《正多边形和圆》教案

1、24.3正多边形和圆教案教学内容?正多边形的半径，正多1 .正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心， 边形的中心角，正多边形的边心距.2 .在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系.3 .正多边形的画法.教学目标了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,会应用多边形和圆的有关知识画多边形.复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内 容.12系.?边长之间的关系.?弦心距、边长之间的关?中心对称吗？其对称轴有几重难点、关键.重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距

2、、.难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、教学过程一、复习引入请同学们口答下面两个问题.什么叫正多边形？.从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、 条，对称中心是哪一点？老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.2 .实例略.正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；？正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点.二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心,过点到顶点的连线径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，正六边形ABCDEF连结AD CF交于一点，以。为圆心，OA为半径作圆， 定B、C ?D、

3、E F都在这个圆上.因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接我们以圆内接正六边形为例证明.如图所示的圆，把。汾成相等的6?段弧，依次连接各分点得到六边 是正六边形.,.AB=BC=CD=DE=EF，AB=BC=CD=DE=EF又A=1 BCF=1 (BC+CD+DE+B F=2BCD为半 如图，? 那么肯些弧, 圆.ABCDEF下面证明，它Z B=- CDA=1 (CD+DE+EF+FA=2CD 22/ A=Z B同理可证：/ B=Z C=Z D=Z E=Z F=Z A又六边形ABCDEF勺顶点者B在。上，根据正多边

4、形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF!。的内接正六边形，O 。是正六边形ABCDEF勺外接圆.为了今后学习和应用的方便，？我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.是a, ?例1.已知正六边形 ABCDEF如图所示，其外接圆的半径 求正六边形的周长和面积.分析：要求正六边形的周长，只要求 AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA过。点作O® AB垂于M,在RtAOM?便可求得 AM又应用垂径定

5、理可求得 AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.解：如图所示，由于 ABCDE田正六边形，所以它的中心角等于3601=60° , ?OBB等边三6角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此，所求的正六边形的周长为6a在 RtOAW, OA=a AM=1AB=1a22利用勾股定理，可得边心距OM= .：a2 _(；a)2 =1 .'3a，所求正六边形的面积 =6X 1 x ABX OM=6< 1 x ax a=- J3a2 2222现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形.例2.利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形.分析：要画正五边形，首先要画一

6、个圆，然后对圆五等分，因此，？应该先求边长为3的正五边形的半径.解：正五边形的中心角/ AOB=360-=72° ,5如图，/ AOC=30 , OA=1AB+ sin36 ° =1.5+sin36° =2.55 (cm)2画法(1)以。为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；(2)在。上顺次截取边长为 3cm的AB BG CD DE EA(3)分别连结 AR BG CD DE、EA则正五边形ABCD就是所要画的正五边形，如图所示.三、巩固练习教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习.四、应用拓展例3.在直彳至为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示

7、，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于 ABC?勺矩形水池DEFN其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使 AC=3 BC=6.(1)求 ABC的边AB上的高h.(2)设DN=x且h -DN =亚 当x取何值时，水池 DEFN的面积最大？ h AB(3)实际施工时，发现在 AB上距B点1. 85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大 矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.AD G E B分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤

8、其现学的知识，应用配方法求最值.（3）的设计要有新意，？应用圆的对称性就能圆满解决此题.10解：（1）由 AB- CG=AC BC得 h= ACLBC =8S6 =41AB/c、 h -DN(2) h=h，Nf=W8-x)4.810贝U S四边形DEF=x ,NF且 DN=xAB25122512254.8Mx)25(x-60)225(4.8-x )=-型x2+10x123600 625(x-2.4 ) 2+12x- 25 (x-2.4x.- 25 (x-2.4x当 x=2.4 时,)20）2+12W12且当x=2.4时，取等号SdefniM 大.(3)当 Sdef最大日x=2.4 ,此时，F

9、为 BC 中点，在 RtFEB 中，EF=2.4 , BF=3. BE=, DE .选用课时作业设计. 课时作业设计一、选择题1 .如图1所示，正六边形 ABCDE就接于。O,则/ ADB的度数是（）. -EF2 hJ32 -2.42 =1.8 BM=1.85,BM>EB即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案. .当 x=2.4 时，DE=5 .AD=3.2,由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示 ：此时，？AC=G BC=8, AD=1.8, BE=3.2 ,这样设计既满足条件，又避开大树.五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：1 .正多边和圆的有关概念：正多边

10、形的中心，正多边形的半径，？正多边形的中心角，正多边的边心距.2 .正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、？正多边的边心距之间的等量关系.3 .画正多边形的方法.4 .运用以上的知识解决实际问题. 六、布置作业1 .教材P117复习巩固1 综合运用5、7 P118 8 .A. 60° B . 45° C ,30° D . 22. 52A3A圆内接正五边形 ABCD冲，对角线AC和BD相交于点.36°B. 60°C. 72°D, 108°若半径为5cm的一段弧长等于半径为 2cm的圆的周长,.18°B. 36

11、76; C. 72°D, 144°巳则/ APB的度数是().?则这段弧所对的圆心角为(二、填空题1 .已知正六边形边长为 a,则它的内切圆面积为 .2 .在 ABC中，/ ACB=90 , / B=15° ,以C为圆心，CA长为半径的圆交 AB于D,如图2所 示，若AC=6则AD的长为.3 .四边形 ABCM。的内接梯形，如图 3所示，AB/ CD，且CD为直径，？如果。的半径等 于r, / C=60° ,那图中 OAB的边长 AB是; ODA勺周长是 ; / BOC勺度 数是.三、综合提高题1 .等边 ABC的边长为a,求其内切圆的内接正方形 DEF

12、G勺面积.2 .如图所示，？已知。硒周长等于6ncm, ?求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF勺面积.答案：一、1. C 2 , C 3 . D二、1. .如图所示，正五边形 ABCDE勺对角线AG BE相交于M(1)求证：四边形 CDE谑菱形；(2)设 MF=BE-BM 若AB=4,求BE的长. n a2 2 . n 3 . r 3r 60°4三、1.设BC与。切于Ml,连结 OM OR则 OML BC于 M, OM=-3a,6连 OE 彳OEL EF 于 N,则 OE=OM=3a, / EOM=45 , OE=3a,66. EN=2a, EF=2EN=6a, . . S正方形= 1a2