研究生矩阵论课后习题答案全习题三

1、习题三1证明下列问题:(1)若矩阵序列Am收敛于A，则Am收敛于AT， Am收敛于A ；(2)若方阵级数CmAm收敛，则m 0mCm Am 0Cm(AT)m.m 0证明：(1)设矩阵Am(a(m)nn,m 1,2,A(a(im)nn , Am(aij(m)n n , m1,2,A (aij)nA(aji )n n， A(aij ) n n ,若矩阵序列 Am收敛于A，即对任意的i,j 1,2,n，有lim a(im(m) jilim a(m)maij ,aji ， mm aj) aij， i, j 1,2, n，Am收敛于a ,Am收敛于A.设方阵级数cmAm的部分和序列为m 0S1,S2,S

2、m ,其中 Smc0c1AcmAm.若Cm A收敛，设其和为S，即m 0mCm Am 0S，或 lim Smmlim S； ST.m而级数Cm(AT)m的部分和即为sm，故级数Cm(AT)m收敛，且其和为ST ,TmCmAm 0Cm(AT)m.2.已知方阵序列 Am收敛于A，且Am1 , A 1都存在，证明:(1)lim A|A ；( 2)lim a；1A 1.证明：设矩阵Am(a(m)n n，m 1,2, A (aij)nn，若矩阵序列 Am收敛于A，即对任意的i, j 1,2, ,n，有(m)lim a”aj.mnan,jn，有mJn(na(1)由于对任意的j1 , j2,limmm)j(

3、2am j<a1limmm'(na故(2)因为A()jn)ai jia2j2anjj1 j2 jnmmAm|A.Am11 (A(m) A 1 Am (Aj)nn，A(Aij其中A(m),Aj分别为矩阵Am与A的代数余子式与(1)类似可证明对任意的i, j 1,2, n，有lim A(m)Aj ,m结合有lim Am1Am即3.设函数矩阵A(t)si ntcosttsi nt tt et210t3d2其中t0，计算何知,dt2A(t),dt A(t)，ddtA(t)解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有moIim sin t t osin tImH tIim costt

4、oIim ett oIim 0t 0Iim tt 0Iim t2t 0Iim t3t 0010110 ；100(sin t)(cost)t(2)护)(竽(et)(t2)10(t3)tcost sintt e2tt2003t2costsin t 1cost 0et206t(4) A(t)dtsintsintcostt2t3t 23e 3t si nt t (sint cost) t1 t(2cost tsint)t(sin 2tcos2t)(5)dtt cost sin tt2tt20e03t2-JA(t)costsin t 12sin t2(3)A(t) (A(t)(2 tsin t 2t c

5、ostdtdt dt02x02 t3t e cost 3sin t(t cost si nt).4设函数矩阵2xx2e xe xA(x) e x 2e2x03x 001dA(t)dt计算 A(x)dx和0dx解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有(1)10A(x)dxe2xdx1x ,xe dx1 2x dx00e xdx12e2xdx0013xdx00101010(e2 1)1 e1321300(2)ddx 0x2A(t)dt=2xA(x2)=2x2ex2e3x22 x2x e2e2"04x005.设y (yjt), y2(t), yn(t)T , A 为 n

6、阶常数对称矩阵，f(y) yT Ay ,证明:(1)(2)dfdtddt证明:2yTAdy ；dt2yT史dt(1)兰dt(yTAy)(yT) Ay yTAy (yT) Ay)T yT Ay2yTAy2yTAdy，2y雪d t、dt(yy)6.证明关于迹的下列公式：pltr(XxT) dXpl(2)dy：(1)dXd(2)dXd(3)dXtr(XTX) 2X ；tr(BX) tr(XTBT) BT ； dXtr(XTAX) (A At)X .其中 X (xij ) m n B (bij ) n m，A (aij )m mmmm证明：(1)因为tr(XXT) tr(XTX)x：,i 1 j 1而

7、m n(x2) 2Xj ,Xj i 1 j 1故(2)因为pldXtr(XxT)pl护心)2XmBX (bik Xkj ) n n ，k 1n mtr(BX) tr(XTBT)bjkXkj ,j 1 k 1n mbji，(bjk xkj )Xijj 1 k 1故(3)因为pldXtr(BX)d tr(XTBT)dXBt .X11X21Xm1xtX12X22Xm2XmX2nXmnAXalkxk1a1kXk2a1kXknk 1k 1k 1mmma2kXkla2kXk2a2kXknk 1k 1k 1mak 1mmkXk1k 1amkXk2mamkXknk 1故mmmmmmtr(XtAX)(X|1ai

