数学基础_拉氏变换

1、1自动控制原理自动控制原理数学基础拉普拉斯变换 刘宝刘宝 21. 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1.1 复变量和复变函数复变量和复变函数 一个一个复数复数包括实部和虚部，如果实部和虚部包括实部和虚部，如果实部和虚部都是变量，则称其为都是变量，则称其为复变量复变量。在拉氏变换中，。在拉氏变换中，复变量用符号复变量用符号s表示，表示表示，表示jsyxjFFsF)(一个一个复变函数复变函数F(s)是是s的函数，它具有实部和虚的函数，它具有实部和虚部部3幅值幅值：22yxFFAxyFF1tan 如果在某一域内，复变函数如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有阶导及其所有阶导数都存在，则称该复变函

2、数数都存在，则称该复变函数F(s)在该域内是在该域内是解析解析的的。 yxjFFsF)(相角相角：角度从实轴开始，沿角度从实轴开始，沿逆时针逆时针计算计算jRe0F(s)FxFy4在在s平面上，使函数平面上，使函数F(s)解析的点称为解析的点称为正常点正常点，使使F(s)为非解析的点称为为非解析的点称为奇点奇点使使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为及其导数趋于无穷大的奇点称为极点极点使使F(s)=0的点叫做的点叫做零点零点)32()3(2)(2jssssF且且p1为为2阶极点阶极点jpp32, 321极点为极点为例如例如21z零点为零点为51.2拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义dtetf

3、tfLsFst0)()()( 若若f(t)是是时间时间t的函数，且的函数，且t0时，时，f(t)=0; s是是复复变量变量, 则则f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s)定义为定义为由拉氏变换由拉氏变换F(s)求时间函数求时间函数f(t)的反变换过程的反变换过程称为拉普拉斯反变换，定义为称为拉普拉斯反变换，定义为dtesFjsFLtfjcjcst)(21)()(1其中常数其中常数c选择的比选择的比F(s)的所有奇点的实部都大。的所有奇点的实部都大。61.3 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换(1) 求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=

4、1(t)的拉氏变换的拉氏变换为为 。 (2) 求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。的拉氏变换。sAesAdtAesFstst00)(00000220011( )( )11(1)(1 1)11!2!limlimlimlimstststsF st edtedtesssess s17 （3）求指数函数）求指数函数f(t)= 的拉氏变换的拉氏变换ateaseasdtedteesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s)(t)11(t)1/s t1/(s+a)21 sate)(22s)(22ssteatsinteatcos22)( as22)(asa

5、s)sin(t)cos( t几个重要函数的拉氏变换几个重要函数的拉氏变换83. 拉氏变换性质拉氏变换性质设设 的拉氏变换为的拉氏变换为)(tf)(sF3.1 线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和拉氏变换之和)()()()(2121sbFsaFtbftafL3.2 积分定理积分定理011)()0(,)0()()(tdttffsfssFdttfLssFdttfLt)()(0不定积分不定积分定积分定积分93.3 微分定理微分定理)0()()(fssFtfdtdL)0()0()()(222fsfsFstfdtdL)0()0()0()0()(

6、)()1()2(21nnnnnnnfsffsfssFstfdtdL103.4 初值定理初值定理0(0)lim( )lim( )tsff tsF s3.5 终值定理终值定理0( )lim( )lim( )tsff tsF s 若若 存在存在)(f原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。 原函数的初值等于其象函数乘以原函数的初值等于其象函数乘以s的自变的自变量量s趋向无穷大时的极限值。趋向无穷大时的极限值。113.6 延迟定理延迟定理0),()(asFetfLs3.7 与与 相乘相乘ate)()(asFtfeLat124. 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换)()()(

7、)(21sFsFsFsFn)()()(sAsBsF4.1 求拉普拉斯变换的展开式求拉普拉斯变换的展开式拉氏变换常以如下形式出现拉氏变换常以如下形式出现如果如果F(s)被分解成下列分量被分解成下列分量并且并且F1(s),F2(s),Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易的拉普拉斯反变换可以容易得到，则得到，则)()()()()()()()(21121111tftftfsFLsFLsFLsFLtfnn134.2 只包含不同极点的部分分式展开只包含不同极点的部分分式展开).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnnpsapsapsasAsBsF2211)()()(

8、考虑下列因式形式的考虑下列因式形式的F(s)如果如果F(s)只包含不同的极点，则只包含不同的极点，则F(s)可展开成为下列可展开成为下列简单的部分分式之和：简单的部分分式之和：系数系数ak叫做极点叫做极点s=-pk上的留数，留数上的留数，留数ak可由下式决定可由下式决定( )( )lim ()()( )( )kkkkkspspB sB saspspA sA s14)3)(2)(1(1)(ssssF例例1：求函数：求函数F(s)的拉氏逆变换的拉氏逆变换321)(321scscscsF解：该式可以分解为如下形式解：该式可以分解为如下形式61)1()3)(2)(1(111sssssc其中其中151)

9、2()3)(2)(1(122sssssc15所以所以31101211511161)(ssssF101)3()3)(2)(1(133sssssc其对应的拉氏逆变换为其对应的拉氏逆变换为ttteeetf3210115161)(16例例222221( )(1)( )1(1)(1)(1)11,1,1111( )1(1)( )1ttF ss sabcF ssssa sbs scsabcF ssssf tete 求的逆变换解：则对应项系数相等得174.3 包含多重极点的包含多重极点的F(s)部分展开部分展开通过例子说明通过例子说明33221) 1() 1(1)()()(sbsbsbsAsBsF32) 1(32)(ssssFF(s)的部分展开式包括三项的部分展开式包括三项式中式中b1,b2,b3可确定如下可确定如下232)()()1(12133sssssAsBsb022)()() 1(1132ssssAsBsdsdb18所以所以其拉氏逆变换为其拉氏逆变换为1)22(! 21)()() 1(! 21132