高等数学之三重积分及其计算

1、三重积分及其计算三重积分及其计算一、三重积分的概念一、三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义三元函数，就得到三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni

2、 ，并作和，并作和, ,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的上的三重积分三重积分，记为，记为 dvzyxf),(, ,其中其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，若函数在闭区域上连续， 则一定可积则一定可积由定义可知由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景三重积分的物理背景以

3、以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。其计算方法。二、在直角坐标系中的计算法二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面如果我们用三族平面 x =常数，常数，y =常数常数, z =常数常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体体其体积为其体积为zyxV 故在直角坐标系下的面积元为故在直角坐标系下的面积元为dxdydzdV 三重积分可写成三重积分可写成 dxdydzzyxfdVzyxf),(),(和二重积分类

4、似，三重积分可化成三次积分进行计算和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单具体可分为先单后重和先重后单xyzo Dab)(2xyy )(1xyy ),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx先单后重先单后重,Dxoy面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区

5、间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx也称为先一后二，切条法（也称为先一后二，切条法（ 先先z次次y后后x ）注意注意于于两两点点情情形形相相交交不不多多的的边边界界曲曲面面直直线线与与闭闭区区域域内内部部的的轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域这这是是平平行行于于Sz 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。的三次积分。化三次积分的步骤化三次积分的步

6、骤投影，得平面区域投影，得平面区域穿越法定限，穿入点穿越法定限，穿入点下限，穿出点下限，穿出点上限上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例例1 将将 dVzyxf),(化成三次积分化成三次积分其中其中 为长方体，各边界面平行于坐标面为长方体，各边界面平行于坐标面 解解将将 投影到投影到xoy面得面得D，它是一个矩形，它是一个矩形 在在D内任意固定一点（内任意固定一点（x ,y)作平行于作平行于 z 轴的直线轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和和 m （l m) oxyzmlabcdD。(x,y) dV

7、zyxf),( Dmlddzzyxf ),( badcmldzzyxfdydx),(例例2 计算计算 xdxdydz其中其中 是三个坐标面与平面是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域所围成的区域 Dxyzo解解画出区域画出区域D1010 xxy xdxdydz 101010 xyxxdzdydx 1010)1 (xdyyxxdx 102241)1 (21dxxx例例3 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三 次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面 22yxz ,2xy ,1 y, 0 z 所围所围成的空间闭区域成的空间闭区域. .

8、11, 1,0:222 xyxyxz 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解例例 4 4 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的的次次序序积积分分. 1D： 1002yxzxyz1D2D2D： 11222yxzxzx 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx. 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分

9、再求关于另一个变量的定积分再求关于另一个变量的定积分若若 f(x,y,z) 在在 上连续上连续 介于两平行平面介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之间之间用任一平行且介于此两平面的平面去截用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域得区域 )(),(21czczD 则则先重后单先重后单 21)(),(),(cczDdxdyzyxfdzdvzyxf 易见，若被积函数与易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，分容易计算时，用截面法较为方便， )(zDdxdy 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三就是截面的面积，如截面为

10、圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算角形、正方形等，面积较易计算 尤其当尤其当 f ( x , y , z ) 与与 x , y 无关时无关时截截面面法法的的一一般般步步骤骤：(1) 把把积积分分区区域域 向向某某轴轴（例例如如z 轴轴）投投影影，得得投投影影区区间间,21cc；(2) 对对,21ccz 用用过过z轴轴且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD;(3) 计计算算二二重重积积分分 zDdxdyzyxf),( 其其结结果果为为z的的函函数数)(zF；(4)最最后后计计算算单单积积分分 21)(ccdzzF即即得得三三重重积积分分值值.z例例5 计算计算1

11、:,2222222 czbyaxdvz 解解之之间间介介于于易易见见czcz , 2222221: )(czbyaxzD 故故 ccZDdxdydzzdvz)(2230222154)1(2abcdzczzabc dzczzabcc)1 (222 例例6 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之间之间介于介于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz解二解二 先单后重先单后重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx Dyxdxdydzdxdydz1122先重后单先重后单 Drdrrddxdyyx20102222)1 (4)1 (

12、（用极坐标，用对称性）（用极坐标，用对称性） 此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法绍的柱坐标系下的计算法三、小结三、小结三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv 思考题思考题选择题选择题: 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次

13、次积积分分_ dvzyxf),(.;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD练练 习习 题题一一、 填填空空题题: :1 1、 若若 由由曲曲面面22yxz 及及平平面面1 z所所围围成成, , 则则三三重重积积分分 dxdydzzyxf),(化化为为三三次次积积分分是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 是是由由曲曲面面0( cxycz) ), ,

14、12222 byax, ,0 z所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限内内的的闭闭区区域域, ,则则三三重重积积分分 dxdydzzyxf),(可可化化为为三三次次积积分分为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可可化化为为三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf)

15、,(可化为：可化为：(1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与平与平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . .三三、计计算算 xzdxdydz, ,其其中中 是是曲曲面面1, 0 yyzz, ,以以及及抛抛物物柱柱面面2xy 所所围围成成的的闭闭区区域域. .四四、计计算算 dvyx221, ,其其中中 是是由由六六个个顶顶点点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组组成成的的三三棱棱锥锥台台. .练习题答