初三数学第讲图形旋转的应用教师版

1、第七讲 旋转图形的应用 三大模型之共顶点等腰三角形旋转模型(手拉手”模型)证明全等的基本思想“” 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 图形旋转的全等 图形旋转在综合题中的应用 旋转类几何作图与计算 【例1】如图，用等腰直角三角板画aob=45°，并将三角板沿ob方向平移到如图所示的虚线处后绕点m按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线oa的夹角a为_°解析：根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算解答：根据题意，得aob=45

2、6;，m处三角板的45°角是aob的对应角，根据三角形的外角的性质，可得三角板的斜边与射线oa的夹角为22°故选a答案：a【例2】如图，把边长为1的正方形abcd绕顶点a逆时针旋转30°到正方形abcd，则它们的公共部分的面积等于_解析：作bfad，垂足为f，webf，垂足为e，根据绕顶点a逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积如图，作bfad，垂足为f，webf，垂足为e，四边形wefd是矩形，bab=30°，baf=60°，fba=30°，wbe=60°，bf=absin60°=，af=abcos60

3、°=，we=df=ad-af=，eb=wecot60°=，ef=bf-be=，sbfa=，sbew=，swefd=，公共部分的面积=sbfa+sbew+swefd=；答案：【例3】如图所示：中，是内的一点，且，求的度数 解析：以c为旋转中心,将cpa旋转90°,ac与bc边重合,连接dp由题意可知：dccp2,在rtcpd中,由勾股定理可得：dp22,pcd45°由题可知：在bpd中,bp1,dbap3,dp22,db²dp²bp²,bpd是以db为斜边的直角三角形,即bpd90°bpcbpdpcd135°

4、;答案：连接bd cdcp，且cdcp2， cpd为等腰直角三角形，即cpd45° acp+bcpbcp+bcd90°， acpbcd cacb， capcbd(sas)， dbpa3在rtcpd中，又 pb1，则 ， ， dpb为直角三角形，且dpb90°， cpbcpd+dpb45°+90°135°【例4】如图，以等腰直角三角形abc的斜边ab为边作等边abd，连结dc，以dc为边作等边dce，b，e在c，d的同侧若则be=_解析：根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答abc等腰直角三角形ac=bc，a

5、bd是等边三角形bd=adadcbdcbcd=（360°-90°）÷2=135°又cbd=60°-45°=15°cdb=180°-135°-15°=30°，bde=60°-30°=30°cd=ed，cdb=bde，bd=bdbcdbedbe=cb=×sin45°=1be=1答案：be=1【例5】以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点探究：与的位置关系及数量关系如图 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关

6、系是 ；将图中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 解析：（1）ed=2am，amed延长am到g，使mg=am，连bg，则abgc是平行四边形，再结合已知条件可以证明daeabg，根据全等三角形的性质可以得到de=2am，bag=eda，再延长mg交de于h，因为bag+dah=90°，所以hda+dah=90°这样就证明了amed；（2）延长ca至f，使fa=ac，fa交de于点p，并连接bf，证出fabead，利用相似三角形的性质得到bf=de，f=aen，从而证出fpd+f=ape+aen=90°，得到fb

7、de，根据amfb，可得到.答案：（1）ed=2am，amed；证明：延长am到g，使mg=am，连bg，则abgc是平行四边形，再延长ma交de于h ac=bg，abg+bac=180° 又dae+bac=180°， abg=dae 再证：daeabg de=2am，bag=eda 延长ma交de于h， bag+dah=90°， hda+dah=90° amed （2）结论仍然成立 证明：如图，延长ca至f，使fa=ac，fa交de于点p，并连

8、接bf daba，eaaf，baf=90°+daf=ead 在fab和ead中， faae，bafead， bada，   fabead（sas） bf=de，f=aen， fpd+f=ape+aen=90° fbde 又ca=af，cm=mb amfb，且am=1/2 fb， amde，am=1/2 de 【例6】如图，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点、分别在和上，连接、试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论将正方形绕点逆时针方向旋

9、转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360°），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由若，在的旋转过程中，当为最大值时，求的值解析：（1）在rtbdg与rteda；根据边角边定理易得rtbdgrteda；故bg=ae；（2）连接ad，根据直角三角形与正方形的性质可得rtbdgrteda；进而可得bg=ae；（3）根据（2）的结论，求bg的最大值，分析可得此时f的位置，由勾股定理可得答案答案：（1）bgae易得bd=da,gd=da,gdb=eda；故可得rtbdgrtade；故bg=ae；（2）成立 如图，连

