2019年甘肃省、青海省、宁夏高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)

1、2019 年甘肃省、 青海省、 宁夏高考数学模拟试卷 （理科）（5 月份）4.5.6.已知抛物线 C：x2=2py（p>0）的准线 l 与圆 M：（x-1）2+（y-2）2=16相切，则 p=（A. 6B. 8C. 3D. 4已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则A. 8B. 7C. 6D. 4已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（D.题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共 60.0 分）1.已知集合 A=x|x2<2 ，则? RA=（）A. x|-2x 2B. x|x-2 或 x2C.D.2.若 a，b 均为实数，且 ，则A.B. 2C

2、. D. 33.已知函数 f（ x） =（ 2x+2-x）ln|x|的图象大致为（）7. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆 术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形 的面积直算到了正 3072 边形，并由此而求得了圆周率为 3.1415和 3.1416这 两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据如图，当 分割到圆内接正六边形时， 某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，8.9.10.11.12.二、13.14.15.16.三、17.计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为

3、（参考数据=2.0946A. 3.1419 B. 3.1417 C. 3.1415 已知函数 f（x） cos（x）（ > 0）的最小正周期为 若函数 yf（x）在 0 ， a上单调递减，则 a 的最大值是（D. 3.1413，且对 xR，恒成立，）B.C.p=f（log425），则 m，n，p 的大小关系已知函数 f（ x）=2|x|+x2，设，n=f（ 7-0.1），为（ ）A. m>p>nB. p>n>mC. p>m>nD. n>p> m在四棱锥 P一 ABCD 中，所有侧棱都为 4 ，底面是边长为 2 的正方形， O是P在平面 AB

4、CD 内的射影， M是PC的中点，则异面直线 OP与BM所成角为 （ ）A. 30°B. 45 °C. 60 °D. 90 °已知双曲线 的左、右焦点分别为,过 且斜率为 的直线与双曲线在第一象限的交点为 ,若（ + ） · =0,则此双曲线的标准方程可能为（）A.B.C.D.A.B.C.D.数列为 1，1，2，1，1，2， 3，1，1，2，1，1，2，3，4， ，首先给出 ，接着复制该项后，再添加其后继数 2，于是， ，然后再复制前面所有的项 1，1，2，再添加 2的后继数 3，于是， ， ， ，接下来再复制前面所有的项 1，1，2，1，1，

5、2， 3，再添加 4， ，如此继续，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4填空题（本大题共 4 小题，共 20.0分）设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是 .某公司对 2019 年 14 月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：月份 x1234利润 y/万元566.58利用线性回归分析思想，预测出 2019 年 8月份的利润为 11.6 万元，则 y关于 x的线性回归方程 为 若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 若函数 f（x）=ex-ax2有极值点，则 a 的取值范围是 解答题（本大题共 7 小题，共 82.0分）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边

6、分别为 a， b，c，bsinB+csinC=a（+sinA）1）求 A 的大小；2）若 a= ，B= ，求ABC 的面积18. 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形， A1D 与AD1交 于点 E， AA1=AD=2AB=4 （ 1）证明： AE平面 ECD （ 2）求直线 A1C与平面 EAC 所成角的正弦值19. 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂 方案二：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次200 元，若每日软件服务不超过10 元；15次，不另外收费，若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准

7、为20 元1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与 x的函数关系式；2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？ 请说明理由20. 已知椭圆 C：=1（ a>b>0）的离心率为 ，焦距为 2 1）求 C 的方程；（ 2）若斜率为 - 的直线与椭圆 C交于 P，Q两点（点 P，Q 均在第一象限）， O 为坐标原点， 证明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列21. 已知函数 ， .（1） 当 为何值时，直线是曲线的切线；（2

8、） 若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围22. 在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方 程为 co（s +） = ，曲线 C 的极坐标方程为 -6cos=0（ 1）写出直线 l和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）已知点 M（1，0），若直线 l 与曲线 C交于 P，Q两点，求 |MP |2+|MQ |2的值23. 已知函数 f（ x） =|x+2|a 的取值范围（ 1）求不等式 f（x）+f（x-2）< x+4的解集；（ 2）若 ?xR，使得 f（x+a）+f（x）f（2a）恒成立，求第 5 页，共 16 页答案与解析1. 答案：

9、 D解析： 【分析】 本题考查集合补集运算，考查运算求解能力 利用补集的定义，判断 A 集合，求解即可【解答】解：已知集合 A=x|x2<2 ，解得：，所以 CRA= x|x- 或 x , 故选 D 2. 答案： Ca， b，则答案解析： 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得 可求本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 【解答】 解：由 ，得 a+bi=（1-i）（ 2-i）=1-3i，则 a=1， b=-3 ab=-3 故选 C3. 答案： B解析： 【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和零点

10、个数求解即可 【解答】解： f（-x）=（ 2-x+2x）ln|-x| =（2x+2-x）ln|x|=f（x）， 函数的定义域为 ， f（ x）是偶函数，排除 D， 由 f（x）=0 得 ln|x|=0，则|x|=1， 即 x=1 或 x=-1 ，即 f（ x）有两个零点，排除 C，当 时，,排除 A ，故选 B4. 答案： D解析： 解：抛物线 C：x2=2py（p>0）的准线 l：y=- 与圆 M：（x-1）2+（y-2）2=16 相切，可得=4，解得 p=4 故选： D 求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可 本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基