8、k Xk1)(Xljalk Xkj )(XinaikXkn)l 1k 1l 1k 1l 1k 1则mmtr(XT AX)(XljalkXkj )XijXijl 1k 1mX|jmm-aQGjXlj(a Xkj)l 1Xijk 1Xijk 1mmaik xkjaiiX|jk 1l 1故7证明:软(xtax)AXatx(A At)X .ddX7(aTb)bTdadbdXTTa dXT其中a(X),b(X)为向量函数证明：设a(X) (ai(X), a2(X), ,am(X )T ,b(X) (bi (X), b?(X), ,bm(X)T ,aT(X)b(X)ai(X)b(X)，i 1故它是X的数量

9、函数，设f(X)aT(X)b(X)，ddT(aT(X)b(X)X2xn)叫(X)ai(X)b(x)XiMb(X) ag*XnXnm(i 1Xabi(X),im±bi(X),1 X2叫(X)Xn(爲(X) bi(X)i 1Ximai(X) bi(X)i 1X29i(X)止)XnbT芈dXTt db9 dd?X1,X2 中的点(X1,X2)T，分8.在R2中将向量(捲,x2 )T表示成平面直角坐标系别画出下列不等式决定的向量X (X1, X2 )T全体所对应的几何图形：(1) X 11, (2) X21, (3)|x 1.解：根据| XLX1X21,|x|2v X12X； 1, IXma

10、xxX21，作图如下:xX2max Xi, x2|2XiX2|Xn,Xn,2，2X2Xn由于(max x1, x2故即Xn )i 22Xix22X22Xn( XiX2x2Ni2，Xn )2 ,9.证明对任何x,y Cn，总有Tx yTy xi2(x2y 2 xy 2).证明：因为Xy；(Xy)T(Xy)T XTx x yTTy X y yl|xy；(xy)T(Xy)TXTx x yTTy X y y故2(xy；IIx y22)Tx y-Ty x10.证明：对任意的x Cn，有x X2 X证明：设 X (xX2, ,Xn)T，则|x|iXi设 X (X1,X2, Xn)T,则X X2 Xi.21

11、.设 ai, a2,an是正实数，证明：对任意X (Xi,X2, , Xn)T Cn，是Cn中的向量范数证明：因为(1)|xaiXi0,且X(2)kXk aiXiaiXik| X ；(3)对于Y(yy2,yn)T Cny1,x2Xnyn),Y2aiXiyiai Xiaiyi2X Y (XY)2因此XaiXi是C中的向量范数12.证明:Y.n max aij1 i ,j n ij是矩阵A (aj)n n的范数，并且与向量的1范数是相容的证明：因为(1) |a| n maX aij0,且 A O 制 0；网I门巴泸耳knmaXnaijA；n maxaijbijn maxa0n maxbj1 i,j

12、 n1 i,j n1 i,j n A BA BnnnAXnaijXjj inmaXa1j jXj1nmaxa2iXj1 j n j j 1 jnmaxanjXj1 j n j 1n max aij1 i,j n ijXjA X1因此An max aij是与向量的1 i ,j n J1范数相容的矩阵范数AX (aijXj, a2jXj, anjXj),j 1j 1j 1nanjXjj 113. 设A Cn n，且A可逆，证明：|Al IA1.证明：由于AA11,11,则1 川 Iaa1 |a|a1|,故|aJ IA1.14. 设A Cn n，且|A 1,证明：I A可逆，而且有(1) |(I A

13、)(2)|(| A) 1 IIA1 A证明：(1)由于(I A) 1 I (I A) 1A,(IA)1 I(I"A 卩 | |(IA)(IA)(2)因为(IA)I A,两边右乘(I A)1,可得(IA) 11A(I A),左乘A,整理得A(IA)1AA(I A),AdA)1 AAA(IA)1 A A A(I A) 1 ,(IA) 1|A1 ACn n k lJ J(1)kA kl e e(k l)AA 1Ae，特别地(e )e ；(2)当ABBA时，eAeBB AA Be e e ；(3)d At e dtAeAteAtA ；(4)当ABBA时，sin( AB) sin AcosB

14、cosAsin BC证明:15.设 A,B证明:(1)e(kl)A(k I)nAnn!1o n! m 0Cm(kA)m(IA)n m1mCI(I m)!m(kA)m(IA)Io i o (I m)!1 (I讪(怕气阳I!m!m 01 0 I! m!1(kAniA)丄(kA)m m 0 m!101(kA)IkA IA e e又因为e°eA(A)Ae A(e(2)当 ABBA时,二项式公式成立,+(A n!I。1"同理，(AB)ncnmAnm 0B)n10 n!cnmAn0(I m)!Bm0 m!C|mm10 I!m!丄B m 0 m!1 由于幕级数1 Antn对给定的矩阵 A

