高三数学一轮复习浙江版练习4.3平面向量的数量积及平面向量的应用知能训练Word版含答案

1、§4.3平面向量的数量积及平面向量的应用组基础题组1.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a|b|”是“ab”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件2.(2014课标,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()a.1b.2c.3d.53.(2015杭州一模文,4,5分)已知向量e1,e2的模分别为1,2,它们的夹角为60°,则向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为()a.60°b.120°c.30°d.150°4.(20

2、14大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|=()a.2b.c.1d.5.(2013浙江,7,5分)设abc,p0是边ab上一定点,满足p0b=ab,且对于边ab上任一点p,恒有··.则()a.abc=90°b.bac=90°c.ab=acd.ac=bc6.已知o是abc所在平面内的定点,动点p满足=+,(0,+),则动点p的轨迹一定通过abc的()a.内心b.外心c.垂心d.重心7.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,则·=. 8.(2015杭州学军中学仿真考文,12,6分)

3、已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,且|2a-b|=,则|2a+b|=,向量a在向量b方向上的投影为. 9.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos=. 10.若abc满足(2-)·(-2)=0,则=. 11.(2016超级中学原创预测卷六,5,5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则a,b的夹角为,|a+b|=. 12.(2016山东淄博12月摸底,14,5分)如图,ab是圆o的直径,p是圆弧

4、ab上的点,m、n是ab上的两个三等分点,且ab=6,则·=. 13.(2016领航高考冲刺卷一文,15,4分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|2,则b在a上的投影的取值范围是. 14.(2016超级中学原创预测卷三,12,6分)如图,在正三角形abc中,ab=2,p是ab边上一点,则·的最大值是,最小值是. 15.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,o为原点,a(-1,0),b(0,),c(3,0),动点d满足|=1,则|+|的最大值是. 16.(2015台州一模,14,4分)若abc的外接圆是半径

5、为1的圆o,且aob=120°,则·的取值范围为. 17.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|和|a-b|.b组提升题组1.(2015山东,4,5分)已知菱形abcd的边长为a,abc=60°,则·=()a.-a2b.-a2c.a2d.a22.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()a.|a·b|a|b|b.|a-b|a|-|b|c.(a+b)2=|a+b|2d.(a+b)·(a-b)=a2-b23.(2015浙江宁波十校联

6、考,4)设向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=0,则a与b的夹角是()a.30°b.60°c.90°d.120°4.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,5)已知abc为等边三角形,ab=2,设点p,q满足=,=(1-),r,若·=-,则=()a.b.c.d.5.(2016超级中学原创预测卷五,7,5分)在abc中,若(4-),则sina的最大值是()a.b.c.d.6.(2016超级中学原创预测卷六,9,6分)如图,在边长为a的菱形abcd中,bad=,ac与bd相交于点o,点e在线段bd上,且be=ed,若&

7、#183;=-2,则实数a的值为()a.1b.2c.3d.47.(2014浙江冲刺卷六,10)已知abc为斜三角形,且o是abc所在平面上的一个定点,动点p满足=+,0,+),则p的轨迹一定通过abc的()a.外心b.内心c.垂心d.重心8.(2015浙江模拟评估测试卷二,10,5分)对于两个不共线的单位向量a,b,有下列四个命题:(a+b)(a-b);2<|a+b|+|a-b|2;a与b在a+b方向上的投影相等;记a在a+b方向上的投影为m,a在a-b方向上的投影为n,则m2+n2=1.其中正确的命题个数为()a.1个b.2个c.3个d.4个9.(2015嘉兴测试二,11,6分)若向量

8、a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)a.则向量a与b的夹角等于;|a+b|=. 10.(2016余姚中学期中,13,4分)已知与的夹角为60°,|=2,|=2,=+,若+=2,则|的最小值为. 11.(2016领航高考冲刺卷二,14,4分)如图,已知正三角形abc内接于半径为2的圆o,e为线段bc上一动点,延长ae交圆o于点f,则·的取值范围是. 12.(2015浙江冲刺卷五,13)设非零向量a,b的夹角为,记f(a,b)=acos-bsin,若e 1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)的模为,向量f(e1

9、,e2)与f(e2,-e1)的夹角为. 13.(2013浙江, 17,4分)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yr.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于. 14.(2015金丽衢一联,16,4分)已知abc是边长为2的正三角形,ef为abc的外接圆o的一条直径,m为abc的边上的动点,则·的最大值为. 15.(2015浙江,15,6分)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,yr,|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0

10、,y0r),则x0=,y0=,|b|=. 组基础题组1.a设a与b的夹角为.因为a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|,所以cos=1,即a与b的夹角为0°,故ab;而当ab时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cos=±|a|·|b|,所以“a·b=|a|·|b|”是“ab”的充分而不必要条件,故选a.2.a由|a+b|=得a2+b2+2a·b=10,由|a-b|=得a2+b2-2a·b=6,-得4a·b=

11、4,a·b=1,故选a.3.b设向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为.由已知可得(e1-e2)·(-4e1+e2)=-4|e1|2-|e2|2+5e1·e2=-3,又|e1-e2|2=|e1|2+|e2|2-2e1·e2=3,|-4e1+e2|2=16|e1|2+|e2|2-8e1·e2=12,故有cos=-,所以=120°,故选b.4.b由题意得-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,|b|=.故选b.5.d如图,在abc中取bc的中点d,ab的中点e,连结ce,dp0.故·=(-)·(