10、接adabc是等腰三直角角形，bac90°，点d是bc的中点adb90°，且bdadbdgadbadg90°adgade，dgdebdgade，bgae7分（3）由（2）知，bgae，故当bg最大时，ae也最大正方形defg绕点d逆时针方向旋转270°时，bg最大，如图若bcde2，则ad1，ef2在rtaef中，af 2ae 2ef 2(adde)2ef 2(12)22 213afa档1、 在平面直角坐标系中，已知点p0的坐标为(1，0)，将点p0绕着原点o按逆时针方向旋转60°得到p1，延长

11、op1到点p2，使op2=2op1，再将点p2绕着原点o按逆时针方向旋转60°，得点p3，则p3的坐标是_解析：已知将点p0绕着原点o按逆时针方向旋转60°得点p1，则op1=1，p1点的坐标是（则p2的坐标是；再将点p2绕着原点o按逆时针方向旋转60°得点p3，则点p3与p2关于y轴对称，因而点p3的坐标就很容易求出解：点p0绕着原点o按逆时针方向旋转60°得点p1，p1点的坐标是（，p2的坐标是，又点p3与p2关于y轴对称，点p3的坐标是（-1，）答案：（-1，）2、如图，已知梯形abcd中，adbc，b=90°，ad=3，bc=5，ab=

12、1，把线段cd绕点d逆时针旋转90°到de位置，连结ae，则ae的长为_ 解析：根据题意，作efad于f，dgbc于g，证明cdg全等于edf，即可求出ae的值解：如图，作efad于f，dgbc于g，根据旋转的性质可知，de=dc，dedc，cdg=edf，cdgedf，df=dg=1，ef=gc=2，ae=2答案：3、如图，已知d，e分别是正三角形的边bc和ca上的点，且ae=cd，ad与be交于p，则bpd_°解析：根据abc是等边三角形，可得ac=bc，abd=c=60°，结合ae=cd，利用等式性质易得bd=ce，利用sas易证abdbce，从而有adb=

13、bec，再利用三角形外角性质可证c=ape，而ape和bpd是对顶角，故可得bpd=c答案：604、已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（或它们的延长线）于点m、n （1）如图1，当绕点旋转到时，有当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明 解析：（1）可通过旋转图形构建全等三角形进行求证.把绕点顺时针旋转，得到，那么，三点共线，然后证得和全等得出，由于，因此可 证得；（2）如图，参照（1）中的求法，证得，可得，进而可得到.答案：（1

14、）答：图1的结论仍然成立，即 证明：如图2，在mb的延长线上截取be=dn，连结ae 易证 （sas） ae=an；eab=nad又am为公共边， 即 （2）猜想：线段和之间的等量关系为： 证明：如图3，在dn延长线上截取de=mb，连结a e 易证 （sas） am=ae；mab=ead 易证 （sas） ，5、探究：（1）如图1，在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，且eaf45°，试判断be、df与ef三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形abcd中，abad，bd180°，e、f分别是边bc、cd上

15、的点，且eaf=bad”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将aef绕点a逆时针旋转，当点分别e、f运动到bc、cd延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明. 解析：可通过旋转图形构建全等三角形进行求证.把绕点顺时针旋转得到，那么，三点共线，然后证得和全等得出，由于，因此可证得答案：（1）ef= bedf（2）结论ef= bedf仍然成立（如图2）证明:将adf绕点a顺时针旋转，使ad与ab重合，得到， adf，（图2）1=2， a=af，=df. =d又eaf=bad，即4

16、=2+3.4=1+3.又abcd180°，aab e=180°，即：、b 、e共线.在aef与aef1中， af=a， 4=1+3， ae=aeaefae中，ef=e，又e=beb,即：ef= bedf. （3）发生变化. ef、be、df之间的关系是ef= bedf. （图3）证明：将adf绕点a顺时针旋转，使ad与ab重合，点f落在bc上点处， 得到ab，如图3所示. adfab， b a=daf ， a=af，b=df. 又eaf=bad，且b a=daf ae=fa e.在ae与fa e中 af=a， ae=fa e, ae=ae,aefa eef=e，又be= b

