3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

1、3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习目标】1熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.问题导学新知探究点点落实知识点一复数加减法的运算思考1多项式的加减运算实质是合并同类项，类比思考：复数1 = 1+21与22 = 3+I如何 加减？答案 类比多项式合并同类项，让两复数实部与实部、虚部与虚部分别相加、减，即(1+21)+(3+i)=4+3i, (l+2i)(3+i)=-2+i.思考2两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是 一个虚数吗？答案不一泄，如+(i)=0.思考3复数的加法满足交换律和结

2、合律吗？答案满足.1.运算法则：设zi = a+bu 22=c+di(e b、g dWR),贝ljzi+z2=(a+c)+(b+dX 21 Z2 =(Q C + (b 心.2.加法运算律：交换律Z1+Z2=Z1+Z1结合律（G + +习=G +（G +-3）知识点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意狡出发讨论复数加法的几何意义吗？第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的则运算答案 如图，设况】，ON分别与复数d+Zn, c+羽对应,则有0N=(eb),ON=(Gd).由平而向量的坐标运算，得d?i+0N=(d+c,b+d).这说明两个向量况】

3、和亦的和OZx + dZz就是与复数(a+c) + (b+Ci对应的向量，因此，复 数的加法可以按照向量的加法来进行.思考2怎样作出与复数ZJ-Z2对应的向董？答案Z1 Z2可以看作刁+ (22).因为复数的加法可以按照向虽:的加法来进行，所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与Z1-Z2对应的向量(如图).图中ON对应复数二1，ON对应复数习，则ZN对应复数ziz2.复数加减法几何意义的实质就是向量的平行四边形法则和三角形法则.题型探究类型一复数的加减运算例1计算下列各题：(1) (迄-苗)+(-返+半i)+l；(2)(-|I)(|)+i：(3)(5 - 6i)+(-2-2i) - (3

4、+3i).解(1)原式=(边一边)+(-羽+芈)+1=1-爭i.(2)原式=(_扌+5+(_*_壬+(3)原式=(5-2-3)+-6+(-2)-3i=-lli.反思与感悟复数的加减法运算就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减. 跟踪训练1已知复数z满足z+l+2i=10-3i,求z.解z+l+2i=103i, 2=(1031) +l) = 95i.重点难点个个击硕类型二 复数加减法的几何意义例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，儿C分别表示03+21,一2+4i.求：O(1L花表示的复数：(2)对角线百表示的复数：(3)对角线励表示的复数.解(1)因为2&=刃，所以疋表示的复

5、数为一3-21.(2)因为药=鬲一茨?，所以对角线石表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.因为对角线OB=ai + OC.所以对角线励表示的复数为(34-21)4-(-24-41)=1+&.反思 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用.跟踪训练2复数zi = 14-2i, Z2=-2+I,Z3= -1-2I,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解 设复数21，Z2.习在复平面内所对应的点分别为川，B、C.正方形的第四个顶点Z)对应的复数为x+.vi(x,R),如图.则15=场一鬲=(x+yi)(l

6、+2i)=(xl)+(y2)i,类型三 复数加减法的综合问题例3已知|z+l-i| = l,求|z3+4i|的最大值和最小值.解 方法一 设刃=23+4i, /.z=w+34i,.z+1i=w+45i.又|z+l-i| = l, A|w+4-5i|=l.可知 3 对应的点的轨迹是以(-4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，+ min = 7石一1.方法二 由条件知复数2对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心，1为半径的圆, 而|z-3+4i| =|z(341)|表示复数z对应的点到点(3, 4)的距离，F_i=i,b_2 = _3,x=2,解得仁 7故点D对应的复数为2i./(x-l)+

7、(y-2)i=l-3i.在圆上与(3, 4)距离最大的点为距离最小的点为如图(2)所示， 所以|z34-4i|max=/41 +1,|z3+4i|mm=/41 1.反思与感悟|Z1-Z2|表示复平面内九22对应的两点间的距离利用此性质可把复数的模的 问题转化为复平面内两点间的距离问題，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问 题求解.跟踪训练3设 G，Z2C,已知|刁|=片2| = 1，片1+习| =辺，求ziz2.解 方法一设Z2=c+di(a,b, c,WR).由题意，知a1 2+b2=l, c2+*=l.(a+c)2+(b+C2=2,：.2ac-2bd=Q,/ ziZ22=c)2+(

8、bd)2=a2+c2+b2+d22ac2bd=2 |ziZ2|=A/2.方法二 设复数药，Z2, Z1+Z2分别对应向tdZi,OZ2,5Z.V|ZI| = |Z2| = 1, |ZI4-Z2|=V2,平行四边形OZ1ZZ2为正方.A|zi-z2|=|Zi| = |dZ|=V2.1若(l+i)+(2-3i)=a+ZH(e bGR, i是虚数单位)，则 eb的值分别等于()A.3, -2B.3,2C.3,一3D.-L4答案A解析(l+i)+(23i)=32i=a+乩a=3,b=2.故选A.2在复平而内，点对应的复数为2+31,向量鬲对应的复数为一1+21,则向换对应的复数为()A.l + 5iB