11、本知识的考查5. 答案： A解析： 解：，则 S3=8 故选： A 利用已知条件化简，转化求解即可本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想6. 答案： D解析： 解：由题意可知 ， ，且 ，可得 3+2 =4，解得，向量 与 的夹角的余弦值： 故选： D利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量 与 的夹角的余弦值本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力7. 答案： A解析： 【分析】由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：=0.8269，所以=0.8269 ，又本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题 3.14，19得解=0.8269 ，=2.0946

12、 ，所以 3.14，1【解答】 解：由几何概型中的面积型可得：所以 3.141，9 故选： A8. 答案： B解析： 【分析】 本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题利用函数的周期求出 ，对 xR，恒成立，推出函数的最小值，求出 ，然后求解函数的单调区间即可【解答】解：函数 f（ x） =cos（ x+）（ >0）的最小正周期为 ， ，又对任意的 x，都有，所以函数 f（ x）在上取得最小值，则， kZ，即， kZ所以 ，令， kZ，解得， kZ，则函数 y=f（ x）在上单调递减，故 a 的最大值是 故选： B9. 答案： C解析： 【分析】本题考查函数的单调性与

13、奇偶性，利用函数的奇偶性以及函数的单调性，结合对数的大小，求解即 可【解答】解： f （ x） =2|x|+x2为偶函数，且函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增7-0.1（ 0， 1）， log425=log25（2，3），, 即 ,故,所以 ,故 p> m> n故选： C10.答案： C解析： 【分析】由题意画出图形，可知四棱锥 P-ABCD 为正四棱锥，以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直 线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线OP 与 BM 所成角本题考查异面直线所成角的求法，考查利用空间向量求解空间角，是中档题【解答】解：如图

14、，由题意，四棱锥 P-ABCD 为正四棱锥，以 O为坐标原点，分别以 OA ，OB ，OP 所在直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则 O（0， 0，0），P（0，0， ），B（0，0），M（- ，0， ），cos<=>异面直线 OP与 BM 所成角为 60°故选： C11.答案： D解析： 【分析】 本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算 能力，属于中档题由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得 |AF1|=2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得 3c=5a， 4c=5b

15、，即可得到所求方程【解答】解：若（ + ）? =0，即为若（ + ）?（ - + ）=0，可得 2= 2，即有 |AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得 |AF1|=2a+2c，在等腰三角形 AF 1F2中， tanAF2F1=- ，cosAF2F1=- = ， 化为 3c=5a，即 a= c， b= c，可得 a： b=3：4， a2： b2=9： 16 故选： D12.答案： A解析： 解：由数列 an的构造方法可知 a1=1， a3=2， a7=3 ， a15=4， 可得 ，即 ，故 a2019=a996=a485=a230=a103=a40=a9=a2=1 故选： A利用已知

16、条件，推出 ，然后求解 a2019 即可 本题考查数列的综合问题，考查运算求解和推理论证能力13.答案： 0解析： 【分析】 先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线， 再利用一元二次不等式表示平面区域的规律， 确定可 行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的 纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可 求出结果本题考查了线性规划的方法和思想， 一元二次不等式 表示平面区域的规律和区域的画法， 利用可行域数形 结合求目标函数最值的方法 .【解答】解：依题意 x，y 满足约束条件， 画图如下：当 z=0 时，有直线 l1：x+y=0 和直线 l2： x-y=0 ，并分别在上图表示出

17、来， 当直线向 x-y=0 向下平移并过 A 点的时候，目标函数 z=x+y 有最小值， 此时最优解就是 A 点，点 A 的坐标是： A（ 2， -2），所以目标函数 z=x+y 的最小值是 0故答案为 014.答案： 解析： 解：由已知表格中的数据可得， ， ， ，又 ，联立解得： ， y关于 x 的线性回归方程为故答案为： 由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于 与 的方程组，求解即可得到 y 关于 x 的线性回 归方程本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题15.答案： 8解析： 解：如图，圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则正方形的边长为 2， 正方形的对角线即圆柱外接球的

18、直径为 ，半径为 该圆柱的外接球的表面积为 故答案为： 8 由题意画出图形，求出圆柱外接球的直径，得到外接球的半径，则外接球的表面积可求 本题考查旋转体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16.答案：解析： 解：由题可知，函数 f（x）的定义域为 R，f'（x）=ex-2ax，则方程 ex-2ax=0 有根，且方程的 根是 f'（x）的异号零点，在同一坐标系中作出函数y=ex和 y=2ax 的图象，如图所示，当直线 y=2ax和曲线 y=ex相切时，设切点为 P（ x0，y0），则，解得 ，由图可知 故答案为：求出 f'（x）=ex-2ax，则方程

