数理统计基础稻谷书苑

1、第一章第一章 数理统计基础数理统计基础 与概率论一样与概率论一样,数理统计也是研究大量随机现数理统计也是研究大量随机现象的统计规律的一门数学学科象的统计规律的一门数学学科,它以概率论为它以概率论为理论基础理论基础,根据试验或观察得到的数据根据试验或观察得到的数据,对研究对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和科对象的客观规律性作出种种合理的估计和科学的推断学的推断.数理统计主要研究两类问题数理统计主要研究两类问题: (1) 试验的设计与研究，即如何合理有效地获试验的设计与研究，即如何合理有效地获得数据资料得数据资料. (2) 统计推断，即如何利用获得的数据资料统计推断，即如何利用获得的数据资

2、料,对所关心的统计问题作出尽可能有效可靠的对所关心的统计问题作出尽可能有效可靠的判断判断. 从本章起的接连六章从本章起的接连六章,是数理统计学的初步是数理统计学的初步,主主要讲述估计与检验等原理要讲述估计与检验等原理,回归分析与方差分回归分析与方差分析析,试验设计等统计方法试验设计等统计方法.1教学运用1 数理统计中的几个概念数理统计中的几个概念1.1 总体与个体总体与个体 我们将研究对象的全体所构成的一个集合称为总总体体或母体母体,而把组成总体的每一单元成员称为个体个体.如为研究某厂生产的电子元件的使用寿命分布情况，则总体为该厂生产的所有电子元件，而每一个该厂生产的电子元件都是一个个体. 2

3、教学运用 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体总体,总体中的每个元素称为个体个体. 比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用x表示. 为方便起见，今后我们把总体与随机变量x等同起来看，即总体就是某随机变量x可能取值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究. 3教学运用1.2 简单随机样本简单随机样本 对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息. 一般采用两种方法：

4、一般采用两种方法： 一是全面调查一是全面调查.如人口普查，该方法常要消耗大量如人口普查，该方法常要消耗大量的人力、物力、财力的人力、物力、财力.有时甚至是不可能的，如测试有时甚至是不可能的，如测试某厂生产的所有电子元件的使用寿命某厂生产的所有电子元件的使用寿命. 二是抽样调查二是抽样调查. 抽样调查是按照一定的方法，从抽样调查是按照一定的方法，从总体总体x中抽取中抽取n个个体个个体.这是我们对总体掌握的信息这是我们对总体掌握的信息.数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、估计、推断估计、推断.因此，要求抽取的这因此，要求抽取的这n个个体应具有很个

5、个体应具有很好的代表性好的代表性.4教学运用 按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为随随机抽样机抽样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样本样本. 从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本简单随机样本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.5教学运用 从总体x中抽取一个个体,就是对随机变量x进行一次试验.抽取n个个体就是对随机变量x进行n

6、次试验,分别记为x1,x2,xn.则样本就是n维随机变量(x1,x2,xn).在一次抽样以后, (x1,x2,xn)就有了一组确定的值(x1,x2,xn),称为样本观测值样本观测值.样本观测值(x1,x2,xn)可以看着一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间,称为子样空间子样空间.6教学运用niinxfxxxf121)(),.,(niinxpxxxp121)(),.,( 定义定义:设x是具有分布函数f(x)的随机变量,若x1,x2,xn是具有同一分布函数f(x)的相互独立的随机变量,则称(x1,x2,xn) 为从分布函数(或总体f(x) 、或总体x)得到的容量为容量为n

7、的简单随机样本的简单随机样本,简称样本.它们的观察值(x1,x2,xn )称为样本值样本值,又称为x的n个独立的观察值. 若(x1,x2,xn) 为x的一个样本,则(x1,x2,xn) 的联合分布函数为 若x具有概率密度p(x),则(x1,x2,xn )的联合概率密度函数为7教学运用总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就

8、是样。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体去推断总体8教学运用1.3 统计量统计量 定义：定义：设(x1,x2,xn )是来自总体x的一个样本,g(x1,x2,xn)是关于x1,x2,xn的一个连续函数且g(x1,x2,xn)中不含有任何未知参数,则称g(x1,x2,xn)是样本(x1,x2,xn )的一个统计量统计量. 设(x1,x2,xn )是相应于样本(x1,x2,xn )的样本值,则g(x1,x2,xn)称是g(x1,x2,xn)的观察值观察值.9教学运用1.3 常用的统计量常用的统

