第一章3简谐运动的图像和公式

1、学案3简谐运动的图像和公式学习目标定位1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息xt图像是描述物体的位移与时间关系的图像，由图像可知任意时刻物体的位移某时刻物体的速度等于这一时刻图像的斜率一、简谐运动的图像1坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)2图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线二、简谐

2、运动的表达式及相位1表达式：简谐运动的表达式一般可以写成xAsin_(t)，其中，f，综合可得xAsin (t)Asin_(2ft)2各符号的意义：A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率，“2ft”这个量叫做简谐运动的相位，t0时的相位叫做初相位，简称初相三、简谐运动的相位差概念：指两者振动的相位之差在实际中常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，数值上恰好等于它们的初相之差一、简谐运动的图像问题设计1我们研究直线运动时，经常使用xt图像和vt图像来描述物体的运动，对于简谐运动也可以用运动图像来描述它的运动情况甲、乙两同学合作模拟简谐运动的xt图像如图1所示，取一张白纸，在

3、正中间画一条直线OO，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO方向振动画线，乙同学沿OO方向水平向右匀速拖动白纸图1(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？答案(1)是一条垂直于OO的直线(2)轨迹如图，类似于正弦曲线2绘制简谐运动的xt图像如图2所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线若以振子的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是振子的位移时间图像图2(1)为什么这就是振子的位移时间图像？(2)位移时间图像与什么函数图像

4、类似？答案(1)以单摆为例，当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动所以薄板运动的距离与时间成正比因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻振子离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律(2)与正弦(或余弦)函数图像类似要点提炼1如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动，它是最简单、最基本的振动弹簧振子的运动就是简谐运动2图像的应用(1)确定位移及变化从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从最大位移处向平衡位置运动过程中位移减小，从平衡位置向最大位移处运动过程中位移增大(2)确定各时刻速度的大小和方

5、向方法一：切线斜率法切线斜率的绝对值表示速度大小，切线斜率的正负表示速度方向方法二：根据实际情况判断速度的方向结合质点的实际运动方向判断速度的大小根据位移情况判断：在平衡位置，质点速度最大；在最大位移处，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大二、简谐运动的表达式及相位差问题设计1将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时释放两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.2将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后

6、同时释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们各时刻的位移总是相反，相位差为.3正弦函数yAsin (t)的表达式中，A、分别表示什么意义？答案A代表简谐运动的振幅；叫做简谐运动的“圆频率”，它与周期T、频率f的关系为、2f；(t)代表简谐运动的相位，是初相位要点提炼对表达式xAsin (t)的理解1式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间2A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅3称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：2f.所以表达式也可写成：xAsin 或xAsin (2ft)4t代表了做简谐运动的质点在t时刻处

7、在一个运动周期中的哪个状态，所以t代表简谐运动的相位；其中是t0时的相位，称为初相位或初相相位是一个角度，单位是弧度或度5相位差若两个简谐运动的表达式为x1A1sin (t1)，x2A2sin (t2)，则相位差为(t2)(t1)21.当0时，两振动质点振动步调一致当时，两振动质点振动步调完全相反一、对简谐运动的图像的理解例1如图3所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：图3(1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？解析由题图上的信息，结合质点的振动过程

8、可知(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值，为10 cm；(2)在1.5 s后质点位移逐渐减小，因此质点是向平衡位置运动，在2.5 s后质点位移逐渐增大，因此质点是背离平衡位置运动；(3)第2秒末质点在平衡位置，因此位移为零质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为10 cm×440 cm.答案见解析例2如图4所示为某质点做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()图4AA、B两点速度方向相同BB、C两点速度方向相同C从B至C速度先增大后减小D从B至C速度先减小后增大解析A、B在平衡位置同一侧的同一位置，速度大小相等，方向相反，A项错；B、C在平衡位置两侧，且距离平衡位置距离相等

