苏教版一轮抛物线导学案

1、抛 物 线【知识梳理】1抛物线定义： 平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形范围x0，yrx0，yr对称轴x轴顶点坐标原点o(0,0)焦点坐标准线方程xx离心率e1标准方程x22py(p0)x22py(p0)图形范围y0，xry0，xr对称轴y轴顶点坐标原点o(0,0)焦点坐标准线方程yy离心率e1【基础自测】1已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是_解析：3，p6，x212y.2抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值

2、是_解析：抛物线的标准方程为x2y.则a0且2，得a.3倾斜角为60°的直线l过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，则弦ab的长为_解析：设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，依题意得焦点f(0，1)，准线方程y1，直线l：yx1，由消x得y214y10，y1y214，|ab|af|bf|(y11)(y21)(y1y2)216.4已知斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且与y轴相交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_解析：依题意得，|of|，又直线l的斜率为2，可知|ao|2|of|，aof的面积等于·|ao|·

3、;|of|4，则a264.又a0，所以a8，该抛物线的方程是y28x.5设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是_解析：其准线方程为x2，又由点p到y轴的距离为4，则p点横坐标xp4，由定义知|pf|xp6.说明：1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点f到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助2用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用3由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标时，只需将x或y系数除以4，再确定焦点位置即可【考点探究】考点一 抛物线的定义及应用例1(1)已知f是拋物线y2x的焦点，a，b是该拋物线上的两点，

4、|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为_ (2)在抛物线c：y2x2上有一点p，若它到点a(1,3)的距离与它到抛物线c的焦点的距离之和最小，则点p的坐标是_解(1)如图，由抛物线的定义知，|am|bn|af|bf|3，|cd|，所以中点c的横坐标为.(2)由题知点a在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点p，使得该点到点a与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点p是直线x1与抛物线的交点，故所求p点的坐标是(1,2)【由题悟法】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解【以题试法】1过抛物线y24x的焦点f的

5、直线交该抛物线于a，b两点若|af|3，则|bf|_.解析：由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又|af|3，由抛物线定义知，点a到准线x1的距离为3，点a的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知，y2，a(2,2)，直线af的方程为y2(x1)又解得或由图知，点b的坐标为，|bf|(1).考点二抛物线的标准方程及几何性质例2(1)已知双曲线c1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py (p>0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为_ (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到

6、该抛物线焦点的距离为3，则|om|_ 解(1)双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为x±y0，抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)依题意，设抛物线方程是y22px(p>0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点m的坐标是(2，±2)，|om|2.【由题悟法】1求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式2研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用【以题试法】2已知抛物线x24y的焦点为

7、f，准线与y轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且|nf|mn|，则nmf_.解析：过n作准线的垂线，垂足为h，则|nf|nh|mn|，如图cos mnh，mnh，nmf.考点三 直线与抛物线的位置关系例3如图，等边三角形oab的边长为8，且其三个顶点均在抛物线e：x22py(p>0)上(1)求抛物线e的方程；(2)设动直线l与抛物线e相切于点p，与直线y1相交于点q.证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点解(1)依题意，|ob|8，boy30°.设b(x，y)，则x|ob|sin 30°4，y|ob|cos 30°12.因为点b(4，12)在x22py上，所以

8、(4)22p×12，解得p2.故抛物线e的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设p(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以q为.设m(0，y1)，令·0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1)【由题悟法】 1设抛物线方程为y22px(p0)，直线axbyc0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关

9、于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2. (2)|ab|x1x2p(为ab的倾斜角)(3)saob(为ab的倾斜角)(4)为定值.(5)以ab为直径的圆与准线相切(6)以af或bf为直径的圆与y轴相切(7)cfd90°.【以题试法】3如图，点o为坐标原点，直线l经过抛物线c：y24x的焦点f.(1)若点o到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)设点

10、a是直线l与抛物线c在第一象限的交点点b是以点f为圆心，|fa|为半径的圆与x轴的交点，试判断ab与抛物线c的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点f(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k±.故直线l的方程为：y±(x1)，即x±y10.(2)直线ab与抛物线相切，证明如下：设a(x0，y0)，则y4x0.因为|bf|af|x01，所以b(x0,0)所以直线ab的方程为：y(xx0)，整理得：xx0 把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，64x16x0y

11、64x64x0，所以直线ab与抛物线相切【巩固练习】1抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_解析：由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.抛物线焦点坐标为(0，)，抛物线方程为x24y.2若抛物线y22px(p0)上一点p到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为_解析：设p(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.3已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为_解析：注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3,0)，半径为

12、4的圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2.4抛物线y22px的焦点为f，点a、b、c在此抛物线上，点a坐标为(1,2)若点f恰为abc的重心，则直线bc的方程为_解析：点a在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点f(1,0)设点b(x1，y1)，点c(x2，y2)，则有y4x1， y4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2), 得kbc.又0，y1y22，kbc2. 又1，x1x22，bc中点为(1，1)， 则bc所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.5过抛物线y24x的焦点f的直线交y轴于点a，抛物线上有一点b满足, (o为坐标原点)，则bof的面积是_解

13、析：由题可知f(1,0)，可设过焦点f的直线方程为yk(x1)(可知k存在)，则a(0，k)，b(1，k)，由点b在抛物线上，得k24，k±2，即b(1，±2)，sbof·|of|·|yb|×1×21.6已知抛物线c：yx2，则过抛物线焦点f且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为_解析：由题意得l的方程为yx1，即x2(y1)代入抛物线方程得y(y1)2，即y23y10.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1y2p5.7已知椭圆c1：1(0b2)的离心率为，抛物线c2：x22py(p0)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线c2的方程；(2)过点m(1,0)的直线l与抛物线c2交于e，f两点，过e，f作抛物线c2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)椭圆c1的长半轴长a2，半焦距c.由e得b21，椭圆c1的上顶点为(0,