9、.3+i C-3-i D.l+i答案B解析向量对应的复数即为/点对应的复数，又因为芮=鬲一场，而(2 + 3i)(l+2i)=3+i,故向量芮对应的复数为3+1,故选B3若复数zi = 2+i,Z2=1+2I,则复数zi-Z2在复平而内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案C解析ZI-Z2=(-2+I)-(1+2I)=(-2-1)+(I-2I)=-3-I,故zi-z2在复平面内对应点的 坐标为(一3, 1)在第三象限.4.在复平而内，复数刁、Z2、z的对应点分别为Zi、Z2、Z,已知OZ=dZi-hdZ2,zi = l+c,zi=b-2uz=3+4i(a,

10、 6ER),则a+b=_ .答案8解析由条件知z=Zi+z2,(l+c)+(b21)=3+41,fl+b=3,即(l+b)+(a2)i=3+4i,由复数相等的条件知，宀: b=2、a=6, a+b=8.172=4,- 国规律与方法 -j1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算-2复数加法的几何意狡就是向董加法的平行四边形法则.复数滅法的几何意爻就是向量减法达标检测的三角形法则.40 分钟课时作业强化训练拓展提升一、选择题1.已知 =2+i, Z2=l2i,则复数z=z2zi对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析Z=Z2-ZI=(1-

11、2I)-(2+I)=-1-3I.故z对应的点为(一1,一3),在第三象限-2.向量ON对应的复数是5-41,向虽0N对应的复数是一5+41,则OZi + OZ2对应的复数是()A 10+8i B.10-& CO D.10+81答案C解析由题意可知dZi = (5, -4),旋2=(5,4),OZI+OZ2=(5, 4)+(5,4)=(5 5, 4+4)=(0.0).ON+0N对应的复数是o.3设比)=|z|, 21 = 3+41,刃=一2i,则比LZ2)等于()A.ViO B.5A/5 C.2 D.5边答案D解析ZI-Z2=5 + 5I, .-.I-2)=5 + 51)=15 + 5x

12、1=52.4若复数z满足z+(3-4i)=l,则z的虚部是()A-2 B.4 C.3 D4答案B解析z=l-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.5复数G=a+4i,勺=一3+乩若它们的和为实数， 差为纯虚数， 则实数a, b的值为()A.Q=3,b=4B.a= 3,b=4C.a=3,b=4D.a=3, b=4答案A解析 由题意可知zi+z2=(a 3)+(b+4)i是实数，ziZ2=(a+3)+(4b)i是纯虚数，故2+4=0,* + 3=0,解得a=3,b=-4.4bH0,6.若zi=2+i, Z2=3+m(aWR),且zi+z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A3 B.2 C.l

13、 D.-1答案D解析2i+22=2+i+3+m=(2+3)+(l+a)i=5+(l+a)i.21+22所对应的点在实轴上，l+a=0, a= L44 447.若|z|+z=3+i,则z等于()A.l-p B.l+pC.j+i D-j+i答案C解析 设z=x+yi(x, yR),由|z|+z=3+i,得辰序+x+vi=3 + i,即解得卜一了所以z=4+b=i，l，=i,当堂检测巩固反馈1.二、填空题8._已知|z|=4,且z+2i是实数，则复数2=答案23-21解析 z+2i是实数，可设z=a2i(aWR),由|z|=4,得+4=16, 02=12, .=25,:.z=2y/3-2i.9.在平

14、行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为2。=0,立=2+,站=一2+3】，zc=b+ai,则实数ab为_ .解析 因为ai + OC=OB9所以2+%+(-b+m)=-2a+3i,10._已知复数G = (a2 2)+(a4)i,22=d(Q2 2)i(aGR),且刁一习为纯虚数，则Q=_答案一1解析药一22=(，一a 2) + (a4+，一2)i(aGR)为纯虚数，11.在复平而内，O是原点，ai. OC. AB对应的复数分別为一2+u 3+21、1 + 5“那么荒对应的复数为_.答案4一4】解析ic=dc-(55=dc-(ai+.l5)=3+2i-(-2+i+i+5i)=(3+2-1)

15、+(2-l-5)i=4-4i.三、解答题12.已知习=(3x+$)+()，4x)i, Z2=(4y2x)(5x+3y)i(x,R),设2=21三2=132i,求Zl Z2.解Z=Z1Z2=(3x+y)+64x)i-(41/-2.Y)一(5-v+ 39)i= (3-v+l/) -(41/一2t)+(!/一4-V)+(5-v+3L/)i=(5x-3y)+(x+4y)i,得ab= 4.a?a2=0,W+a6H0,解得a= l.又Vz=13-2i(x,WR),Azi=(3X2-l)+(-l-4X2)i=5-9i, z2=4X(-l)-2X2-5x2+3x(-i)i=-8-7i.13已知平行四边形毎CD中，-正与it对应的复数分別是3+2与1 +41,两对角线2C与BD相交于P点求位)对应的复数；(2)求厉对应的复数：(3)求厶丿肋的而积.解(1)由于MCD是平行四