9、，质点先经过B后经过C，故B、C两点速度大小、方向均相等，B项正确；质点在平衡位置速度最大，故质点从B至C的过程中，速度先增大后减小，C项正确，D项错误答案BC二、对简谐运动的表达式的理解例3一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin (8t) cm的规律振动(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相(2)另一简谐运动表达式为x25sin (8t) cm，求它们的相位差解析(1)已知8 rad/s，由得T s，f4 Hz.A5 cm，1.(2)由(t2)(t1)21得.答案(1) s4 Hz5 cm(2)针对训练有两个振动，其表达式分别是x14sin (100t) cm，x25sin (100t

10、) cm，下列说法正确的是()A它们的振幅相同B它们的周期相同C它们的相位差恒定 D它们的振动步调一致答案BC解析它们的振幅分别是4 cm、5 cm，故不同；都是100 rad/s，所以周期(T)都是 s；由(100t)(100t)得相位差(为)恒定；0，即振动步调不一致1(对简谐运动的图像的理解)关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线B由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向C表示质点的位移随时间变化的规律D由图像可判断任一时刻质点的速度方向答案BCD解析振动图像表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由图像可以判断某时刻质点

11、的位移和速度方向，B、D正确2. (对简谐运动的图像的理解)如图5所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是()图5A在第1 s内，质点速度逐渐增大B在第1 s内，质点加速度逐渐增大C在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D在第4 s内质点的动能逐渐增大E在第4 s内质点的势能逐渐增大F在第4 s内质点的机械能逐渐增大答案BCD解析在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒3(简谐运动的表达式)物体A做简谐运动的振动位移xA3sin (100

12、t) m，物体B做简谐运动的振动位移xB5sin (100t) m比较A、B的运动()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B周期相等为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA的相位始终超前B的相位答案CD解析振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期T s6.28×102 s，B错；因为TATB，故fAfB，C对；，D对4(简谐运动的图像与表达式)根据如图6所示的某振子的振动图像，完成下列各题：图6(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移t10.5 s；t21.5 s.(2)将位移随时

13、间的变化规律写成xAsin (t)的形式并指出振动的初相位的大小答案(1)5 cm5 cm(2)x10sin cm解析(1)由题图知，xAcos t10cos (t) cm10cos cm，则t10.5 s时，x15 cm；t21.5 s时，x25 cm.(2)x10sin(t) cm，初相位.题组一对简谐运动图像的理解1如图1所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是()图1A因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹B振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C振子在B位置的位移就是曲线BC的长度D振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向

14、答案B解析振动图像表示振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹，B对，A、C错由于图像不是质点的运动轨迹，因此切线的方向并不表示速度的方向，D错2.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图2所示，由图可知()图2A质点振动的频率是4 HzB质点振动的振幅是2 cmCt3 s时，质点的速度最大D在t3 s时，质点的振幅为零答案BC解析由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，B正确t3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t3 s时，质点的位移为零，但振幅

15、仍为2 cm，所以选项D错误3.如图3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()图3A由PQ，位移在增大B由PQ，速度在增大C由MN，位移先减小后增大D由MN，位移始终减小答案AC解析由PQ，质点远离平衡位置运动，位移增大而速度减小，选项A正确，B错误；由MN，质点先向着平衡位置运动，经过平衡位置后又远离平衡位置运动，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误4.如图4所示为某质点做简谐运动的图像，则下列说法正确的是()图4A质点在0.7 s时，正在远离平衡位置B质点在1.5 s时的位移最大C1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大D1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大答案BC解析

16、由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在1.5 s时的位移到达最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置，所以其位移在增大，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移在减小，故D项错误5.一质点做简谐运动的振动图像如图5所示，则该质点()图5A在00.01 s内，速度与加速度同向B在0.01 s0.02 s内，速度与回复力同向C在0.025 s时，速度为正，加速度为正D在0.04 s时，速度最大，回复力为零答案AC解析F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负在