17、e，e=beb.即ef= bedfb档6、在等边中，为边上一点，则以、为边组成的新三角形的最大内角为，则( )a bc d解析：在ab上取点e,使bp=be,连接pe、ce则bpe为等边三角形,所以bp=pe又abp全等于cbe所以ce=ap则cbe三边与ap、bp、cp等线段而cbe的最大内角为120度答案：c7、为等边内一点，求证：以、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.解析：将apc绕点a顺时针旋转60°得aqb，可以证明apq是等边三角形则qp=ap，则qbp就是以ap，bp，cp三边为边的三角形，然后分别求出qbp的三个内角的度数即可答案：解：将ap

18、c绕点a顺时针旋转60°得aqb，则aqbapcbq=cp，aq=ap，1+3=60°，apq是等边三角形，qp=ap，qbp就是以ap，bp，cp三边为边的三角形，apb=113°，6=apb-5=53°，aqb=apc=123°，7=aqb-4=63°，qbp=180°-6-7=64°，以ap，bp，cp为边的三角形的三内角的度数分别为64°，63°，53°8、是等边内一点，又、的大小之比是，则以、为边的三角形的三个内角的大小之比是( )(从小到大)(a) (b)(c) (d)不能

19、确定解析：将apb绕a点逆时针旋转60°得apc，显然有apcapb，连pp，则ap=ap，pap=60°，得到app是等边三角形，pp=ap，所以pcp的三边长分别为pa，pb，pc；再由apb+bpc+cpa=360°，apb：bpc：cpa=5：6：7，得到apb=100°，bpc=120°，cpa=140°，这样可分别求出ppc=apc-app=apb-app=100°-60°=40°，ppc=apc-app=140°-60°=80°，pcp=180°-（4

20、0°+80°）=60°，即可得到答案答案：a9、两个全等的直角三角形abc和dbe按图方式摆放，其中acbdeb90°，ad 30°，点e落在ab上，de所在直线交ac所在直线于点f（1）求证：afef=de；（2）若将图中的绕点b按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出中的结论是否仍然成立；（3）若将图中的dbe绕点b按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图你认为中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出af、ef与de之间的关系，并说明理由解析：（1）如图,连接bf,由abcdbe,可得bc

21、=be,根据直角三角形的“hl”定理,易证bcfbef,即可证得；（2）同（1）得cf=ef,由abcdbe,可得ac=de,ac=af+cf=af+ef,即af+ef=de；（3）同（1）得cf=ef,由abcdbe,可得ac=de,af=ac+fc=de+ef答案：连结bf（如图）. abcdbe， bc=be，ac=de acb=deb=90°， bacb=bef=90°. bf=bf， rtbfcrtbfe cf=ef 又 af+cf=ac， af+ef =de 画出正确图形如图 成立不成立此时af、ef与de的关系为af ef =de.理由：连接bf（如图）. a

22、bcdbe， bc=be，ac=de， acb=e=90°， acb=e=90°又 bf=bf， rtbfcrtbfe cf=ef 又 afcf =ac， af ef = de 中的结论不成立 正确的结论是afef = de . 10、 如图，在四边形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，直线mn经过点o，设锐角doc=，将doc以直线mn为对称轴翻折得到doc，直线a d、b c相交于点p（1）当四边形abcd是矩形时，如图1，请猜想a d、b c的数量关系以及apb与的大小关系；（2）当四边形abcd是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形abc

23、d是等腰梯形时，如图3，apb与有怎样的等量关系？请证明解析：（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明bodaoc，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；（3）易证bodcoa，则ac=bd，obd=ocaoac，从而得出amb答案：（1） a d=b c，apb= （2） a d=b c 仍然成立，apb=不一定成立 （3）apb=180°- 证明：如图3，设oc，pd交于点e 将doc以直线mn为对称轴翻折得到doc， docdoc， od=od， oc=oc，doc=doc 四边形abcd是等腰梯形，

24、ac=bd，ab=cd, abc= dcb bc=cb， abcdcb dbc=acb ob=oc，oa=od aob= cod=co d， boc = do a od=oa，oc=ob， docaob， odc= oab od=oa，oc=ob，boc = do a， oda = oad=obc=oc b cep= deo， cpe= cod=cod=cpe+apb=180°，apb=180°- c档11、如图所示：中，是内的一点，且，求的度数解析：将acp绕c点旋转90°，根据旋转的性质可得出qpc=45°，根据勾股定理可证出pbq=90°

