2020-2021学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级(上)期中数学试卷-解析版

1、2020-2021学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级（上）期中数学试卷1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（）A.(X) B© C 働 D第4页.共18页2. 下列方程中，不属于一元二次方程的是（）A. 4咒 2 = 9B x2 + 3x = 0C 3y2 一 5y = 7 yD. 2y2-y = 3 + 2y23.点（-2,3）关于原点对称的点的坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,-3)D. (72)4.要得到抛物线y = 2（% + 4）2 -可以将抛物线y = 2xA.向左平移4个单位,再向上平移1个单位B. 向左

2、平移4个单位,再向下平移1个单位C. 向右平移4个单位.再向上平移1个单位D. 向右平移4个单位,再向下平移1个单位5.将一元二次方程F 一 4% + 1 = o化成（咒+ h）2 =上的形式,则代等于（）A. -1B. 3C.4D. 56. 若关于x的一元二次方程兀2-2x+m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范 围是（）A. m < 1B. m < 1C. m > 1D. m > 17. 若一元二次方程（2m + 6）x2 + th2 - 9 = 0的常数项是0,则加等于（）A. 3B. 3C. +3D. 98. 用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求

3、长方形的而积y（平方米）和长方 形的一边的长尤（米）的关系式为（）A. y = -%2 + 20% B. y = %2 - 20% C. y = -%2 + 10% D y = 乂 一 io%9. 已知点4（一3,yj, B（-l,y2）, C（23）在二次函= x2 + 2x + c的图象上,则九， yz>力的大小关系是（）A. y±> y2> y3 B. y2> yz> yi C. y3> y±> yz D.无法确定12.设叽n是一元二次方程2 + 2咒一7 = 0的两个根，则m + n=13. 抛物线y=/-2咒一3与兀轴的交

4、点坐标为14. 如图，把Rt A ABC绕点A逆时针旋转40。，得到Rt卜ABf点C'恰好落在边AB上，连接3叭 则乙BB'C =度15. 已知二次函数y = / 3% + m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(匕0),则关于x的一元二次方程尤2 一 3x + m = 0的两实数根是.16. 已知关于x的一元二次方程_ (2rn + l)x+7H2-l = 0有实数根“，b,则代数式a2 ab +沪的最小值为.17. 解方程：(1) %2 4% = 0；(2) %2-%-1 =0.18. 如图，在平而直角坐标系中，每个小正方形的边长为1, 'ABC各顶点都在格点上，

5、点A, C的坐标分别为(-1,2)、(0,-1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1) 求AC的长：(2) 将'ABC绕点C按逆时针方向旋转90。，画出旋转后的虫叭C,直接写出A点 对应点列的坐标.19. “绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米.假设每年绿化面积的平均增 长率相同.(1) 求每年绿化面积的平均增长率；(2) 若2021年的绿化而积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？20. 如图，中，乙3 = 15。，Z.ACB = 25°. AB = 4cm,

6、 A ABC按逆时针方向旋转 一泄角度后与重合，且点C恰好成为AD的中点， 指出旋转中心，并求出旋转的度数： 求出Z.BAE的度数和AE的长.21. 已知关于x的方程2 + 2x+a-2 = 0(1) 若该方程有两个不相等的实数根，求实数U的取值范羽:(2) 当该方程的一个根为1时，求“的值及方程的另一根.22. 已知二次函数y = /+4% + 5,完成下列各题:(1)求出该函数的顶点坐标.(2 )求出它的图象与x轴的交点坐标.(3) 直接写出：当x为何值时，y>023. 如图，在一而靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽为x米，而积为y平方米.

7、(1) 求y与x的函数关系式及自变量a-的取值范用；(2) 若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大, 最大面积是多少？/ /ADBC24. 已知在M8C中，ACB = 90% AC = BC = 4,现将一块边长足够大的直角三角板 的直角顶点垃于AB的中点O,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度a(0°<a<90°),旋转后，直角三角板的直角边分别与 AC、相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与'ABC的重叠部分( 如图所示).那么，在上述旋转过程中：(1) 线段与CK具有怎样的