17、xt图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确6一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是() 答案A解析根据Fkx及牛顿第二定律得ax，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，其具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误7图6甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是()图6A在t0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置B在t0.1 s

18、与t0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同C从t0到t0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D在t0.2 s与t0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案A8如图7甲所示是一个弹簧振子的示意图，O是它的平衡位置，振子在B、C之间做简谐运动，规定向右为正方向图乙是它的速度v随时间t变化的图像下列说法中正确的是()甲乙图7At2 s时刻，它的位置在O点左侧4 cm处Bt3 s时刻，它的速度方向向左，大小为2 m/sCt4 s时刻，它的加速度为方向向右的最大值D振子在一个周期内通过的路程是16 cm答案C题组二简谐运动表达式的应用9有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时

19、具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是()Ax8×103sin mBx8×103sin mCx8×101sin mDx8×101sin m答案A解析4 rad/s，当t0时，具有负方向的最大加速度，则xA，所以初相，表达式为x8×103sin m，A正确10某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xAsint，则质点()A第1 s末与第3 s末的位移相同B第1 s末与第3s末的速度相同C3 s末至5 s末的位移方向都相同D3 s末至5 s末的速度方向都相同答案AD解析由表达式xAsint知，简谐运动的周期T8 s表达式对应的振动图像如图所

20、示质点在1 s末的位移x1Asin(×1)A质点在3 s末的位移x3Asin(×3)A，故A正确由前面的计算可知t1 s和t3 s质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由xt图像可知，3 s4 s内质点的位移为正值，4 s5 s内质点的位移为负值，C错误；同样由xt图像可知，在时间3 s5 s内，质点一直向负方向运动，D正确11做简谐运动的小球按x0.05cos (2t/4) m的规律振动(1)求振动的圆频率、周期、频率、振幅和初相位；(2)当t10.5 s、t21 s时小球的位移分别是多少？答案(1)振幅A0.05 m，初相位0/4，圆频率2

21、 rad/s，周期T1 s，频率f1Hz(2)0.025 m0.025 m解析(1)根据表达式可以直接判断振幅A0.05 m，初相位0，圆频率2 rad/s，根据公式T1 s，频率f1 Hz.(2)将t10.5 s、t21 s代入x0.05cos (2t/4) m得x10.05cos (5/4) m0.025 m，x20.05cos (9/4) m0.025 m.题组三综合应用12如图8甲所示是演示简谐运动图像的装置，当漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系板上的直线OO1代表时间轴，图乙中是两个摆中的沙在各自板上形成的曲线，若板

22、N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v22v1，则板N1、N2上曲线所代表的周期T1和T2的关系为()图8AT2T1 BT22T1CT24T1 DT2T1答案D解析在木板上由摆动着的漏斗中漏出的沙形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的规律，即沙摆的振动图像由于拉动木板的速度不同，所以N1、N2上两条曲线的时间轴(横轴)的单位长度代表的时间不等如果确定了N1、N2上两条曲线的时间轴的单位长度与时间的对应关系后，就可以确定各条曲线代表的沙摆完成一次全振动所需的时间，即振动周期，从而可以确定T1、T2的关系由题图可知，薄木板被匀速拉出的距离相同，且v22v1，则木板N1上时间轴单位长度代表的时间t

23、1是木板N2上时间轴单位长度代表的时间t2的两倍，即t12t2.由题图乙可知，T1t1，T2t2，从而得出T14T2.正确选项为D.13(2014·浙江·17)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船在一个周期内，游客能舒服登船的时间是()A0.5 s B0.75 sC1.0 s D1.5 s答案C解析由振动周期T3.0 s、A20 cm知，游船做简谐运动的振动方程xAsin t20sin t(cm)在一个周期内，当x10 cm时，解得t10.25 s，t21.25 s游客能舒服登船的时间tt2t11.0 s，选项C正确，选项A、B、D错误14如图9所示为A、B两个简谐运动的位移时间图像试根据图像写出：图9(1)