概率论与数理统计ch5大数定理与中心极限定理

1、1第五章 大数定律和中心极限定理 关键词：马尔可夫不等式马尔可夫不等式 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理21 大数定律 11,.ninnXXEXXXYn：设是一列随机变量， 一定的则在随机变量序列收条件下敛到内容2nY问：（1）一定的条件是什么？ （ ）随机变量序列收敛到题的定义？3 随机变量序列依概率收敛的定义 1235.1,0,0,n+.nnnY Y Yalim P YaYaPYan 定义：随机变量序列若存在某常数 ，使得均有：则称依概率收敛于常数 ， 记为：, 当时aaa4性质：,( , )PPnnXa Yb ga b 在连续，则(,( , )Pnn

2、g XYg a b ）51(0, ),1,2,.,+0 .nPnXNnnnX 例：设则当时, :0,证明 对任意(|0|)nPX()()nnP XP X 001()()1/1/nn 21()n0n+., 当时(1),(| )0,;(| )1.5.1.1 kkkkYkkE YP YE YP Y 设随机变量 的 阶矩存在则对于任意都有：成定理马尔立定理的为：可夫不等式 ：等价形式 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式 ()kkYE YP Y特别地，当 为取非负值的随机变量时，则有722220, 1 P XE XP XE X 对于任意都有：为：等价比雪夫不等式：切( )f x82(),(),(| 3 )E

3、 XD XPX 设 则 例：2281.(3 )92( ,)8(| 3 )0.9974.9XNPX 当时， 91,()0,1(),nnnnXXE XD XXn设是随机变量序列, 则例：0.P 22:()1(|0|)0.nnD XPXn证明 利用切比雪夫不等式 例：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式计算,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nAX设在 重贝努里试验中，事件 出现的解次数为：，,0.75XB n则,0.75 ,0.187

4、5 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.760.750.01XPP Xnnn(2)20.187510.01nn 187510.90n 18750n(1)7500,0.740.760.750.01XnPPXnnn20.187510.01nn 187510.757500 几种大数定律 11, ,110, ,15.1.2nnniniiYYc nnPYcnY i 设为一个随机变量序列，若存在常数序列，使得当， 则称服从(弱)大定义：数定律.131221,1nnPkkXXXnXn 设相互独立，具有 相同的数学期望 和相同的方差，则当时,. 定理（切比雪夫大数定律）：21111:()

5、,(),nniiiiEXDXnnn证明22211:11(|)()0.nniiiiPXDXnnn利用切比雪夫不等式14121,1.ninPkkXXXEXnXn 设独立同分布， 则当定理（辛钦大数定 律） ： 11,0112,1niiiiXXP XiP XiP XiiX i 例：设相互独立，。试判断是否服从大数定律？()0,iE X解：22211()()0()()1,22iiD XE Xiiii11niiPXn 016 例：112111,( 1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn设独立同分布，则（），（ ），（ ）依概率收敛于什么？1()0E X解: 11nkkXn P01

6、11()E Xxdx112212211()E Xxdx112311nkkXn P12211nkkXn P1317 例：1112,(0,1),nnnXXXUX XX设独立同分布，则依概率收敛吗？如果依概率收敛，收敛于什么？11110,ln1(lnln),(ln)ln1,1.nnnnnnnPnYXXZYZXXnEXxdxZ 解：令 则1.nZPnYee ,AAPnnAApnpnn 设为 重贝努里试验中事件 发生的次数，并记事件 在每 次试验中发生的概率为 ，则有 定理（贝努里大数定律）： 当时. 1,1, 1,2, ,0, (1, ),.nAiiiinXiAXiniAXBp证明思路：易见其中第 次

7、试验中 发生；第 次试验中 不发生；且相互独立(或直接用切比雪夫不等式证明).大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义.贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，因此可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这是一种参数估计法，该方法的重要理论基础之一就是大数定律。2021(,)niiXN nn近似11niiXn近似2( ,)Nn122,nniiXXE XD X设X独立定理(独立同分布的中心极限定理同分布，则当)：足够大时2 中心极限定

8、理21 2201 ,1li( , ) (,(1)m( ).(1)2AtxAnnnAP AppxnnpPxedtxB n pN np nppnnpp 近似设为 重贝努里试验中 发生的次数，则对任何实数 ，有即，当 充推：论：分大时. 例：某宴会上提供一瓶6升(l)的大瓶法国红酒,假定与会者每次所倒红酒的重量服从同一分布,期望值为100毫升(ml),标准差为32毫升.若每次所倒红酒都是相互独立的,试问:倒了55次后该瓶红酒仍有剩余的概率约为多少?2()100,()32 ,1,2,55.iiiiXiXE XD Xi设为第 次所倒的红酒重量(单位:ml),则相互独立且 分布相同,解：55155 100

9、0,132 55iiXN近似根据独立同分布的中心极限定理:知 ，551 556000iiPPX所以倒了次后该瓶红酒仍有剩余600055 10032 55 2.110.9826. 55155 100600055 10032 5532 55iiXP 例：某校1500名学生选修“概率论与数理统计”课程,共有10名教师主讲此课,假定每位学生可以随意地选择一位教师(即,选择任意一位教师的可能性均为1/10),而且学生之间的选择是相互独立的.问:每位教师的上课教室应该设有多少座位才能保证该班因没有座位而使学生离开的概率小于5%.解：由于每位学生可以随意地选择一位老师，因此我们只需要考虑某个老师甲的上课教室

10、的座位即可.引入随机变量1150010(0,1).9115001010YN近似由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，知 1, 1,2,1500.0 iiXi第 个学生选择教师甲,，其它,(1,1/10).iiXXB则独立同分布，15001,(1500,1/10).iiYXYB记则aa设教室需要设 个座位，由题意知 需要满足95%P Ya1150010()1915001010a (1.645)95%,查表得，1501.645,135a故需169.11.a 解得故每位老师的上课教室应该至少设170个座位才能保证因没有座位而使得学生离开的概率小于5%. 例：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交

11、200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。200P XX解：设 为一年中投保老人的死亡数，(0,1)(1)XnpNnpp由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，知（近似），故保险公司亏本的概率为：1000010000200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案： 0.939,10000,0.017XB n pnp则125015050502111,( 1,1).111123.505050kkkkkkXXXXUXXX例：设随机变量相互独立同分布，分别求下列随机变量的近似分

12、布.（），（ ），（ ）5050502111111505050kkkkkkXXX由中心极限定理，均近似服解：从正态分布。1()0,E X因为，1(),E X1221(),E X1314(),12D X135011(0,),50kkXN近似115022111()() (),D XE XE X1125011( ,)50kkXN近似11，2 6002422111()() (),D XE XE X114594550211( ,).50kkXN近似123 112531 例：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理计算,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。32AX解：设事件 出现的次数为 ，,0.7