《三角函数》提高测试题(一)

1、提高测试(一)(一)选择题(每题3分，共30分)1 .下列命题中，真命题是().ot(A)若 sin >0,则 sin > 02(B)若 sin > 0,则 cos >(C)若 tan >0,则 sin 2>0(D)若 cos <0,则 cos 2< 0所在的象限，判断相应【提示】根据三角函数值的符号，确定角所在的象限，再由角 -,22三角函数值的符号.【答案】(C).【点评】本题考查三角函值的符号.由sin >0,得2k v <2k + (YZ),于是k十金 KZ)，知是第一或第三象限角，故排除(A).由sin >0,得是第一

2、或第二象限角，排除(B).由 cos <0,得 2k + << 2k + 世(kw Z),于是 4k + < v4k +22(kwz),此时，可能是任何象限的角，排除(D).一.一一_.一兀一.一.而由an >0,知 k << k +3 (kWZ),于是 2k v<2k + ，此日sin 2>0成立.2 .若 f (cos x) = cos 2 x,贝U f (sin 15 ° )的值是().(A) -(B)百(C) - -(D)总2222【提示一】由 f (cos x) = cos 2 x= 2 cos 2 x 1,得 f (x

3、) = 2x2 1,于是f (sin 15 ° ) = 2 (sin 15 ° )2 1 = cos30° = - -3-.【提示二】f (sin 15 ° ) = f (cos 75 ° ) = cos 150 ° = cos30 ° =- -3 .【答案】(D).【点评】本题结合函数的概念考查二倍角公式或诱导公式的灵活应用.一-. 冗3 .下列函数中，周期为 万的偶函数是().(A) f (x) = sin 4 x, xC R(B) f (x) = cos 2 2 x sin 2 2 x, xCR(C) f (x) =

4、tan 2 x, xC R且 x0 + (k C Z)24(D) f (x) = cos 2 x, xC R【提示】,而对于（），f （x） = cos4x是周期(A)、(C)中的函数为奇函数，(D)中的函数周期是兀.一 为的偶函数.2(B).本题考查三角函数的奇偶性、周期性和二倍角公式.4.比较.1sin ,10一cos 7的大小顺序是（4).(A)3 cos 一2sin1一一107 cos 一4(B)3 cos 一27cos 一 V41 sin 10(C)1sin 一 v103cos 一 < 一27 cos 一4(D)7cos - V4.1sin - v103 cos23cos -

5、cos 862sin sin 5.710=cos 84.37 cos - cos100.34=cos 79.7=cos x 在(0,为减函数，得cos 86< cos 84.3v cos 79.7口. 3.1,即 cos - v sin v 2107 cos-.4【答案】（A）.【点评】本题考查诱导公式及余弦函数的单调性.在比较大小时，一般是先将各三角函数都化为同名的 三角函数，再将各角化为第一象限的角，最后利用三角函数的单调性来比较.4rm5.要使sin <3 cos= 4m-6有意义，m的取值范围是（）.(A) 1, 0(B) 0, 7(C) 1, 7(D) - , 4332【

6、提示】由于 sin - 33 cos = gin ()，得一2M 4m二6 <2 ,解不等式，得3 4 - mme -1, 7.3【答案】(C).【点评】本题考查两角差的正弦，三角函数的值域以及解不等式的有关知识.6 .在直角三角形中两锐角为A和B,则sin A sin B ().，一一1 一一，一(A)有最大值 和最小值02，一 1一，(B)有最大值 ,但无最小值2(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1，但无最小值【提示】因为 A+ B = 90° ,有 sin A sin B= sin A cos A= sin 2 A.又 0° v Av 90° ,

7、所以当 21A= 45 时，sin A sin B 有最大值 一，但 2AC (0 , 180 ) , sin 2 A 无最小值. 2【答案】(B).【点评】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式、正弦函数的有界性等知识.7 .函数y= A sin (1+ )在同一区间内，当 x=工时，y取得最大值 1；当x= 4n时，y取得9291最小值1,则函数的解析式是().(A) y= 1 sin ( x )(B) y= 1 sin (3x+ 汽)26(C) y= 1 sin ( x +)(D) y= 1 sin (3x-)26显然A= 1, T22红=3,将（，工）代入T921y= 一 sin

8、 ( x+ ),得,于是 y= 1 sin ( 3x + ).【答案】（B）.【点评】本题考查三角函数y= A sin （3r+ ）的图象和性质.8.下列各式中正确的是（）./ 、/ 冗、(A) arcsin (),32(B) arcsin (sin 5- )=44(C) arcsin (arcsin )= 33(D)sinarccos (- 1)2【提示】利用反正弦函数、反余弦函数的定义.【答案】（B）.【点评】本题考查反正弦、反余弦的定义.对于arcsin x =,x表示角 的正弦值，且x | E1,而一1,排除（A）;又>1,排除（C）;由于arccos （1） = 2，sinY3

9、 ,排除（D） .而332332sin-,arcsin ( - ) =- 7t.故选(B).9.使函数 y= sin ( 2x +）+ *'3 cos （2x+）为奇函数，且在,- 上是减函数的4的一个值是（）.(A) J (B)立(C) 42(D) 53333由于 y= 2 sin ( 2x + -）为奇函数，再将各选项的3的值逐项代入，可排除（A）、（C） .又xC ,-时原函数为减函数，再排除（D）.【答案】（B）.【点评】本题考查两角和的正弦公式、函数的奇偶性以及函数的单调性.10.已知tan是方程X2+ 3j3x+4=0的两根，且-<2花V2).(A)(B)(0冗2 7