8、数量关系？四边形CHOK的而积是否发生变化？证 明你发现的结论：(2) 连接 HK,设BH = x. 当"HK的而积为寸时，求出*的值. 试问AOHK的面积是否存在最小值，若存在，求岀此时x的值，若不存在，请说 明理由.25. 已知抛物线y = x2 + kx+k-l.(1)当k = 3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标:第5页，共18页3. 【答案】C【解析】解：点(2,3)关于原点对称，.点(一2,3)关于原点对称的点的坐标为(2,-3).故选：C.平而直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-益-刃，即：求关于原点的 对称点，横纵坐标都变成相反数.本题主要考查了平面

9、直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-刃，即: 求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单.4. 【答案】B【解析】解：y = 2(x 4)2 1的顶点坐标为(-4,-1), y = 2x2的顶点坐标为(0,0), 将抛物线y = 2”向左平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y = 2(x + 4)2 - 1.故选:B.找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.本题考査了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点 坐标.5. 【答案】B【解析】【分析】此题考査了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解

10、本题的关键.方程配方得到结果，即可确立岀的值.【解答】解：方程%2_4x + 1 = 0,配方得：xz-4x + 4 = 3,即(x-2)z = 3,则 k = 3,故选:B.6. 【答案】B【解析】解：根拯题意得A= 22-4th>0,解得m< 1.故选：B.根据根的判别式的意义得到= 22-4m>0,然后解不等式即可.本题考査了一元二次方程a* + bx + c = 0(a工0)的根的判别式= b2 - 4ac：当厶> 0, 方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根：当<(),方程没有 实数根.7. 【答案】B【解析】解：由题意，得mz 9

11、= 0且2m + 6 工 0,解得m = 3.故选:B.一元二次方程ax2 + bx + c= Q(a,b, c是常数且a工0)的“、b、c分别是二次项系数、 一次项系数、常数项.本题考査了一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0(a,b, c是常数且a工0)特别要 注意aHO的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中a*叫二次项, 加叫一次项，c是常数项.英中“，b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.8. 【答案】C【解析】解：长方形一边的长度为x米，周长为20米，长方形的另外一边的长度为(10-x)米，则长方形的而积y = x(10-x)= -x2+ 1

12、0%,故选：C.先由长方形一边的长度为x米，周长为20米，得岀另外一边的长度为(10-x)米，再利 用长方形的面积公式可得答案.本题主要考查根据实际问题列二次函数的关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关 键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象 要根据自变量的取值范围来确泄.9. 【答案】C【解析】解:对称轴为直线咒=一壬=一1,2X1 a = 1 > 0,V-1时，y随x的增大而减小，第8贞.共18页X>-1时，y随;V的增大而增大， y2 <yi <y3-故选：c.求岀二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可.本题考査了

13、二次函数图象上点的坐标特征，求岀对称轴解析式，然后利用二次函数的增 减性求解更简便.10. 【答案】C【解析】解：抛物线开口向下，a V 0,抛物线经过原点，c = 0,则abc = 0,所以正确：当x = l时，函数值是a + b + cVO,则错误：抛物线的对称轴为直线x = -? V 0,zaz b = 3a V 0,又 a < 0,:.a A b,则正确：抛物线与x轴有2个交点，.-.A= b2 4ac > 0,即4ac b'vO,所以正确.故选：C.由抛物线开口方向得到a V 0以及函数经过原点即可判断，由抛物线的对称轴方程得 到为b = 2a<0,以及“的

14、符号即可判断；根据x = l时的函数值可以判断：根据 抛物线与x轴交点个数得到厶=b2-4ac > 0,则可对进行判断.本题考査了二次函数图象与系数的关系：对于二次函y = ax2 + bx + c(aQ),二次 项系数“决泄抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛 物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数"共同决左对称轴的位置：当"与b同号时 (即ab>0),对称轴在y轴左：当"与b异号时(即abVO),对称轴在y轴右；常数项c 决左抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由决左： =b2

15、-4ac> 0时，抛物线与x轴有2个交点；=沪一4" = 0时，抛物线与x轴有 1个交点；=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.第9页，共18页11. 【答案】(2,5)【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y = a(x-h)2+k的顶 点坐标为(扎fc).由于抛物线y = a(x - h)2 + k的顶点坐标为(h,k),由此即可求解.【解答】解：抛物线y = 3(久一 2尸+5,顶点坐标为：(2,5).故答案为:(2,5).12. 【答案】一2【解析】解：th、“是一元二次方程xz+2x-7 = 0的两个根，m + n = 2故答案

