Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性

1、2017年7月JuL 2017第39卷第7期Vol. 39 No. 7西南大学学报(自然科学版)Journal of Southwest University (Natural Science Edition)DOI: 10. 13718/j. cnki. xdzk. 2017. 07.016Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性蒋观敏X 杨明歌三1.重庆邮电大学移通学院.重庆401520； 2.上海大学管理学院.上海200444摘要：在Asplund空间中讨论随机集值隐函数的度量正则性.所使用的工具有Ekcland变分原理、Fermat原理、 Lipschitz函数的次徵分以及次梯度

2、的加法原理等.首先，给出随机集值隐函敦的局部度量正则性成立的充分条件. 其次.利用上述结果.分别给出随机集值隐函数的度量正则性和Lipschitz性质成立的充分条件.所得结果改进了已 有文献中的相关结杲.关 键词：正规上导数；随机集值隐函数；(局部)度量正则性；Lipschitz性质；Asplund空间 中图分类号：0224文献标志码：A文章编号：1673 - 9868(2017)07 -0104 -06设(Q. V)是可测空间.XP是拓扑空间.Y是拓扑向量空间.F： CXXXPHY是集值映射，Q° Po)e x x p,且对所有的co e Q有o w F(®,儿.p0)成

3、立.定义集值映射g： a x p hx如下：G(w, />)=/ GX |0 F(w,八 ”)(1)若对任意的p W P , Gl”)：0 MX是可测的.则称集值映射G为由包含关系0 F(s工，p )定义的 随机集值隐函数.文献1在可分Asplund空间给出了随机集值隐函数(1)的局部度量正则性、度量正则性、 Lipschitz性质、非空性和下半连续性成立的充分条件.值得注意的是.文献1必须假设度量投射的内半紧 性.本文在不假设度量投射的内半紧性的情况下证明随机第直隐函数的度量正则性.定理1 设X.Y是可分Asplund空间P是拓扑空间.(H, .A “)是完全”-有限可测空间.集值映射

4、 F： d X X X P满足对任意的” P, F(.,p)： QXX HY是可测的.设G： 0 X P MX是由(1)式定义的集值映射.Q。，Po) XXP满足对任意a, EQ有0F(e，z，”。)记F,p()=F(®,. ”). 若对任意的3 e a,存在常数厂>0和<7 >0使得任意的p e b(p。，厂),集值映射f“()是闭的；(ii)任意的(<r, p ) B (j'o, r) X B(/>0 , r)且 0 G F(o, />),W inf | 文"| ： x DQFw.pQ厂)Pl F_p (j- ), II *

5、II = 1则1) 任意的p E PG(”)：d MX是-可测的；2) 任意的® GG.)：PMX在(心，小)周围是局部度量正则的且具有系数匕2.事实上，任a收搞日期：2016-09 - 16基金顼目：国家自然科学戛金资助项目(11301251)；中国博士厨科学基金资助项目(20MM551312)：河南省高等学校重点利研项目 (15A110036).作者简介：蒋观(1981-).女.重庆江北人.讲师.主耍从辜非线性泛函分析及应用的研究.诵信作者：杨明歌.副教授.3西南大学学报（自然科学版）http： xbbjb. swu. edu. cn第39卷#西南大学学报（自然科学版）http：

6、 xbbjb. swu. edu. cn第39卷ro意的“ 6卜2（ +），任意的（文，”）G B（/o 9 专）X B（po 9 厂）且 disi（O, F（w »» ） “ ® 有distQy G3 号 /> ) ) W 1" disl(O F(3y j: /> )(2)成立.证 1)任意的per，考虑g( />)： q =:x的图像gph G (. ”)= (s t )(s j:)(s j )因为F (，p) ： Q X X MY可测，所以(om 工) a X X： FS 厂 )n 0 H 0> G "%(X) n

7、 X X： GS P)=E 12 X X 0 G F(o>9 X, p)=e nxx： F(®,厂 />)n o> h 0从而gph G ( p ) 6 "X ( X ) 任给B 6 %(X),由文献2定理& 32得兀°(gph G( 9 “)(Q XB) e /因为Kn (gph G(*» />) A X B) = oj G H： 3co d ： 3X ( s , / ) gph”)D (fi X B )=B 兀 W G(v />) =d e n： gs ”)n b h 0所以心 gs />)n b 0 e