10、t(D)或33因为tan+ tan3.3tantan=4,则 tan (tan 工工 tan :1 - tan : tan :同时由tan+ tantan>,可知tan均小于零,2 . 0),所以2 7t3(B) .【点评】本题考查两角和的正切公式，以及综合运用韦达定理解决问题的能力.（二）填空题（每题4分，共20分）11 .函数y=1的周期T =cot x - tan x【提示一】1 y= -cos x sin xsin x cos xsin x cos x= -2 cos x -sin x-sin 2x /2 1-=tan 2 x.cos 2x2【提示二】-tan x tan xta

11、n x2-1 - tan x1= tan 2x.2【答案】-2【点评】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式及正切函数的周期性.2.求 cos cos2 cos 3的值等于 777【提示】冗2冗3冗cos - cos 一 cos 一777c . 冗冗2九3冗2 sin cos cos cos -77772 sin2冗2冗3冗2 sin cos cos 777花2 2 sin - 74九 4兀一 sin cos4 sin8九 sin 一 。 九8 sin7九一 sin78 sin 7【点评】本题考查二倍角公式及诱导公式以及三角恒等变形的能力.3 .函数y= sin x+ cos-在（一2 ,2 ）

12、内的递增区间是 22y= sin + cos = 72 sin（ +），函数y的单调递增区间由下面的条件决定: 222 4(k Z)12k冗-7t Mx + 7t<2k7t+2 2 42兀<x<2兀【答案】-32,. 22【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的单调性.4 .函数 f (x), xw R是奇函数，且当 x>0 时，f (x) =x2+sin x,则当 xv 0 时，f (x) =.【提示】当 x<0 时，一x>0,由题设 f ( x) = ( x) 2+ sin ( x) = x2sin x.,又 f (x)为奇函数， f ( x)

13、=- f (x),于是 f (x) = f ( x) = x2 + sin x.【答案】x2+ sin x.【点评】本题考查函数的概念，函数的奇偶性及运算能力.5 .方程sin X =)在,上的解是.23【提示】.x 1 xk , 1,k1, ,由 sin = 一，得一=k + ( 1) arcsin ，x = 2k + ( 1) 2 arcsin ( k= Z),当 k= 1232331时，有 x=3 - 2 arcsin -=,.31【答案】2 - 2 arcsin 一. 3【点评】本题考查反正弦的定义.(三)解答题(每题10分，共50分)1 .已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在

14、x轴的非负半轴上，终边经过点 P ( 1 , 2),求 sin (2+ 2 汽)的值.3【提示】画出图形，先求得 sin , cos 的值.【答案】据已知,OP=7(-1)2 +22 =&,由三角函数的定义，sin,5是，sin 2sinCOS=2 cos 2-1 = -|sin (2+ 在)=sin32豆cos互+3cos 2 二.2冗 sin 一34*(-2)1)43.310【点评】本题考查三角函数的定义，两角和的正弦、倍角公式及计算能力.2.设v Av红2,0<B<,且 cos A=一2、.5_ 5,cot B= 3,求证 A- B= 5 %.54【提示】根据已知,先

15、计算tan(A B)的值，再判断A B的取值范围.sinA 3冗v Av2cosA=-占5A= - y11 -cos? A = 15sin A 0 tan A= =2.cos A又 cot B= 3,得3.已知+ sin 2tan(A- B)tan A - tan B1 tan A tan B2-1 =1.1233冗< A< 一2花-<A- B<25冗A- B=4本题考查同角三角函数间的关系，两角差的正切，由三角函数值确定角的方法.cos= cos x - sin=sin x - sin2,求证sin,.2+ sin利用已知条件，注意到_2sin2=1 cos2cos入

16、原式的左边，化简即可.【答案】左边=1 cos22+ 1 cos,.2+ sin又cos2=2 cos2一cos,.2+ sin=cos x sincos=sin x sin左边=2 cos2x sin一sin2 x sin 2,.2+ sin2=2 sin(sincos2 x) + sin 22=2 sin+ sin=2原结论成立.本题通过三角恒等式的证明,考查三角函数恒等变形能力.寻求已知条件与所证恒等式之间的关系 是证明的关键.12.3 ._4.已知函数 y= cos2 x + sin x cos x + 1, x? R(1)当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合；(2)该函数的图象可

17、由 y= sin x, xw R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?【提示】利用三角函数的有关公式，对函数y进行化简./ /、12(1) y= - cos x +2近 sin x cos x + 121 (2 cos 2 x- 1) +41+143 ” .、(2 sin x cos x) +41-3 .八 5=一 cos 2x sin 2x 一1(1cos2x 3sin2 222x) 5411 u 5=-sin(2x ) 264当y取最大值时，必须有2x+： = 2k +：,即x=k + j (HZ).当函数y取得最大值时，自变量 x的集合为x=x=k +；, k=Z.(2)【解法一】将函数

18、y=sin x依次进行如下变换：一.一 一，一.一,底 丘 一，把函数y= sin x的图象向左平行移动 一个单位长度，得到函数 y= sin (x+ )的图象；1把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得至iJ函数2兀一 一一入y=sin (2x+)的图象；1把得到的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变)，得到函数21 _ 冗、y= sin(2x +)的图象；2 6,515把得到的图象向上平行移动 ？个单位长度，得到函数 y= - sin(2x + ) +-的图象.4264综上得到函数y= - cos2 x + *3 sin x cos x + 1的图象. 22【解法二】把函数y= sin x图象上所有的点的横坐标缩短为原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y= sin 2x2的图象； 一.一 .一.兀 兀再将图象上所有的点向左平行移动一个单位长度，得函数 y= sin(2x+ )的图象；将得到的1261图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的1倍(横坐标不变)，得到函数21 阳 ay= sin(2x + )的图象；2 6515将得到的图象向上平行移动 ？个单位长度，得函数 y=sin(2x + -)+?的图象.4264【点评】本题是2000年高考题，主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.注