19、 ex-2ax=0 有根，在同一坐标系中作出函数y=ex和 y=2ax 的图象，通过当直线 y=2ax 和曲线 y=ex相切时，设切点为 P（x0，y0），则，求解即可17.答案： 解：本题考查导数与极值问题， 考查化归与转化、 函数与方程的思想以及运算求解能力和推理论证能力1）bsinB+csinC=a（+sin A），由正弦定理可得： b2+c2=a（ +a），b2+c2- a2=，2bc cosA= bc，解得： cosA= ，可得： A=（ 2）sinC=sin（A+B）=，由正弦定理可得：b= ，absinC=SABC=解析：（ 1）由正弦定理化简已知等式可得 b2+c2=a（ +a

20、），可得 b2+c2-a2=，进而可求 cosA= ，从而可得 A 的值（2）利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，利用正弦定理可得 b，根据三角形的面积公式即可 计算得解本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题18. 答案：（1）证明：因为四棱柱 ABCD -A1B1C1D1是直四棱柱，所以 AA1平面 ABCD ，则 AA1CD 又 CDAD ，AA1AD =A，所以 CD平面 AA1D1D，所以 CD AE因为 AA1AD，AA1=AD，所以 AA1D 1D 是正方形，所以 AEED 又 CDED

21、=D，所以 AE平面 ECD （ 2）解：建立如图所示的坐标系，A1D 与 AD1交于点 E，AA1=AD=2AB=4A（0，0，0）， A1（0，0，4），C（2，4，0）， D（0，4，0）所以 E（0，2，2）， =（2，4，-4），可得，即，不妨=-2，1，1），设平面 EAC 的法向量为 =（ x， y，z） 直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值： 解析： （ 1）证明 AA1CDCDAD，推出 CD平面 AA1D1D，得到 CD AE证明 AEED即可证 明 AE平面 ECD （2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A1C与平面 EAC 所成角的正弦

22、值本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用；19. 答案： 解：（ 1）由题可知，方案一中的日收费y与 x 的函数关系式为 y=10x+60，xNy=2）设方案一中的日收费为 X，由条形图可得 X 的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以 E（ X）=190×0.1+200×0.4+210×0.1+220×0.2+230×0.2=210（元）方案二中的日收费为 Y，由条形图可得 Y 的分布列为Y200220240P0.60.20.2E（Y）=200 ×0.6+220 

23、5;0.2+240 ×0.2=212（元） 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一解析： （ 1）依题意，根据题目给出的信息列出函数关系式即可，注意定义域（2）根据频数条形图中的数据列出两种方案对应的分布列，计算出期望，以期望作为判断条件判断 即可本题考查了函数的解析式的求法，离散型随机变量的分布列与数学期望，决策问题等本题属于中 档题20. 答案： （ 1）解：由题意，解得 又 b2=a2-c2=1 ，椭圆方程为 ；（ 2）证明：设直线 l的方程为 y=-， P（ x1， y1）， Q（x2，y2），消去 y，得 2x2-4mx+4（ m2-1）=0则=16m2-32（m2-1）=1

24、6（2-m2） 0，且 x1+x2=2m，故 = 即直线 OP， PQ，OQ 的斜率依次成等比数列解析： （1）由已知得关于 a， c的方程组，求解可得 a，c 的值，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程 可求；（2）设直线 l 的方程为 y=-，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率乘积证得 即可 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查等比数列的判定，是中档题21. 答案： 解：（ 1）令 n（ x）=kf（x）=klnx，设切点为（ x0， y0），则， x0-1= klnx0，则令 ， ，则函数 y=F（x）在（ 0，1）上单

25、调递减，在（ 1， +）上单 调递增且 F（ 1）=1，所以 k=1（ 2）令，则 当 a0时， h'（x）<0，所以函数 h（x）在 1 ， e上单调递减，所以 h（ x） h（ 1）=0，所以 a0满足题意当 a> 0 时，令 h'（x）=0，得 x=4a2，所以当 x（ 0，4a2）时， h'（ x）> 0；当 x（4a2， +）时， h'（ x）< 0所以函数 h（x）在（ 0，4a2）上单调递增，在（ 4a2， +）上单调递减（i）当 4a2e，即时， h（x）在 1，e上单调递增，所以 ，所以 ，此时无解（ ）当 1<4

26、a2< e，即时，函数 h（x）在（ 1，4a2）上单调递增，在（ 4a2，e）上单调递减所以 h（ x）h（ 4a2）=aln（4a2）-2a+1=2aln（2a）-2a+10设，则 m'（ x） =2ln （ 2x）> 0，所以 m（ x）在上单调递增， ，不满足题意，（）当 0< 4a21，即时， h（ x）在1 ，e上单调递减， 所以 h（ x）h（ 1）=0，所以满足题意综上所述：a 的取值范围为解析： 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查转 化思想以及计算能力（ 1）令 n（ x）=kf（x）=klnx，设切点为（ x0，y0），则，x0-1=klnx0，利用函数的单调性结合 F（1） =1，求出 k（ 2）令，求出导函数，通过当 a0时，判断函数的单调性，当 a> 0时，判断函数的单调性（ i）当 4a2e，（ ）当 1<4a2<e，（）当 0<4a21，分析 函数的最值推出结果即可22. 答案： 解：（ 1）由 co（s +）= 得直线 l