9、计量 niixnx11:样本均值 设(x1,x2,xn)是来自总体x的一个样本,则niixxns12)(11:样本标准差niixxns122)(11:样本方差,.2 , 11:1kxnaknikik阶原点矩样本,.2 , 1)(1:1kxxnbknikik阶中心矩样本10教学运用niixnx11:样本均值观察值 设（x1,x2,xn）是样本(x1,x2,xn)的观察值,则niixxns12)(11:样本标准差观察值niixxns122)(11:样本方差观察值,.2 , 11:1kxnaknikik阶原点矩观察值样本,.2 , 1)(1:1kxxnbknikik阶中心矩观察值样本11教学运用 若

10、总体均值若总体均值e(x)e(x)存在，总体方差存在，总体方差d(x)d(x)存在，则存在，则由由x x1 1,x,x2 2,x,xn n的独立性及同分布性，有的独立性及同分布性，有12ne xe xe xe x12nd xd xd xd x12()kkkkne xe xe xe x12教学运用nxdxe2)()(证明证明niiniixenxnexe11)(1)1()( 定理定理:设总体x的均值为,方差为2,(x1,x2,xn)是x的一个样本,则有21211)(1)1()(nxdnxndxdniinii13教学运用22)(se 定理定理:设总体x的均值为e(x)=,方差d(x)=2,(x1,x

11、2,xn)是x的一个样本,则有证明证明212)(11)(niixxneseniixnxne122)()(11)()(11221xnexenniiniixxne12)()(112221)(11 )()(11nnnnxndxdnnii14教学运用nxdxe2)()().,(2nnx故有又服从正态分布因为证明,x).,(,),(),.,(:2221nnxnxxxxn则样本均值的一个样本是来自总体设定理15教学运用解解 (),()25 16,e xd x因为).1625,(nx故有221.625 1625 16xp xpp u(1.6)( 1.6)2(1.6) 12 0.9452 10.8904 16

12、教学运用2 数理统计中常用的三个分布数理统计中常用的三个分布2.1 2分布分布2.1.1 2分布的概念分布的概念17教学运用2分布的的密度函数的示意图18教学运用2.1.2 2分布的构造分布的构造 定理定理:设x1,x2,xn是相互独立的随机变量,且xin(0,1),则统计量)(.2222212nxxxn.),(,22平方和的标准正态随机变量的个相互独立可分解为则若反之nxn19教学运用2.1.3 2分布的性质分布的性质nxexeeniinii12122)()()( 定理定理:设12 2(n1), 22 2(n2),且12与 22相互独立 ,则12 + 22 2(n1 + n2).证明证明 由

13、分布的可加性即可证明. 定理定理:若2 2(n), 则e(2)=n,d(2)=2n.证明证明 因xin(0,1),故e(xi2)=d(xi)=1; d(xi2)=e (xi4)-e(xi2)2=3-1=2, i=1,2,n于是nxdxddniinii2)()()(1212220教学运用2.1.4 2分布的上分位点分布的上分位点对于对于(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:)(222)()(ndxxfpnn的点的点n2( )为为n2分布的上分布的上 分位点分位点.2(n)21教学运用2.2 t分布分布2.2.1 t分布的概念分布的概念22教学运用t分布的的密度函数的示意图23教学运用2.2.

14、2 t分布的构造分布的构造24教学运用2.2.3 t分布的性质分布的性质(1) f(t)(1) f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称，且 e(t)=0，d(t)0 x,e21) t () t ( flim2tn2(2) f(t)(2) f(t)的极限为n(0n(0，1)1)的密度函数，即 25教学运用2.2.4 t分布的上分位点分布的上分位点 设t tt(n),t(n),对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足条件称满足条件: :)()()(ntdttfnttp的点t tn n( ( ) )为为t t分布的上分布的上 分位点分位点. .t(n)26教学运用注注:)()(1ntnt)(1

