培优专题2勾股定理及应用含解答

1、勾股定理及应用 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理” 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积 分析 由斜边长是2，周长是2+，易知两直角边的和是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握 解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得： 即 式两边同时平方再减去式得： 2ab=2， ab= s=因此，这个三角形的面积为 练习11已知：如图2-1，ad=4，cd=3，adc=90°，ab=13，ac

2、b=90°，求图形中阴影部分的面积2-12已知：长方形abcd，abcd，adbc，ab=2，addc，长方形abcd的面积为s，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长 3若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） a1：2：4 b1：3：5 c3：4：7 d5：12：13 例2 如图2-2，把一张长方形纸片abcd折叠起来，使其对角顶点a、c重合，若其长bc为a，宽ab为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 分析 图形沿ef折叠后a、c重合，可知四边形afed与四边形cfed全等，则对应边、角相等，af=fc，且fc=ae，则abfad

3、e，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积 解：图形沿ef折叠后a、c重合， 2-2 四边形afed与cfed关于ef对称， 则四边形afed四边形cfed afe=cfe af=fc，d=d=b=90° ab=cd=ad adbc， aef=efc aef=afe 则ae=af rtabfrtade 在rtabf中，b=90°， ab2+bf2=af2 设bf=x，b2+x2=（a-x）2， x= 2-3 s=2sabf=2×bx=2×·b·= 练习21如图2-3，把矩形abcd沿直线bd向上折叠，使点c落在c的位置上，已知ab=

4、3，bc=7，重合部分ebd的面积为_2如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部b离墙脚o的距离是0.7m，当梯子的顶部a向下滑0.4m到a时，梯子的底部向外移动多少米？2-4 3如图2-5，长方形abcd中，ab=3，bc=4，若将该矩形折叠，使c点与a点重合，则折叠后痕迹ef的长为（ ）a3.74 b3.75 c3.76 d3.772-5 例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？ 分析 先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形 解：n为正整数， （2n2+2n+1）-（2n2+2n） =2n

5、2+2n+1-2n2-2n=1>0， （2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0 2n2+2n+1为三角形中的最大边 又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1， （2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2这个三角形是直角三角形 练习3 1若abc的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则abc是（ ） a等腰三角形 b直角三角形 c锐角三角形 d钝角三角形2如图2-6，在正方形abcd中，f为dc的中点，e为bc上一点，且e

6、c=bc，猜想af与ef的位置关系，并说明理由 2-6 3abc中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） aabc是直角三角形，且斜边长为m2+1 babc是直角三角形，且斜边长为2m cabc是直角三角形，但斜边长由m的大小而定 dabc不是直角三角形 例4 已知：如图2-7所示，abc中，d是ab的中点，若ac=12，bc=5，cd=65 求证：abc是直角三角形 分析 欲证abc是直角三角形，在已知两边ac、bc的情况下求边ab的长，比较困难；但注意到cd是边ab的中线，我们延长cd到e，使de=cd，从而有bdeadc，这样ac、bc、2cd就作为bce的三边

7、，再用勾股定理的逆定理去判定 证明：延长cd到e，使de=cd，连结be 2-7 ad=bd，cd=ed，adc=bde adcbde（sas） be=ac=12 a=dbe acbe 在bce中，bc2+be2=52+122=169 ce2=（2cd）2=（2×6.5）2=169 bc2+be2=ce2 ebc=90° 又acbe， acb=180°-ebc=90° abc是直角三角形 练习4 1已知a、b、c为abc的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断abc的形状 先阅读下列解题过程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2

8、-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 abc为直角三角形 问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是_； （2）本题的正确结论是_2如图2-8，abc的三边分别为ac=5，bc=12，ab=13，将abc沿ad折叠，使ac落在ab上，求折痕ad的长3如图2-9，abc中，acb=90°，ac=bc，p是abc内一点，满足pa=3，pb=1，pc=2，求bpc的度数 例5 如图2-10，abc中，ab=ac=20，bc=32，d是bc上一点，且adac，求bd的长 分析 若作aebc于e，如图2-11，利用勾股定理可求出ae=12，ad是rtadc的直角边 ad=cd

9、-ac，若设de=x，借助于ad这个“桥”可以列出方程 解：作aebc于e 2-10 ab=ac，aebc， be=ec=bc=×32=16 在rtaec中， ae2=ac2-ce2=202-162=144， ae=12 2-11 设de=x， 则在rtade中，ad2=ae2+de2=144+x2， 在rtacd中，ad2=cd2-ac2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9bd=be-de=16-9=7 练习5 1如图2-12，abc中，c=90°，m是bc的中点，mdab于d求证：ad2=ac2+bd22-122如图2-13，aba

10、d，ab=3，bc=12，cd=13，ad=4，求四边形abcd的面积2-13 3如图2-14长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从a出发，沿长方形表面到达c处，问绳子最短是多少厘米？2-14勾股定理及应用答案:练习1124（提示：利用勾股定理即可求出）2长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以a、b为对称点（如图） s=ab×bc，ab=2， bc=ad= 根据对称性得df=ab=1 由于d=90°，据勾股定理得： af= （2）以a、d为对称点（如图） bf=bc=由b=90°，据勾股定理得： af= 3d练习21（提示：利用rtabe

11、的勾股定理即可求出） 20.8m 3b练习31b 2afef（提示：连结ae，设正方形的边长为a，则df=fc=，ec=，在rtadf中，由勾股定理得： af2=ad2+df2=a2+（）2=a2同理：在rtecf中，ef2=（）2+（）2=a2，在rtabe中，be=a，则ae2=a2+a2=a2 a2+a2=a2， af2+ef2=ae2 afe=90° afef3a（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41（1）、 （2）abc为直角三角形或等腰三角形2ac2+bc2=52+122=132=ab2， c=90° 将abc沿ad折叠，使ac落在ab上，c的对称点为e（

12、如图） cd=de， ac=ae=5 则acdaed 又be=ab-ae=8 设cd为x，则x2+82=（12-x）2 解之得x= ad2=52+（）2 ad=3过点c作cecp，并截ce=cp=2，连结pe，be（如图） acb=pce=90°， acb-pcb=pce-pcb 即acp=bce pcaecb（sas） be=ap=3 在rtpce中， pe2=pc2+ce2=8 又bp2=1，be2=9， be2=bp2+pe2 pbe是直角三角形，其中bpe=90° 在rtpce中，pc=ce， cpe=cep=45° bpc=cpe+bpe=45°+90°=135