胡勇老师力学04惯性力和动量

1、质点质点P动力学：惯性力 (Inertial Force)非惯性系：加速平动参考系非惯性系：加速平动参考系xyzoS系系FS系系: 加速度为加速度为aamF POOOOPrrr OPrOOrPOrzxyoS系系惯性系惯性系220ddtraOO 22ddtraPO aaa 00FmamaS系系：加速度为：加速度为a :00 aamF S是惯性系：相对于惯性系静止或是惯性系：相对于惯性系静止或作匀速运动作匀速运动:00 aS是非惯性系是非惯性系：牛顿第二定律需要一个：牛顿第二定律需要一个“配配平项平项”xyzOxyzOS系系S系系质点质点PFOPrOOrPOr惯性系惯性系amamF 00amfi

2、amfFFi 惯性力惯性力非惯性系非惯性系: :加入惯性力加入惯性力配平配平牛顿第二定律牛顿第二定律0amfi 惯性力惯性力1.为了在非惯性系（为了在非惯性系（S）中）中形式上形式上应用牛顿第二应用牛顿第二定律而必须引入的定律而必须引入的假想的力假想的力.2.是是物体的惯性物体的惯性在非惯性系中的表现在非惯性系中的表现.3.惯性力不满足牛顿第三定律，不存在反作用力。惯性力不满足牛顿第三定律，不存在反作用力。4.例子：坐在加速运动的车上，我们会感觉到仿例子：坐在加速运动的车上，我们会感觉到仿佛有一股力把我们按在椅背上佛有一股力把我们按在椅背上amfFFi 真实力真实力假想力假想力非惯性系非惯性系

3、: :配平牛顿配平牛顿第二定律第二定律非惯性系：匀速转动参考系非惯性系：匀速转动参考系地面观察者（惯性系地面观察者（惯性系S）：绝对量）：绝对量22rrvFmamemrer mrf摩擦力摩擦力物体相对圆盘物体相对圆盘（S）静止情况静止情况圆盘观察者（非惯性系圆盘观察者（非惯性系S）：相对量）：相对量0 aiFFfma 为了在为了在S系系形式上形式上有：有：引入惯性力：引入惯性力：2ifFmr 惯性离心力惯性离心力（假想力）（假想力）注意负号！注意负号！训练宇航员：用匀速圆周运动的离心力模拟重训练宇航员：用匀速圆周运动的离心力模拟重力加速度力加速度假设物体假设物体相对圆盘（相对圆盘（S）匀速运动

4、又会如何？匀速运动又会如何？ orrrd xyrxeye在地面参考系在地面参考系S (惯性系惯性系)会看到什么？会看到什么？t dd 注意：这里的注意：这里的x,y方向的单位矢方向的单位矢量，都是量，都是相对于圆盘静止的单相对于圆盘静止的单位矢量，位矢量，相对于地面来说相对于地面来说当然当然是运动的。是运动的。()xyddvrxeyedtdt()()xyxyddddx ey exeyedtdtdtdt圆盘圆盘（S）系）系 orrrd t dd ()xyddvrxeyedtdt()()()xyyxddx ey exeyedtdt圆盘以匀速转动的时候圆盘以匀速转动的时候,xyyxddeeeedtd

5、t 2222xydd xd yaveedtdtdt()yxddxeyedtdt2()xyxeye(cos,sin)( sin,cos) xyettett()yxddxeyedtdt orrrd t dd 123davaaadt2 ()yxddxeyedtdt2()xyxeye第一项：速率的改变，为零第一项：速率的改变，为零第三项：向心力第三项：向心力第二项：科里奥利项第二项：科里奥利项2222xyd xd yeedtdt2r orrrd t dd 按照旋转的右手螺旋定则按照旋转的右手螺旋定则，从，从x轴轴“抓向抓向”y轴，取向轴，取向纸面外的纸面外的方向为方向为z方向，并定义其为角速度方向，并

6、定义其为角速度w的正方向的正方向22 ()2 2()=22 yxzxzyxyddaxeyedtdtddx eey eedtdtddxeyevvdtdt,zxyxyzyzxeeeeeeeee2 ()yxddxeyedtdt ze在地面参考系在地面参考系S (惯性系惯性系)amF vra22在圆盘参考系在圆盘参考系S (非惯性系非惯性系) 作匀速运动作匀速运动0 a22ifmamrmv 0 ifFF惯性离心力惯性离心力 科里奥利力科里奥利力在加入了在加入了惯性离心力和科里奥利力惯性离心力和科里奥利力以后，可以后，可以将类似的牛顿第二定律配平以将类似的牛顿第二定律配平0amfi aaa 0 v科里奥