12、-)=·-·(+)+=·+,同理,·=·+.由··得,故dp0ab.由作图知cedp0,所以ceab,又e为ab的中点,所以ac=bc.选d.6.b设bc边上的中点为d,则+=2,所以=+,即=+,因为·=+·=+=0,所以,所以点p在bc的垂直平分线上,所以点p的轨迹一定经过abc的外心,故选b.7.答案9解析,·=0,即·(-)=0,·=9.8.答案;1解析|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×22-4a·b+32=13,解得a

13、3;b=3.因为|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×3+32=37,所以|2a+b|=.向量a在向量b方向上的投影为=1.9.答案解析a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,|a|=3.|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,|b|=2,cos=.10.答案3解析由(2-)·(-2)=0得2+2-5·=0,即+=

14、.因为=-,所以=9,所以=3.11.答案;解析根据题意得|a|cos<a,b>=|b|cos<a,b>,因为|a|=2,|b|=1,所以cos<a,b>=0,所以ab,则a,b的夹角为,则|a+b|=.12.答案8解析·=(+)·(+)=-=8.13.答案解析由|a-2b|2得a2+4b2-4a·b4,所以4+4-4a·b4,即a·b1.又b在a上的投影为=,=|b|cos<a,b>1,所以b在a上的投影的取值范围是.14.答案2;-解析如图所示,设ab的中点为o,连结co.当p在线段ao上时,

15、·=|=|(|+1),容易得到当|=1时,(·)max=2,当点p与点o重合时,(·)min=0.当点p在线段ob上时,·=-|=-|(1-|),而|(1-|)=|-|2=-+,当p为线段ob的中点时,(·)min=-,当点p与点o或b重合时,(·)max=0.综上,·的最大值是2,最小值是-.15.答案+1解析解法一:设d(x,y),则由|=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cos,y=sin,r.而+=(x-1,y+),则|+|=,其中sin=,cos=.显然当sin(+)=1时,|+|有最大值=+1.解法二

16、:+=+,设a=+=(2,),则|a|=,从而+=a+,则|+|=|a+|a|+|=+1,当a与同向时,|+|有最大值+1.16.答案解析因为·=|·|cosaob=1×1×=-,所以|+|=1.·=(-)·(-)=-·-+·(+)=-1+|·|+|·cos=-+cos,为与+的夹角.因为当c与a(或b)重合时,=,所以由-1cos1且cos,得-+cos<0或0<-+cos,则·的取值范围为.17.解析(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a

17、83;b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,cos=-.又0,=.(2)|a+b|=.同理,|a-b|=.b组提升题组1.d·=(+)·=·+=a2+a2=a2.2.b|a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|a|·|b|,故a正确;由向量的运算法则知c,d也正确;当b=-a0时,|a-b|>|a|-|b|,b错误.故选b.3.d设a与b的夹角是,|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=0,a·a+a·b=0,即|a|2+|a|b|cos=

18、0,也即12+1×2×cos=0,cos=-,故=120°.故选d.4.a|=|=2,<,>=60°,·=|·|cos60°=2.=-=(1-)-,=-=-,且·=-,(1-)-·(-)=-,即|2+(2-1)·+(1-)|2=,4+2(2-1)+4(1-)=,解得=.5.c设角a,b,c的对边分别为a,b,c,由题意得(4-)·(-)=0,4+-5·=0,4c2+b2-5bccosa=0,cosa=(当且仅当b=2c时取等号),又a(0,),sina=,故sin

19、a的最大值为.6.b因为菱形abcd的边长为a,且bad=,所以bd=a,abd=.因为be=ed,所以=+,所以·=·=·+=a·acos+(a)2=-a2=-2,得a=2.7.c依题意有=,则·=+=×-+.而在abc中,由正弦定理得|×sinb=|sinc,则·=0,故选c.8.d解法一:设=a,=b,=a+b,则四边形abcd是边长为1的菱形,设其对角线ac,bd交于点o.由acbd,得(a+b)(a-b),故正确.由|+|>|=1,得+>1,即|a+b|+|a-b|>2.又=,|a+b|

20、+|a-b|2,故正确.由菱形abcd可知a与b在a+b方向上的投影都为|,即正确.由菱形abcd可知m=|,n=|,由|2+|2=|2=1,得m2+n2=1.故正确.故选d.解法二:|a|=|b|=1,(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故正确.设a与b的夹角为,因为a与b是不共线向量,所以(0,).从而有|a+b|=2cos,|a-b|=2sin,则|a+b|+|a-b|=2cos+2sin=2sin,而0<<,则<+<,从而有<sin1,故2<|a+b|+|a-b|2,故正确.a·(a+b)=a2+a·b=1+a

21、83;b,b·(a+b)=a·b+b2=a·b+1,a·(a+b)=b·(a+b).而a在a+b方向上的投影为,b在a+b方向上的投影为,由上知=,故正确.m2=,n2=,则m2+n2=1,故正确.故选d.9.答案;解析因为(a-b)a,所以(a-b)·a=a2-a·b=0,所以a·b=2,所以cos<a,b>=,所以<a,b>=.因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=2+2×2+4=10,所以|a+b|=.10.答案2解析=(+)2=2+2·+2=42+4+122,由+=2,得=2-,所以=122-8+16=12+12,最小值为12,所以|的最小值为2.11.答案0,6解析正三角形abc内接于半径为2的圆o,abc的边长为2.过点c作cdab于点d,abc为正三角形,d为ab的中点.·=-3,又=(+)23,9,·0,6.12.答案;解析e1·e2=,且e1,e2均为单位向量,向量e1与e2的夹角为30°,f(e1,e2)=e1cos30°-e2sin30°=e1-e2,|f(e1,