10-31张秦艳81G1G2G3G4+H1-H3-H2/G4Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳82G1G2G3G4+H1/(G1G2)-H3-H2/(G4G1)Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-3

46、1张秦艳83G1G2G3G4+H1/(G1G2)-H2/(G4G1)-H3G1G2G3G4/(1-G1G2G3G4(H1/(G1G2)-H2/(G4G1)-H3)G1G2G3G4/(1-G3G4H1+G2G3H2+G1G2G3G4H3)Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础 对于有公共前向传函的回路传函= 前向传函之积 1不同回路的传函之和2021-10-31张秦艳84Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳852.7 信号流图(SignalFlow Graph) 模型 定义

47、: 由节点和连接节点的有向线段所构成的一种信息结构图，是一组线性关系的图解表示。 Node（节点）: 输入输出点或汇合点（ junction） Branch（支路）: 连接彼此关联节点的具有单方向的线段。 Path（通路）： 指从一个信号（节点）到另一个信号(节点)的一条或多条相连的支路构成的路径 。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳86 Loop（回路）: 是指起始节点和终止节点为同一节点，且不与其他节点相交多于1次的封闭通路。 Nontouching(不接触): 两个回路若没有公共节点，则称它们为不接触回路。 图

48、2.28 2元方程组的信号流图 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳87举例 其中 在中： 自环self loop: ， 不接触环 nontouching loops: ， 22222121xrxaxa11212111xrxaxa211222112211211222111)1)(1 (aaaaaaaaaa121211211222111212112)1 ()1)(1 ()1 (raraaaaararax212122211222112121221)1 ()1)(1 ()1 (raraaaaararax2222211)1 (

49、)(raxax1122111)()1 (raxax2211,aa2112aa22a11aFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳88Mason信号流图(signal-flow)增益公式 (1) 一般,独立变量 (independent variable) (通常是输入变量 )与因变量 (dependent variable)的线性依赖度(linear dependence) 可由下面的Mason信号流图增益公式给出 其中 =由 到 的第k条前向通路的增益 =流图的特征式（determinant ） =通路 在 中除去所有与

50、第k条通路相接触的回路增益项后剩下的余因式 （ cofactor）ijTixjxijkkijkijPTijkPixjxijkijkPFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳89M.(2) 其中 为第q条回路的增益。 =1-所有不同回路的增益之和 (sum of all different loop gains) +所有两两互不接触回路增益的乘积之和 (sum of the gain products of all combinations of 2 nontouching loops) -所有3个互不接触回路增益的乘积之和

51、( sum of the gain products of all combinations of 3 nontouching loops)+ ,1,1, 11tsrQMqmqmNnnLLLLLLqLFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳90例2.10 复杂系统的传递函数 (1)叠加点在前，分支点在后！Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳91例2.10(2) 图图2.31 Fundamentals for Control Engineering

52、控制工程基础2021-10-31张秦艳92例2.12 机械式加速计Mechanical accelerometer(1) 图图2.34 安装在喷气引擎试验橇上加速度计 喷气引擎喷气引擎X=箱体位移方向箱体位移方向加速计加速计箱体箱体悬浮试验橇悬浮试验橇间隙间隙导轨导轨Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳93例2.12 (2) 目的是设计一个具有合理动态响应的加速度计，它能在可以接受的时间内测得所需要的特征量y(t)=qa(t) (q为常数)。 分析质量M的受力情况，我们有： 或2222dtxdMkydtdybdtydM

53、)(22xydtdMkydtdybFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳94例2.12 (3) 由于引擎推力为： 于是有： 当 令 Q(s) = P/s ,LT得)(22tFdtxdMs)(tFMMkyybyMs ),()(, 2, 3tQMtFMkMbs1)0(y2)0(y )()(2)0()(3)0()0()(2sQsYyssYysysYssPsssYss)()()23(22Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳95例2.12 (4) 输出的传

54、递函数为 用部分分式展开法得 系数为 因此 输出的时域响应为 )2)(1()()23()()(222sssPsssssPsssY21)(321sksksksY2)2)(1()(021PssPssksPk2223Pk)2(2212)(sPsPsPsY0,)2(221)(2tePPePtyttFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳96例2.12(5) 设P= 3 当 t5s, -2y(t) 3=P. 如果 k , b, M , 则 ts. 如果b/M =12 ， k/M = 32, 则ts=1s.0,)2(221)(2teP

55、PePtytt2222( )d ydyd xMbkyMMQ tdtdtdt 3,2b Mk MFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳97例-直流电机驱动的进给系统dc Motor-driving gearing system 电机驱动部分机械进给部分传感器计数器Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳981. 电机驱动部分 磁场电流控制电机 : 其中 如果 则MKiJBMLdidtR iuffffffGssUsKs L sRJsBmfff( )( )

56、( )/(BRKKfmTLRfff/BJTm/Lf 0GssUsKs T smfmm( )( )( )()1放大器放大器直流电机直流电机测速计测速计Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳99 电机驱动部分的传递函数为 或Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳1002. 机械传动 等效的机械传动图为 1)等效惯量（ moment of inertia） 有2个旋转惯量和1个传动惯量。总能量为 。 转换到轴 上，即电机轴上，其等效能量为EJJmx121

57、21211222202EJ1212Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳101 结合两个公式得: 其中 L 丝杠导程 ，z1/z2 是齿轮1,2的齿数比。 2）等效阻尼系数（ damp coefficient） 这个例子中，只考虑平动阻尼，于是有JJJmx12212012()()JJzzmLzz12122221224()()022xLEB x12002Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳102 转换到轴上,有 因此等效阻尼系数为 3) 等效弹性系

58、数(Elastic coefficient : ) 有 3个弹性系数：电机轴的弹性系数，轴的弹性系数。工作台 （worktable）的弹性系数 后两个可以转换到轴上。他们是串联的关系。EB1212BBxBLzz001201222()()Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳103 所以有 其中 因此等效弹性系数为 kkkk111112101kxkzzLk01012012202 kkzzk2121221222 kkzzkzzLk11112112221220()()Fundamentals for Control Engin

59、eering 控制工程基础2021-10-31张秦艳104其中 是无阻尼自然频率（ undamped natural frequency）, 所以等效传动部分简化为 经过分析有 MKMJBzzLx()11112102X sszzLkJsBskzzLssnnn( )( )()12212222222nkJBJk2是阻尼比（ damp ratio）.Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳105 因为位置反馈系数为 1，放大器系数为Kc. 整个系统方框图为Fundamentals for Control Engineering

60、控制工程基础2021-10-31张秦艳106作业2-3 Page 110(Eng.)/92(Chi.) : P2.33 Page 113(Eng.)/95(Chi.) : P2.46 Page 115(Eng.)/96(Chi.) : AP2.2Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-10-31张秦艳107复习 2.42.7 获得系统传递函数的方法:物理系统物理系统的原理图的原理图物理物理方框图方框图控制控制方框图方框图信号流图信号流图传递函数传递函数系统的微分方程系统的微分方程单位脉冲响应单位脉冲响应Fundamentals for C