15、nt)(nt27教学运用2.3 f分布分布2.3.1 f分布的概念分布的概念28教学运用f分布的的密度函数的示意图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)o29教学运用2.3.2 f分布的构造分布的构造 定理定理:设x 2(n1),y 2(n2),且x,y独立,则随机变量),(/2121nnfnynxf ./)(),(),(,21221221nynxfnynxnnff使量则有相互独立的随机变若反之30教学运用2.3.3 f分布的上分位点分布的上分位点设f (n1,n2) ，对于给定的a,0a1, 称满足条件的点的点f f ( (n1,n2) )为为f f分布的上分布的上 分位

16、点分位点. .of(n1,n2),(2121d)(),(nnfyypnnffp31教学运用2.3.4 f分布的性质分布的性质),(1),(12211nnfnnf定理：定理：1),(211nnffp证明证明:设设ff(n1,n2),则则1),(11211nnffp),(112nnff),(11211nnffp),(112nnffp得证得证!32教学运用解解 因此有 101244. 1iixp101209. 044. 13 . 0iixp1012163 . 0iixp1 . 033教学运用91291)(iiiiyxz试确定z的分布. 解解 由样本的同分布性知： 9 , 2 , 1),9 , 0()

17、,9 , 0(inynxii由此得： ) 1 , 0(9191nxii)9(932912291iiiiyy由t分布的构造知: )9(99919129191291tzyxyxiiiiiiii34教学运用. , 10,)p(x ),1,0(分位点为标准正态分布的上则称点满足条件若设uuunx57. 2645. 1u u 57. 2645. 1u 995. 00.95- 1005. 00.05uuu查表可知0 x)(xu1u35教学运用3 一个正态总体下的统计量的分布一个正态总体下的统计量的分布nxdxe2)()().,(2nnx故有).,(,),(),.,(:2221nnxnxxxxn则样本均值的

18、一个样本是来自总体设定理证明证明又服从正态分布因为,x36教学运用) 1()() 1()2(221222nxxsnnii 定理定理:设(x1,x2,xn)是来自总体xn(,2)的一个样本,则;) 1 (2相互独立与样本方差样本均值sx37教学运用) 1()(ntsnx) 1 , 0()(/, ),(2nxnnxnnx即因为) 1()() 1(221222nxxsnnii又且它们表示的随机变量是相互独立的,故则本方差分别为其样本均值与样与一个样本的是来自总体设定理,),(),.,(:2221sxnxxxxn证明证明) 1(/ )() 1() 1(22ntsnxnsnnxt38教学运用解解 ) 1

19、 , 0(/2nnxnx(0.05)(10.95)/20.975n) 1 . 0|(|xpnnxnp/21 . 0/2/21 . 0)05. 0()05. 0(nn95. 01)05. 0(2n所以39教学运用解解 )9(4) 110(22s222999(2.622)2.6225.8995 ,444p spsps查表得 899. 5)9(275. 0 x则有 75. 0)622. 2(2sp由于40教学运用4 两个正态总体下的统计量的分布两个正态总体下的统计量的分布yyxxniiyyniiyyynyniixxniixxxnxyynsynynyyyyxxnsxnxnxxxxyx122122112

20、21221)(11,1,),(),.,()(11,1:),(),.,( ,的一个样本是来自总体的一个样本总体是来自相互独立与设总体41教学运用) 1 , 0(/)()(22nnnyxyyxxyx定理：定理：证证 独立与由于),(),(22yyyxxxnnynnx),(22yyxxyxnnnyx所以) 1 , 0(/)()(22nnnyxyyxxyx因此42教学运用)2(11)()(yxyxwyxnntnnsyx2) 1() 1(222yxyyxxwnnsnsns其中 注注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.则本方差分别为其样本均值与样与一个样本的是来自总体值与样本方差分别为其样本均与的一个样本总体是来自相互独立与设总体定理;,),(),.,( ;,),(),.,( ,:22212221yynyxxnxsynyyyysxnxxxxyx43教学运用),(2xxnnx) 1 , 0(11)()(nnnyxuyxyx),(2yynny) 1() 1(222xxnsnx) 1() 1(222yynsny)2() 1() 1(22222yxyyxxnnsnsnv)2(11)()()2/(yxyxwyxyxnntnnsyxnnvut 证明证明: (1)因为所以(2)因为(3)故所以44教学运用) 1, 1(2222yxxyy