7、利力效应科里奥利力效应 vmfC2地球自转地球自转Cf 水流对右岸的冲刷（水流对右岸的冲刷（北半球北半球） 例如：武汉的江滩只出现在汉口（左岸）而例如：武汉的江滩只出现在汉口（左岸）而不出现在武昌（右岸）不出现在武昌（右岸）傅科摆傅科摆傅科摆摆锤28kg，摆平面转动） 顶视顶视cFcF11 22 3 Sin24小小时时 T摆平面转动周期北京，分分小小时时，153740 T 巴黎，分分小小时时，523149 T 这是在地球上验证地球转动的著名的实验。这是在地球上验证地球转动的著名的实验。（傅科，1851，巴黎伟人祠，摆长67m，地球地球摆摆摆摆动动可以看作一种往复的可以看作一种往复的直线运动，在

8、地球上的摆直线运动，在地球上的摆动会受到地球自转的影响。动会受到地球自转的影响。只要摆面方向与地球自转只要摆面方向与地球自转的角速度方向存在一定的的角速度方向存在一定的夹角，摆面就会受到科里夹角，摆面就会受到科里奥利力的影响，而产生一奥利力的影响，而产生一个与地球自转方向相反的个与地球自转方向相反的扭矩，从而使得摆面发生扭矩，从而使得摆面发生转动。转动。南半球逆时针，北南半球逆时针，北半球半球顺时针。顺时针。冲量与动量定理冲量与动量定理1. 动量和冲量动量和冲量vmp dpmdvdmvmdv 2121ddttppttFp)( 12ppI 冲量：力在冲量：力在t1t2时间段内对时间积分。时间段内

9、对时间积分。冲量等于动量的改变冲量等于动量的改变它可以用来刻画它可以用来刻画力在时间尺度上的累积效应力在时间尺度上的累积效应质点的动量质点的动量(/)m dv dt dtFdt假定质点质量不假定质点质量不变变ttFItt)d(21 ppp 122. 动量定理的三种动量定理的三种写法：积分，微分，分量写法：积分，微分，分量积分形式积分形式ptFIddd 微分形式微分形式x xyyz zII eI eI e 21()dtxxyyz ztF eF eF et xttxxptFI d21zttzzptFI d21yttyyptFI d21分量表示形式分量表示形式每一个分量对每一个分量对应的表示形式应的

10、表示形式为了定性分析问题的方便，我们为了定性分析问题的方便，我们还可以引入还可以引入了平均了平均冲力的概念冲力的概念 21dttttFI)()(1221dttFtFtt 12121221dttppttttFFtt )(平均冲力平均冲力tFp 时间趋近无穷小的时候，平均冲力就回到了瞬时冲力时间趋近无穷小的时候，平均冲力就回到了瞬时冲力多质点体系的动量定理多质点体系的动量定理质点系质点系1m2m12F21F1F2F内力、外力共同作用内力、外力共同作用第第k个个质点受力：质点受力：intkkk extFfF依牛顿第二定律，有依牛顿第二定律，有ddkkPFt ddint()kk extkfFtP 即即

11、:dd()knk extkkn kkfFtP 对质点系内所有的质点求和对质点系内所有的质点求和:k extkFF kkPP 定义定义系统所受的合外力系统所受的合外力系统的总动量系统的总动量按照牛顿第三定律，作用力和反作用力按照牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等方向相反，是故大小相等方向相反，是故nkknff ddd()()knk extk extkkk nkkfFtFtP ddF tP d21ttF tP 积分形式积分形式微分形式微分形式质点系的质点系的动量定理动量定理系统在某一段时间内所受合外力的总冲量等于在同一段时间内系统在某一段时间内所受合外力的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量的