16、为-2.直接根拯根与系数的关系求解.本题考査了根与系数的关系：若耳，七是一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a0)的两根 时，X +=，xlx2 = _aa13. 【答案】(3,0), (-1,0)【解析】解：令y = 0,则xz-2x-3 = 0.解得x = 3或x = -l.则抛物y = xz-2x-3与x轴的交点坐标是(3,0), (-1,0).故答案为(3,0), (-1,0).要求抛物线与x轴的交点，即令y = 0,解方程.本题考査了抛物线与*轴的交点.求二次函= ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a工0)与 x轴的交点坐标，令y = 0,即ax2 + bx +

17、 c = 0,解关于x的一元二次方程即可求得交 点横坐标.14. 【答案】20【解析】解:"RtAABC绕点A逆时针旋转40。得到Rt A AB'CAB = AB', Z.BAB' = 40°,在厶 ABB，中,乙ABB，=扌(180。一 乙BAB、= |(180° - 40°) = 70°, "C'B' = ZC = 9O°,B'C11 AB,Z.BB'C' = 90° 一 Z-ABB' = 90° - 70° = 20&

18、#176;.故答案为：20.根据旋转的性质可AB = ABf, Z.BAB' = 40%然后根拯等腰三角形两底角相等求出 再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.本题考査了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟 记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键.15. 【答案】x± = 1, x2 = 2【解析】【分析】关于x的一元二次方程/-3% + m = 0的两实数根就是二次函数y = x2-3x + 为 常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标.本题考査了抛物线与x轴的交点.解答该题时，也可以利用代入法求得加的值，

19、然后来 求关于a的一元二次方程F -3x + m = 0的两实数根.【解答】解：匸次函数的解析式是y =疋一 3x +为常数)，该抛物线的对称轴是：x = l又二次函ny = X2-3x + m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),关于x的一元二次方程x2_3x + th= 0的两实数根分别是：X1 = l, x2 = 2.故答案是：Xx =1，咒2 = 216. 【答案】鼻16【解析】解：关于X的一元二次方x2-(2m + l)x + m2-l = 0有实数根g b, a + b = 2m + 1, ab = m

20、2 1 A> 0,= -(2m + 1)2-4X 1 X (m2 - 1)=4m2 + 4m + 1 4m2 + 4=4m + 5 > 0,m > 4 a2 ab + b2=(a + b)2 3ab=(2m + l)2 - 3(m2 - 1)=4m2 + 4m + l - 3m2 + 3=m2 + 4m + 4=(m + 2)2,.-.a2-ab + b2的最小值为：(一专+2)2 =鼻故答案为:缶由韦达定理得出"，b与川的关系式、由一元二次方程的根与判別式的关系得岀川的取 值范围，再对代数式a2-ab+ b2配方并将a + b和血整体代入化简，然后再配方，结 合皿

21、的取值范围可得岀答案.本题考査了配方法在代数式求值中的应用，熟练掌握配方法及一元二次方程的根与系数 的关系及根与判别式的关系是解题的关键.17. 【答案】解：(1>2-4x = 0,分解因式得：x(x-4)=0,解得：%! = 0t x2 = 4：(2) xz-x-l = 0. a = 1, b = It c = 1,= b2 一 4ac = 1 -4 X 1 X (-1) = 5,X = f 士、4弋=些冬，2a2X1l+vSi-Vs【解析】(1)利用因式分解法求解即可：(2)利用公式法求解即可.此题分别考查了解一元二次方程，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决 问题.(2)

22、 如图,坷BjC即为所求,血(一3,-2).【解析】利用勾股泄理计算即可.(2)分别作出A, B的对应点A】，厉即可解决问题.本题考査作图-旋转变换，勾股立理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.19. 【答案】解：(1)设每年緑化而积的平均增长率为兀可列方程：1000(1+ %)2 = 1210.解方程，得勺=0.“2 = -2.1(不合题意，舍去).所以每年绿化而积的平均增长率为10%.(2)1210 X (1 + 10%) = 1331(万平方米).答：2021年的绿化而积是1331万平方米.【解析】(1)先设每年小区绿化面积的增长率为X根据2018年的绿化面积x(l+

23、增长率)2 = 2020年的绿化面积，列出方程求解即可：(2)根据(1)得出的增长率列出算式，进行计算即可.此题考査了一元二次方程的应用：求平均变化率的方法为：若设变化前的量为“，变化后的疑为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2 = b20. 【答案】沁ABC逆时针旋转一泄角度后与力DE重合，A为顶点，旋转中心是点人，根据旋转的性质可知：/-CAE = Z.BAD = 180° - Z.B - ACB = 140%旋转角度是140° ：由旋转可知： AB = ADi AC = AE.乙BAC = Z.EAD = 140°, /.

