轴对称与整式讲义

1、 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校第十二章 轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点

2、所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结： 1.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三

3、个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）五、（等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【典型例题】例1 如图，已知在abc中，a

4、cb=90°，在ab上截取bd=bc，过d作deab交ac于点e，求证：becd解析：因为deab，所以bde=90°，因为acb =90°，所以bde=acb，又因为bd=bc，be是公共边，所以bdebce，所以be平分dbc，又因为dbc是等腰三角形，所以利用等腰三角形三线合一，得到becd例2 如图，已知a=15°，ab=bc=cd=de=ef，求fem的度数答案：75°解析：因为ab=bc=cd=de=ef，所以abc和bcd和dce和def都是等腰三角形，又因为a=15°，所以acb=15°，再利用三角形的外角定

5、理，得到cbd=30°，所以cdb=30°，再利用外角定理，得到dce=45°，所以dec=45°，同理edf=60°，所以efd=60°，所以fem=efd+a=75°例3 如图，abc中，ab=ac，d、e分别是ac、ab上的点，若bd=bc，ad=de=be，求a的度数答案：解析：因为ab=ac，bd=bc，ad=de=be，所以abc和bcd和ade和ebd都是等腰三角形，所以设ebd=，所以edb=，所以aed=，所以a=，又因为bdc=a+abd，所以bdc=，所以c=，所以abc=，再利用三角形内角和定理，得到

6、，所以a=例4 如图，已知abc中，adbc，垂足为d，若ab+bd=dc，求证：b=2c证明：在线段dc上截取de=bd，连接ae，因为adbc，并且de=bd，所以ad是线段be的垂直平分线，所以ab=ae，又因为ab+bd=dc，所以ae+de=dc，所以ae=dcde=ec，所以c=eac，利用外角定理，得到aeb=2c，又因为ab=ae，所以b=aeb，所以b=2c例5 已知abc中，ab=ac，d、e分别为bc、ac上的点，若ad=ae，bad=30°，求edc的度数答案：15°解析：因为ab=ac，所以abc是等腰三角形，又因为ad=ae，所以ade是等腰三角

7、形，所以b=c，ade=aed，又因为aed=edc+c，ade+edc=b+bad，所以c+edc=b+badedc，所以2edc=bad，又因为bad=30°，所以edc=15°例6 如图，已知f、c是线段be上两点，bf=ce，ab=de，b=e，qrbe，求证：pqr是等腰三角形证明：因为bf=ce，所以bf+fc=ce+fc，所以bc=ef，因为b=c，ab=de，所以abcdef，所以acb=dfe，又因为qrbe，所以acb=q，dfe=r，所以q=r，所以pq=pr，所以pqr是等腰三角形例7 如图，已知在abc中，ab=ac，d是ab上一点，延长ac到e，

8、使ce=bd，de交bc于f，求证：df=ef解析：在bc上取一点g，使dg=db，所以b=dgb，又因为ab=ac，所以b=acb，所以dgb=acb，所以dgac，所以gdf=cef，dgf=ecf，又因为bd=ce，所以dg=ce，所以dgfecf，所以df=ef例8 如图，已知在abc中，acb=90°，cdab，垂足为d，ae是cab的平分线，交cd于f，fmab且交bc于m，则ce与mb的大小关系怎样？并证明你的结论答案：ce=mb解析：过e作egab，根据角平分线定理，可以得到ec=eg，又因为cae=gae，所以cea=afd，所以cef=cfe，所以ce=cf=eg

9、，又因为fmab，所以emf=b，所以cfmegb，所以cm=eb，所以ce=mb【模拟试题】一. 选择题：1. 下列各命题中正确的是（ ）a. 一个角的平分线是这个角的对称轴 b. 直角三角形的两条直角边是这个直角三角形的对称轴 c. 等腰三角形底边上的高所在的直线是这个等腰三角形的对称轴d. 等边三角形各边中线是它的对称轴2. 已知ad是等腰abc底边上的中线，下列结论正确的个数是（ ） bd=dc adbc b=c bad=daca. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个3. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为60°，则顶角为（ ）a. 30° b. 60

10、6; c. 120° d. 90°4. 直角三角形一条直角边长为，它所对的角为60°，则斜边上的高是（ ）a. b. c. d. 5. 三角形三边长为，满足，则这个三角形一定是（ ）a. 等腰三角形 b. 直角三角形 c. 等边三角形 d. 任意三角形二. 填空题：1. 等腰三角形的顶角是，底角等于 2. 在abc中，ab=ac，a:b=1:4，则c= 3. 等腰三角形两边长为和，则这个三角形的周长为 4. 已知abc中，ab=ac，a=50°，ab的垂直平分线交ac于d，则dbc= 5. 等腰直角三角形中，若斜边与斜边上的高的和为，则斜边为 三. 解答

11、题：1. 如图，abc中，ab=ac，c=30°，adab，ad=，求bc的长2. 如图，已知abc中，acb=90°，点d、e在斜边ab上，且ad=ac，be=bc，求ecd的度数 c b e d 【试题答案】一.1. c 2. d 3. c 4. b 5. c二.1. 55° 2. 80° 3. 4. 15° 5. 三.1. 2. 第十四章 整式的乘除与因式分解一、知识点总结：1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘

12、。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：3、积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（=4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：5、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：6、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项

13、式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：8、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加如：9、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确

14、定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：11、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如： 12、完全平方公式：公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意： 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。13

15、、三项式的完全平方公式：因式分解常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法注：乘法公式平方差公式：完全平方和公式：完全平方差公式：方法：1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1把分解因式例2把分解因式2. 公式法：根据平方差和完全平方公式3.配方法：例1分解因式4.十字相乘法：型和型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式例1把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 例2把下列各式因式分解：(1) (2)

16、 目标测评：基础题【1】填空：1. (-ab)3·(ab2)2= ; (3x3+3x)÷(x2+1)= .2. (a+b)(a-2b)= ;(a+4b)(m+n)= .3. (-a+b+c)(a+b-c)=b-( )b+( ).4. 多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .5. 如果（2a2b1）(2a2b1)=63，那么ab的值为 .【2】选择：6.从左到右的变形，是因式分解的为 （ ） a.ma+mb-c=m(a+b)-c b.(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3c.a2-4ab+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1) d.4x2-25

17、y2=(2x+5y)(2x-5y)7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）（a） （b） （c） （d）8. 如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(xy)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是 ( )a.x+y=7 b.x-y=2c.4xy+4=49 d.x2+y2=25【3】9计算：（1）（3xy2）3·（x3y）2； （2）4a2x2·（a4x3y3）÷（a5xy2）；(3) (4) (5) (6) （x+y）2（xy）2÷(2xy) 中档题【

18、1】10.因式分解： (2)（3）2x2y8xy8y （4）a2(xy)4b2(xy)(5) (6)（7）9a2(x-y)+4b2(y-x)； （8）(x+y)2(xy)1【2】11.化简求值：（1），x=1【3】12若（x2pxq）（x22x3）展开后不含x2，x3项，求p、q值【4】13对于任意的正整数n，代数式n(n+7)(n+3)(n-2)的值是否总能被6整除，请说明理由能力题【1】14下面是对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y 原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步） = y2+8y+16 （第二步） =（y+4）2 （第三步） =（x24x+4）2 （第四步） 回答下列问题：1.（1）第二步到第三步运用了因式分解的_ a提取公因式 b平方差公式 c两数和的完全平方公式 d两数差的完全平方公式（2）这次因式分解的结果是否彻底？_（填“彻底