25、，从而可得出答案 答案：解：将acp绕c点旋转90°，然后连接pq，由旋转的性质可知：cq=cp=4，bq=pa=6，qbc=pac，rtacbrtpcq，又pcb+pca=90°，pcq=qcb+bcp=pcb+pca=90°，pq2=cq2+cp2=32，且qpc=45°，在bpq中，pb2+pq2=4+32=36=bq2qpb=90°，bpc=qpb+qpc=135°故答案为：135°12、如图所示，是等边内部一点，求的边长.解析：首先将bcp绕点c顺时针旋转60°得acq，连接pq再过a作cp的延长线的垂线

26、ad，垂足为d，易证得pcq是等边三角形，apq是直角三角形，则可求得apc的度数，然后可求得apd的度数，在rtapd中，即可求得ad与cd的长，继而求得ac2答案：解：将bcp绕点c顺时针旋转60°得acq，连接pq再过a作cp的延长线的垂线ad，垂足为d，aq=pb=5，cq=pc，pcq=60°，pcq是等边三角形，pq=pc=3，qpc=60°，在paq中，pa=4，aq=5，pq=3，aq2=pa2+pq2，apq=90°，apc=apq+qpc=150°，apd=30°，在rtapd中，ad=pa=2，pd=apcos3

27、0°=2，则cd=pc+pd=3+2，在rtacd中，ac2=ad2+cd2=4+（3+2）2=25+1213、如图所示，在正方形中，点、分别在、上，且，求的面积解析：将adf绕a点顺时针方向旋转90°到abg的位置，得到abg，求证：aefaeg，要求aef的面积求aeg即可，且ab为底边上的高，eg为底边答案：解：将adf绕a点顺时针方向旋转90°到abg的位置，ag=af，gab=fad=15°，gae=15°+30°=45°，eaf=90°-（30°+15°）=45°，gae=

28、fae，又ae=ae，aefaeg，ef=eg，aef=aeg=60°，在rtabe中，ab=，bae=30°，aeb=60°，be=abtan30°=1，在rtefc中，fec=180°-（60°+60°）=60°，ec=bc-be=-1，ef=2（-1）eg=2（-1），saeg=egab=3-，saef=saeg=3-14、将等腰rtabc和等腰rtade按图1方式放置，a=90°， ad边与ab边重合， ab2ad=4将ade绕点a逆时针方向旋转一个角度（0°180°），bd的

29、延长线交直线ce于点p.（1）如图2，bd与ce的数量关系是 , 位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当adbd时，求出cp的长； （3）在此旋转过程中，求点p运动的路线长.备用图图2图1解析：（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可.（2）首先得出abdace（sas），进而求出四边形adpe为正方形，即可得出cp的长.（3）由（2）知，当=60°时，pba最大，且pba=30°，此时aop=60°，得出点p运动的路线是以o为圆心，oa长为半径的弧长，进而利用弧长公式求出即可答案：（1），（2）如图3所示，和都是等腰三角形，四边形为正方形，图3

30、，图4 （3）如图4，取中点，连结、，在此旋转过程中（），由（2）知，当时，最大，且，此时，点运动的路线是以为圆心，长为半径的弧与弧的和点运动的路线长为：15、如图1，正方形与正方形aefg的边ab、ae（abae）在一条直线上，正方形aefg以点a为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点a重合，其它顶点均不重合，连接be、dg.（1）当正方形aefg旋转至如图2所示的位置时，求证：be=dg； （2）当点c在直线上时，连接fc，直接写出fcd 的度数；（3）如图3，如果=45°，ab =2，ae=，求点g到be的距离. 解析：（1）根据正方形的性质可得ab

31、=ad，ae=ag，bad=eag=90°，再求出bae=dag，然后利用“边角边”证明abe和adg全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点c在直线be上时，可知点e与c重合或g点c与重合，据此求解即可.（3）根据 和 求解即可.答案：（1）证明：如图2，四边形abcd是正方形，ab=ad，bae+ead=90°.四边形aefg是正方形，ae=ag，ead+dag=90°.bae=dag. . be=dg. （2）解：45°或135°. （3）解：如图3，连接gb、ge. 由已知=45°，可知bae=4

32、5°. 又ge为正方形aefg的对角线， aeg=45°. abge. ,ge =8， . 过点b作bhae于点h.ab=2，. 设点g到be的距离为h. 即点g到be的距离为. 1、以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )a4个b3个c2个d1个解析：根据定义判断即可答案：a2、如图，五边形abcde中，abae，baebcd120°，abcaed180°，连结ad。求证：ad平分cde解析：连接ac，将abc绕a点旋转120°到aef，由ab=ae，bae=120°，得到ab与ae重合，并且ac=af，又由abc+