24、BAE = 360° 一 140° X 2 = 80°, c为AD中点, AC = AE = -AB = - X 4 = 2cm.2 2【解析】由旋转的性质可求解：由旋转的性质可AB=AD. AC = AE.乙BAC =乙EAD = 140。,由周角的性质和中 点的性质可求解.本题考査了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键.21 【答案】解：(1)方程有两个不相等的实数根， 4 = b? 4ac = 22 4 X 1 X (a 2) = 12 4a > 0,解得：a V 3a的取值范用是a V3；(2)设方程的另一根为心，由根与系数的关系得：卩+心=一2(

25、1 = a 2*解得:m则“的值是1，该方程的另一根为3.【解析】本题考査了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式4的关 系：力>0。方程有两个不相等的实数根；21 = 0 o方程有两个相等的实数根： 4 V 0 Q方程没有实数根.(1) 关于A-的方程/ + 2x + a _ 2 = 0有两个不相等的实数根，即判別式21 = b2- 4ac > 0.即可得到关于“的不等式，从而求得"的范用.(2) 设方程的另一根为心，根据根与系数的关系列出方程组，求出"的值和方程的另一 根.22. 【答案】解：(l)y = -x2 + 4% + 5 = -(x

26、- 2)2 + 9,则抛物线的顶点坐标为(2,9)：(2)令y = x2 + 4x + 5 = 0,解得x = 5或一 1,故图象与x轴的交点坐标为(5,0)、(-1,0)；(3) a = 1. V 0,故抛物线开口向下，故当一 1VXV5时，y>0.【解析】(1)由y = -x2 + 4% + 5 = -(x - 2)2 + 9即可求解：(2)令y = _%2 + 4x + 5 = 0,解得x = 5或一 1,即可求解：(3>=-1<0,则抛物线开口向下，即可求解.本题考査的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常 熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点

27、坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.23. 【答案】解：(1)设花圃的宽皿为*米，则BC = (24 3x)m,根据题意得岀：y = x(24 - 3x) = -3x2 + 24x：墙的可用长度为9米，0 < 24-3% < 9,解得：5<%<8,y = -3x2 + 24x(5 < x < 8).(2)y = -3xz + 24x = -3(x2 - 8%) = -3(x 一 4)2 + 48,V 5 < % < 8,.当x = 5时，y宓遊=45平方米.答：当AB为5米时，长方形花圃的而积最大，最大而积是45平方米.【解析】(1)求岀y

28、 = ABX BC代入即可；利用0 V 24 - 3x S 9进而解岀即可：(2)把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案.本题主要考查对二次函数的最值，二次函数的解析式，能把实际问题转化成数学问题是 解此题的关键.24. 【答案】解：(1)在旋转过程中，BH = CK,四边形CHOK的面积始终保持不变，英 值为ABCifif积的一半.理由如下：连接OCA ABC为等腰直角三角形，O为斜边的中点，CO丄力3Z.OCK = Z.B = 45°, CO = 0B,又:厶COK 与乙BOH均为旋转角， Z.COK = Z.BOH = aCOKWb BOH BH = CK, S四

29、边轨hok = Scok + SxoH = Sboh + S“oh = cob =討"肌=°(2)由(1)知 CK = BH = x, BC = 4,CH = 4-x，根据题意，得CH CK = ,即(4-x)x = 3,解这个方程得x± = l, x2 = 3,此两根满足条件：0VXV4所以当bCKH的而积为扌时，x的取值是1或3；设OKH的面积为S,由知四边形CHOK的而积为4,于是得关系式：1 1 “S = 4-S.ckh = 4-x(4-x) = -(x2-4x) + 41c= -(x-2)2 + 2当x = 2时，函数S有最小值2, x = 2时，满足条件0 V X V 4,OKH的而积存在最小值，此时x的值是2.【牡】(1)连接OC,可以证得： COK=A 80H,根据S网边枕hok = S“ok + S“oh =Sboh + S® = S“ob =扌S朋c即可证得：四边形CHOK的面积始终保持不变；(2)BC = 4, CH = 4 - x,三角形的面积公式可以得到:扌CH CK = 即(4 一少 =3, 从而求得x的值：设OKH的面积为