复合函数与隐函数的偏导数学习教案

1、会计学1复合函数与隐函数的偏导数复合函数与隐函数的偏导数第一页，编辑于星期一：十三点 四十五分。2一、复合函数的求导法则(链导法则)证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 1. 中间变量为一元函数的情形.定理( )( ),utvtt如果函数及都在点 可微),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则也可微,第1页/共30页第二页，编辑于星期一：十三点 四十五分。3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微由于函数 vvzuuz,21vu

2、,0, 0时时当当 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0时时当当 t0, 0 vu多元复合函数的求导法则第2页/共30页第三页，编辑于星期一：十三点 四十五分。4复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广uvwtz导数变量树图 三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 称为多元复合函数的求导法则第3页/共30页第四页，编辑于星期一：十三点 四十五分。5项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合函数的求导

3、法则第4页/共30页第五页，编辑于星期一：十三点 四十五分。6例 设 求xydd这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二 yuvx,)(cossin xxy 解法一,cosxu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用取对数求导法计算.,sinxv 多元复合函数的求导法则第5页/共30页第六页，编辑于星期一：十三点 四十五分。7多元复合函数的求导法则).,(),(yxyxfz 复合函数为),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),(vufz

4、),(vu应点应点则复合函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数存在,且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量可微,2.的情形.zzuzvyuyv y 第6页/共30页第七页，编辑于星期一：十三点 四十五分。8uvxzy xz yz 变量树图uv多元复合函数的求导法则 ( , ),( , )zfx yx y第7页/共30页第八页，编辑于星期一：十三点 四十五分。9解 xz1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则例 ,sinyxvxy

5、uvezu 设设.yzxz 和和求求第8页/共30页第九页，编辑于星期一：十三点 四十五分。10中间变量多于两个的情形类似地再推广,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合函数在对应点),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量zwvuyx多元复合函数的求导法则第9页/共30页第十页，编辑于星期一：十三点 四十五分。11例 设,1222wvuz xz 解)()(23222wyvxuxwyx uwvuuz2)(2123222 xxu2 求,2222yxvyxu .2xyw 多元复合函数的求导法则第10页/共30页第十一页，编辑于星期一：十三点

6、四十五分。12只有一个中间变量即,),(yxyxfz xz yz两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则3.的情形.把复合函数,),(yxyxfz 中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数 xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 第11页/共30页第十二页，编辑于星期一：十三点 四十五分。13,xz yz 解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量树图)sin(yxeu )sin(yxeu 例多元复合函数的求导法则y )cos(yxeu x sin(),uzexyuxy而求cos()uexy第12页/共30页第十

7、三页，编辑于星期一：十三点 四十五分。14 已知f(t)可微,证明 满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示)(tfyz t, y 为中间变量, x, y 为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量,则多元复合函数的求导法则第13页/共30页第十四页，编辑于星期一：十三点 四十五分。15多元复合函数求导法则 (链导法则)多元复合函数的求导法则三、小结(大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导第14页/共30页第十五页，编辑于星期一：十三点 四十五分。16一个方程的情形第五节 隐函数的求导公式第八章 多元函数微

8、分法及其应用第15页/共30页第十六页，编辑于星期一：十三点 四十五分。17一、一个方程的情形 在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)1(0),( yxF的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.隐函数的求导公式第16页/共30页第十七页，编辑于星期一：十三点 四十五分。18隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP隐函数的求导公式设二元函数的某一邻域内满足:在点, 0),(00 yxFy则方程; 0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一邻域内并有(1) 具有连续偏导数;0),( yxF),(00yxP它满足条件在点隐函

9、数的求导公式(2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,),(xF由全导数公式,得0 第17页/共30页第十八页，编辑于星期一：十三点 四十五分。19连续，连续，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxFy, 0),( yxFy或简写:),(00yx于是得隐函数的求导公式所以存在的一个邻域,在这个邻域内),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF0 第18页/共30页第十九页，编辑于星期一：十三点 四十五分。20如,方程, 0 yxeexy记,),(yxeexyyxF ; 0)0 , 0( F(1)xxeyyxF ),

10、(yyexyxF ),(与与)0 , 0(在点在点的邻域内连续;, 01)0 , 0( yF所以方程在点)0, 0(附近确定一个有连续导数、且隐函数的求导公式隐函数存在定理1的隐函数00 yx时时当当),(xfy 则(2)(3)第19页/共30页第二十页，编辑于星期一：十三点 四十五分。21解令则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy .xyyx 隐函数的求导公式例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 第20页/共30页第二十一页，编辑于星期一：十三点 四十五分。22),(zyxF),(000zyxP, 0),(0

11、00 zyxFz则方程; 0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内0),( zyxF),(000zyx函数它满足条件在点在点2.由三元方程确定二元隐函数.,yzxz 求求隐函数存在定理2隐函数的求导公式的某一邻域(1)(2)(3)满足:第21页/共30页第二十二页，编辑于星期一：十三点 四十五分。23隐函数的求导公式(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,),(yxF应用复合函数求导法得0 xFzF xz , 0 是方程所确定的隐设函数,则yFzF yz . 0 zF，且且0)

12、,(000 zyxFz, 0 zF),(000zyx点点所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得第22页/共30页第二十三页，编辑于星期一：十三点 四十五分。24例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解 ),(zyxF1222222 czbyax则,22axFx ,22byFy 22czFz xzzaxc22 yzzbyc22 令)0( z,zxFFxz zyFFyz 看看作作是是将将时时、在在求求),(,zyxFFFFzyx的的zyx,隐函数的求导公式第23页/共30页第二十四页，编辑于星期一：十三点 四十五分。25将 xzzaxc22 yxz22

13、2axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.2z 隐函数的求导公式zy第24页/共30页第二十五页，编辑于星期一：十三点 四十五分。26确定了隐函数确定了隐函数设方程设方程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求分析在某函数(或方程)表达式中,自变量互换后,仍是原来的函数 (或方程),称函数(或方程)用对称性可简化计算.解将方程两边对x求偏导,得关于自变量对称,yyxzyxz ),(yxzz 将任意两个y z x 0 隐函数

14、的求导公式第25页/共30页第二十六页，编辑于星期一：十三点 四十五分。27再将上式两边对x求偏导,yxzyxz 得 22xz2)()(2yxzy 由x, y的对称性知, 22yz2)()(2yxzx 确确定定了了隐隐函函数数设设方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 隐函数的求导公式第26页/共30页第二十七页，编辑于星期一：十三点 四十五分。28隐函数的求导公式2002年考研数学(四),7分),(zyxfu 设设函函数数有连续偏导数,且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 解法一,),(zyxzeyexezyxF 设设则用公式,11zxzxezxFFxz .11zyzyezyFFyz ,)1(xxexF ,)1(yyeyF .)1(zzezF 故而,11zxzxzxezxffxzffxu ,11zyzyzyezyffyzffyu 所以yyuxxuuddd 第27页/共30页第二十八页，编辑于星期一：十三点 四十五分。29隐函数的求导公式且且),(zyxfu 设设函函数数有连续偏导数,.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 法二 用全微分zyxzeyexe 在在两边微分,得故,d