8、<>/ 从而G( ): Q MX是 -可测的.2）任给cuEQ.由假设条件，存在常数厂0和（t0满足条件和（ii） 任意的“ （0, 2（ 亀）任意的(=9 />)6 B (j"0 #)XB(/>09 厂)且 dist(O F(oj xF(®,文”)=0.则0 W FG, x , p)故/WGG,”)，从而(2)式两边均为0,即(2)式成立.不妨假 设 dist(O, F(s, x /）“现在证明（2）式成立若dist（O.X,”）=a,其中a G （0, “），下面只需证明dlSt（ J* 9 Cr（S ”）W （J因为所以任意的£ e（

9、o厂一“）且2(a+f) ar1 +(T由距离函数的定义.存在孑 F(工)使得| 7 II <aU +e <r.定义函数几：X XY 頁为/“(*，)=II y II +$(,)； gph Fw.f>)V (j- j) G X X Y2(a + e ) arl+(7则根据条件.几在X XY上是下半连续的.任意的t e第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性5易知显然.几（才，y）M , inf（jr r）xB<0. r）由文献3定理2. 26中的Ekeland变分原理，存在（jt , y） 6 B（x（）, r） X B（0» r）满足

10、K A u A A, nB几（工9 冬 /pQ，），Il （=9 丁）一（工9）II < 和/"(/,，)/»(#,，)+/(広9)|V (j- , j) E B(j-0 * r) X B(0, z-)这意味着(；,$) G gph Fw.p II $ II M II y II II ； = II + II $ y II M * 且对任意的(j* « y) B (j"o * r) X B (0厂)，II II W II y II + f ( II 文一；II + | y ； II ) + 5(文9 y); gph Fw,p )(3)下面证明0 F“

11、(；)假设0 $ F“(；)，则$ HO.显然，x BQ。，厂)，y 6 B(O, r).因为II ；工0 II W II ； / II + II J文o II C 4- y < a+y<y + y=r和II y II II y II =B <a +e V“+e < r 所以A A (厂 y) int B(/o r) X int B (0 r) = int (B(x0 r) X B (O厂)定义函数0 化3： X X Y頁分别为护(x y) = | y |华 2(/9)=f ( II X ； II + II y ( II)伞3(工，y ) =8( (x , y ) ；

12、gph Ftt.,p )V(J-，3»)EXXy由式知，(：，v)是函数0 +处+处在X XY上的局部极小值点.由文献3命题1. 114得“ A A(O 0) 8(1 +卩2+卩3)(八 y)显然.0和0在XXY上是局部Lipschitz连续的.且艸在XXY上是下半连续的.由文献3推论1.81,易知$) = (0, 0), 0°>2(；：)=(0, 0)和 0化(；，$) UfB- XO + OXrBv.由文献3定理336得“A 人、.A A、(0 0) d<p (jc t y) + d(pz(x y)+ 83, y) 由函数0和处的定义得，人 A- xI. H

13、 AA AA Ad(p (jt y) = 0 X 8 | | (j)d(p3( y)=N(z, y ) ； gph Fw. )因为$ H 0,由文献4命题2. 124得a | | (y) = y Y ： II y * II = 1， y"，$= II $ II 故存在小.e Y*和(心.yJ)e N(；y)； gph FU.P使得第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性7I®M II = 1，J $= II, H 11心 Tl W / II y J +力 Tl W /因此.第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#第7期蒋观敏

14、.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#II 33 - II15 Tl则, 一丁 ) e N(；, y)； gph F“)，从而厂 e D.JF,”；，y)(ya).易知11- II =1，bTI = 专 W 亠 Gdist( j- , G (s 9 ”)W II 工-；II W ? <第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#因为<士9令'一冷7和s则第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#注1文献口定理3. 1需要假设度量投射的内半紧性，但是

15、定理1不需要.从定理1的证明过程可以 看出.若将拓扑空间P换成度量空间，定理的结论仍然成立.定理2 假设定理1的条件(i)(ii)满足.且(iii)任意的s 0, FG，)在(儿，/>0)是下半连续的.1) 任意的pEPG(p)： Q MX是创-可测的；2) 任意的e 0, G(®)：P MX在Qo, Po)周围是度量正则的，且具有系数上事实上，存在的邻域v和加的邻域u,使得对所有的(文，p) e vxu有第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#成立.证 显然.定理2的结论1)成立.现在

16、证明定理2的结论2)也成立.任意的® d由定理1 任意 的 “ (0，(7 ,任意的(工，p) B(.r0 X B(/>0. r)且 dist(O. F(w j' /)</，有'/( 1 十(7)7Ldist(.r G(g ) Mdist(O< F(s x t p )成立.注意到o F(s, .J/>0)n int比(0)由条件(iii)存在的邻域P和仇的邻域D使得对所有的 (x p) PxD 有F(s才 p) Pl int B“(0) H 0成立.从而对所有的J，“W P x£?有disi(0. F(o, xp” </z.令V