33、aed=180°，得到aef+aed=180°，即d，e，f在一条直线上，而bc+de=cd，得cd=df，则易证acdafd，于是adc=adf答案：证明：如图，连接ac，将abc绕a点旋转120°到aef，ab=ae，bae=120°，ab与ae重合，并且ac=af，又abc+aed=180°，而abc=aef，aef+aed=180°，d，e，f在一条直线上，而bc=ef，bc+de=cd，cd=df，又ac=af，acdafd，adc=adf，即ad平分cde3、如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于。已知、的

34、长分别为、，求三角形的面积 解析：连接de，将三角形aed旋转，使ad与ab边重合，则四边形afbe为直角梯形，根据图形的面积关系求解即可答案：连接de，将三角形aed旋转，使ad与ab边重合，则四边形afbe为直角梯形根据勾股定理得：，则三角形abd的面积=因为，又因为，所以.因为与等底同高面积相等，所以.所以 三角形obe的面积为2.54、如图1，若四边形abcd、gfed都是正方形，显然图中有ag=ce，agce（1）当正方形gfed绕d旋转到如图2的位置时，ag=ce是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形gfed绕d旋转到b，d，g在一条直线 （如图3）上时

35、，连结ce，设ce分别交ag、ad于p、h 求证：agce； 如果ad=4，dg=，求ce的长 abcdefg图2abcdefg图1图3解析：（1）利用正方形性质以及全等三角形的判定的证出agdced（sas）即可得出答案；（2）根据（1）得出1=2，再利用3=4，4+2=90°，可得出3+1=90°，进而得出答案；利用等腰直角三角形的性质可得出md=mg=，进而利用勾股定理求出ce的长答案：证明：（1）成立 四边形、四边形是正方形， . 90°. （2）由（1）可知， 12 . 34，4290°， 3190° . 过作于m . bd是正方形的

36、对角线， . dgm45°. dg=， . 在rtamg中 ，由勾股定理，得 ce=ag=5、如图1，abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，d、f分别在ab、ac边 上，此时bd=cf，bdcf成立 （1）当正方形adef绕点a逆时针旋转（0°90°）时，如图2，bd=cf成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （2）当正方形adef绕点a逆时针旋转45°时，如图3，延长bd交cf于点g 求证：bdcf； 当ab=4，ad=时，求线段bg的长解析：（1）abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，易证得badcaf，根据全等三角形的

37、对应边相等，即可证得bd=cf；（2）由badcaf，可得abm=gcm，又由对顶角相等，易证得bmacmg，根据相似三角形的对应角相等，可得bgc=bac=90°，即可证得bdcf；首先过点f作fnac于点n，利用勾股定理即可求得ae，bc的长，继而求得an，cn的长，又由等角的三角函数值相等，可求得am=ab=，然后利用bmacmg，求得cg的长，再由勾股定理即可求得线段bg的长答案：（1）bd=cf成立 理由：abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形， ab=ac，ad=af，bac=daf=90°，bad=bacdac，caf=dafdac，bad=caf，在

38、bad和caf中，badcaf（sas）bd=cf（2）证明：设bg交ac于点m badcaf（已证）， abm=gcm bma=cmg， bmacmg bgc=bac=90° bdcf过点f作fnac于点n 在正方形adef中，ad=de=， ae=2， an=fn=ae=1 在等腰直角abc 中，ab=4，cn=acan=3，bc=4在rtfcn中，tanfcn=在rtabm中，tanabm=tanfcn=am=ab=cm=acam=4=，bm=bmacmg，cg=在rtbgc中，bg= 1（1）如图1，以ac为斜边的rtabc和矩形hefg摆放在直线l上（点b、c、e、f在直线l上），已知bc=ef=1，ab=he=2. abc沿着直线l向右平移，设ce=x，abc与矩形hefg重叠部分的面积为y（y0）. 当x=时，求出y的值；（2）在（1）的条件下，如图2，将rtabc绕ac的中点旋转180°后与rtabc形成一个新的矩形abcd，当点c在点e的左侧，且x =2时，将矩形abcd绕着点c顺时针旋转角，将矩形hefg绕着点e逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点d、h重合时，连接ag，求点d到ag的距离；（3）在（2）的条件下，如图3，当=45°时，设ad与gh交于点m，cd与he交于点n，求