15、,以及任意的t都是绝对收敛的n 0 n!对任意的t都是一致收敛的,因此科可对此幕级数逐项求导同理，有d Atedt因为iA e0 dtiA又当ABBA时,sin(A B)同理，可得1Ant n!n 1 (nAnt =1)!Altll!"AAe ,d At e dtd At e dt-A22!丄A2!cosA(I1e2i1 r/ A (cosA 2isin AcosBi(A B)Altl。市AeAt1iA33!1a4!i sin AeAAeAtA.14-A44!1i(A A3!sin A丄砂2iiA).ei(AB)12iiAe eiBiA iBeisin A)(cosBcosAsin

16、Bsin(A B)isin B)(cosAi sin A)(cosBsin AcosB cos A sinB16.求下列三类矩阵的矩阵函数cos A, sin A, eAi sin B)2(1 )当A为幕等矩阵(A A)时;(2) 当A为对合矩阵(A I )时；(3) 当A为幕零矩阵(A20)时.11解:(1)A2A,设矩阵A的秩为r ,则A的特征值为1或0,A 可对角化为11APIr0J,sin1sin AP sin JP 1sin1(sin 1)PJP(sin 1) A ，cos1cosAP cos JPcos1cos1P1I (cos11)PJP(cos11)AA2J21e1ePeJ P

17、1PP1111e111e1P1P 1 P0P10I (e11)PJP 1(e1)A(2) 当 A2I时，矩阵A也可对角化，A的特征值为1或1,A可对角化为J,1P 1 AP其中 1 有 m 个 . 则sin1sin A Psin JP 1 Psin1sin1P1sin11(sin 1) PJP 1 (sin 1) Acos11cosA PcosJPcos11P 1 (cos1) IPcos1cos1eA2 eJ 2 1PeJ P 1ePP 1 eIee(3)当A O时，A的特征值均为0,则存在可逆矩阵 P ,使得1P 1 AP J,A PJPJ1 其中 J ,Jm又 A2 O, 则2 2 1A

18、2 PJ2P 1 O,于是J12J 2 OJm2故Jordan块J k的阶数最多为2,不妨设Jk 0 (k 1, ,r), Jk00 10B (k r 1, ,m),则eiJkiJk1 ie0 1故iJkee k e k则iJke kB1, e iJk 1 (k 1,r)；iJ k 1ie(k r 1,m).0 1e iJk0(k1, ,r),0 2i1B (k r 1, m),002ie iJk 2 (k 1,r),因此JJ20kkee2I (k r 1,m).020iJiJ10e e12iB2i所以使得iJ e21，1 z iAsin A (e2i1 i cosA(e2iA)iA1iJP(

19、e2i1 iJP(e2eA2eOIeiJ)P1eiJ)P1 1(2i)PJP 1 A, 2i1 12PIP 1 I ,217.若矩阵A的特征值的实部全为负，则Atlim et证明：设A的特征值为iaib j，j1APJ,AJ1O.1,aiPJP其中J，JiJ m0,则存在可逆矩阵 P,AtJt ce Pe Pj2t eP 1,eJmt1it1t1te tet ni ie (ni1)!其中eJite itte itte 1e ittimeitlim eaittjbitlim eait (cosbjtj sin bit),且 ai 0 ,故 lim eit0，因此 lim eJittO,则 lim

20、 eAtO.18计算eAt和sin At，其中:200(1)A010 ；01101 0(2)A101;010010(3)A001 .61161 0解：(1)设J12,J2,则1 1JiJ2由于At e2t eeJ2t，Sin Atsin 2tsi n J2tteto tesint 0sin J2ttcost sintAt e（2）该矩阵的特征多项式为00 , sin Att e1()10 1e2t00et0tetsin 2t00si nt0t cost013700sin t取小多项式为m()319.计算下列矩阵函数：221（1）A131，求 A100 ；122425（2）A649 ，求 eA；

21、53701.A(3) A，求 arcsin ;4441681（4）A,，求（IA) iAiAI iAiAsi nA(e e ), cosA (e e )2i2及A"8420证明:.2 .2A 2 iIAsin AcosA I , ee ,其中A为任意方阵 证明:因为21 iAiA 21 2iA2iAsin A (e e ) (e e 21),442 .1 , iA iA、21 / 2iA 2iA xcos A (e e ) (e e 2I),44则2 2sin A cos A I .21.若A为反实对称（反Hermite )矩阵，则为实正交（酉）矩阵（2）因为矩阵2 iI的特征值均为2 i,故存在可逆矩阵P,使得2 i e12 iI eP1 1P 1 PP 12 i e1则A 2 iIAee2 iIA.Aee I e证明：因为Ak,又0 k!n Ak!n (Ak)k!(eA)