17、 = B(X。，y) nu=b%厂)n u第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性#下面证明uu和满足定理2的结论2).事实上任意的(文p) e vxu则a, />)e PxD故第7期蒋观敏.等：Asplund空间中随机集值隐函数的度量正则性9dist(O F(s 八”)< 又因为a* p) #)XB(/>o，厂)，所以乙dist( j , G(co , p) M - dist(O, F(U), h, p )a定理3 假设定理1的条件(l),(ii)满足.P是赋范空间的子集.且(iii)

18、任意的e d存在心的邻域V/>0的邻域U和常数/ >0满足 F(«mx,/>)UF(39>t,/>)+/|/> p II ByV j* 6 V V p 6 U(4)则1)任意的p W PG(“)：0 MX是-可测的；2)任意的 3 0 , G(a) ： P MX 在(po o)周围是 Lipschitz 的.r(j2(l+(r)证 显然.定理3的结论1)成立.下面证明定理3的结论2)成立.任意的s 由定理1知任意的对所有的(八 p) G B(xo9 -y) X B (/> < j r)且(JisMO® F ( 9 x ”)&l

19、t;，有 乙(5)dist( j 9 G (co />) M 1 + ?disi()9 F (o), x , p )(7成立.现在证明Gd,)在(Po，h°)周围是Lipschiiz的,即存在常数/>0, P。的邻域(7和工。的邻域P,使得对所有的"/ 0有 gs ”)n Pugs ”)+ / ll”一/>'llBx假设存在序列jc k 从，pk “ci和ptPo且对所有的k = 1,2, 有(6)(7)(8)Tk G G(s i)k )G(w, /)k) +k II()k i)k II Bx 则对所有的& =1,2,.有k | pk Pk

20、 II M dist(. G(uj , p*)因为0 F(e,八，处)，由(4)式，对充分大的Zr有0 F(s几，/><)+/ II l>k t>k II By从而对充分大的Zr有disl(0, F(w 9 .，/>*) Z Pk Pk II特别地，对充分大的有disl(0 F(uj Xk ，)<“综合(5) (8)式可得k | /)* f)k II M dist(j-*. G(3”*)W -_ dist(0 F(s, Xk * ”&) | pk p& |(5(5故当斤充分大时有y w ' u 这是一个矛盾.a注2 定理3所使用的证明

21、方法起源于文献5定理4.3这与文献6定理35,文献7定理32和 文献8定理3. 3的证明方法不同.参考文献： YANO M Gt HUANG N J. Random Implicit Function 1'heorems in Asplund Spaces with Applications J J. Journal of Nonlinear and Convex Analysis 2O13t 14(3)： 497 517.2 AUBIN J P FRANKOWSKA H. Set-Valued Analysis M Berlin： Birkhauscr. 1990.MORDUKHOV

22、1CH B S. Variational Analysis and (jcncralizcd Differentiation* Vol. I： Basic Theory> Vol. 11： Applica-#西南大学学报（自然科学版）http： xbbjb. swu. edu. cn第39卷lions M. Berlin： Springer 2006.3 BONNANS J SHAPIRO J. Perturbation Analysis of Optimization Problems M. New York： Springer* 2000.4 CHIEU N H, YA() J C

23、YEN N D. Relationships between Robinson Metric Regularity and Lipschitz-Like Behavior ofImplicit Multifunctions J_ Nonlinear Analysis： Theoryw Methods and Applicationsw 2010* 72(910): 35943601.5 HUY N Q YAO J C. Stability of Implicit Multifunctions in Asplund Spaces J. Taiwanese Journal of Mathemati

24、cs* 2009, 13(1)： 47-65.6 HUY N Q. KIM D S NINH K V. Stability of Implicit Multifunctions in Banach Spaces Journal of Optimization Theory and Applications 2012* 155(2): 358 571.7 LEE G Mt TAM N N. YEN N D. Normal Codcrivative for Multifunctions and Implicit Function Theorems J. Journalof Mathematical Analysis and Applications 2008. 338( 1): 1122.Metric Regularity of Random ImplicitMultifunctions in Asplund SpacesJIANG Guan-min1, YANG Ming-ge27 College of Mobile Telecommunications. Chongqing University of Posts and Telecom Hechuan Chongqing 401520 China ；2 School of Management Shanghai Univer