12、增量。系统的总动量的增量。特例：动量守恒定律动量守恒定律 当当 时，时，0 FkkkkkPm vconst动量守恒定律在直角坐标系中的动量守恒定律在直角坐标系中的分量式：分量式：0, xk kxkFmvconst0,ykkykFm vconst0 PddF tP d21ttF tP 在直角坐标系情况下在直角坐标系情况下可以考虑分量守恒问可以考虑分量守恒问题。即使题。即使总动量总动量不守不守恒，只要某个方向上恒，只要某个方向上受力为受力为0 0，那个，那个方向方向上上的动量的动量也是守恒的也是守恒的0,zkkzkFm vconst例例1.飞机以飞机以v=300m/s(即即1080 km/h)的速

13、度飞行的速度飞行,撞撞 到一质量为到一质量为m=2.0kg的鸟的鸟,鸟的长度为鸟的长度为l0.3 m。 假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动, 试估算试估算 它们相撞时的平均冲力的大小。它们相撞时的平均冲力的大小。 解解:以地面为参考系以地面为参考系, 把鸟看作质点。把鸟看作质点。由动量定理可得由动量定理可得0mvmvIF t 碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度l的距离所需的时间，则的距离所需的时间，则:000()/mv vvmvmvmvmvFtl vl N.5100630)0300(30002 碰撞前的速度大小近似地取为碰撞前

14、的速度大小近似地取为 v0=0m/s, 碰撞后的速度大小碰撞后的速度大小v300m/s例例2 2. 水平光滑冰面上有一小车水平光滑冰面上有一小车, ,长度为长度为L, ,质量为质量为 M。车的一端有一质量为。车的一端有一质量为m的人的人, ,人和车原人和车原 来均静止。若人从车的一端走到另一端来均静止。若人从车的一端走到另一端, , 求求: :人和车各移动的距离。人和车各移动的距离。解解: :设人速为设人速为u, ,车速为车速为v。( (相对地面）相对地面）vu系统在水平方向上动量守恒系统在水平方向上动量守恒 ，Mv+ mu= 0 mvuM dd00ttttmv tu tM xmxxM 车地车

15、地人地人地xxx人地人地人车人车车地车地MLxMm 人地人地mLxMm 车地车地xL 人车人车3. 变质量问题变质量问题(动量定理与火箭飞行原理动量定理与火箭飞行原理) ) dvv m+dmvm-dmt 时刻时刻质量质量速度速度动量动量mvdvv vmP 1t+dt 时刻时刻dmm dd2()()Pmm vv d()m v v (此处此处dm0)对地对地t 时刻时刻t+dt 时刻时刻火箭受外力为：火箭受外力为：F由动量定理得：由动量定理得：d21F tPPddd()()()mm vvm vmv 只保留一阶小量：只保留一阶小量：dddd()mvmFvtt dvv m+dmvm-dmv dddd(

16、)mvmFvtt 引入相对速引入相对速度度uddddvmmutt 对地对地t 时刻时刻t+dt 时刻时刻(d ), (d )vuvvuvvvu是喷出的气体相对于火箭箭体的速是喷出的气体相对于火箭箭体的速度度dddddddddd()( )()mvmFvttvmmmvvttt 若火箭在自由空间沿直线飞行，则若火箭在自由空间沿直线飞行，则:F = 0dddd0vmmuttddddvmFmutt ddmvum uv若喷出的气体相对火箭的速率若喷出的气体相对火箭的速率u恒定恒定, 开始时火箭开始时火箭的质量为的质量为m0, 初速度为初速度为v0, 燃料耗尽时火箭的质量燃料耗尽时火箭的质量为为mf , 速

17、度为速度为vf , 则则 dd00ffvmvmmvum 00lnffmvvumuv研究喷出的质量元：研究喷出的质量元：-dm喷出之前：喷出之前：md v )(tp喷出之后的瞬间：喷出之后的瞬间： )(ttpdmd )(vvud dd(d )( )d F tpp ttp tmud-dmFut ddmFut推质点的动量定理质点的动量定理F：质元受到的合外力：质元受到的合外力例例2. 一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L, ,下端刚下端刚 好触及水平桌面好触及水平桌面, ,现松开绳的上端现松开绳的上端, ,让绳落到让绳落到 桌面上。试证明桌面上。试证明: :在绳下落的过程中在绳下落的过程中, ,任意时任意时 刻作用于桌面的压力刻作用于桌面的压力N, ,等于已落到桌面上的等于已落到桌面上的 绳重绳重G的三倍的三倍。解：解：OyLt=0tdy()MgF dtdP()d mvmdvdmv()vdtmdvMvL()vdtmgd