专升本高等数学第五章定积分及其应用

1、第五章 定积分【考试要求】1 .理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件.2 .掌握定积分的基本性质.3 .理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法.4 .掌握牛顿一一莱布尼茨公式.5 .掌握定积分的换元积分法与分部积分法.6 .理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法.7 .掌握直角坐标系下用定积分计算平而图形的面积.【考试内容】一、定积分的相关概念1.定积分的定义设函数/（X）在上有界，在句中任意插入若干个分点a = x° VX| <x2工=b，把区间。,匕分成个小区间Xo，xJ，玉，/，各个小区间的长度依次为A% =内一/，Ax2 -x, ,七一

2、玉在每个小区间._,内上任取一点。（4|“与），作函数值/©）与小区间长度Ax;的乘积/（。）八七（i = 1,2,，），并作出和S = Z/（O）Ax,.f=l记 A = maxA¥1,A¥2,-,AYj ,如果不论对勿怎样划分，也不论在小区间上点。怎样选取，只要当20时，和S总趋于确定的极限/,那么称这个极rb限/为函数/（x）在区间句上的定积分（简称积分），记作 f（x）dx,即rb£ f（x）dx = 1=触2, Z=1其中/（x）叫做被积函数，/（x）dx叫做被积表达式，X叫做积分变量，4叫做积分下限, b叫做枳分上限，切叫做积分区间.说明：定

3、积分的值只与被枳函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说JaJaJa2 .定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设/（X）在区间凡句上连续,则“X）在在上可积.（2）设/（X）在区间,切上有界,且只有有限个间断点，则/（设在区间凡勿上可积. 说明：由以上两个充分条件可知，函数/（X）在区间,切上连续，则/（X）在。,切上 一定可积；若/（X）在句上可积，则/（X）在区间川上不一定连续，故函数/（X） 在区间。,切上连续是/（X）在。,切上可积的充分非必要条件.3 .定积分的几何意义rb在区间力上函数/（x）20时，定积分 /（x）dx在几何上表示由曲线 y = /（工）、两条直线

4、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形的而积在区间上/（x） <0时，由曲线y =/（x）、两条直线x =。、x = b与x轴 所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形而积的 负值.在区间储/上/（X）既取得正值又取得负值时，函数/（X）的图形某些部分在X轴rb的上方，而其他部分在x轴的下方，此时定积分 /（x）dx表示了轴上方图形的面积减去JaX轴下方面积所得之差.二、定积分的性质下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制：并假定各性质中所列出 的定积分都是存在的.rb性质1.当。=时，I f(x)dx = O.性质 2.当。>人时，J f

5、(x)dx = -f(x)dx.性质 3g(x)dx =，fx)dx± gx)dx .说明：该性质对于有限个函数都是成立的.性质4. J kfxdx = k f(x)dx (% 是常数).性质 5. J f(x)dx= f(x)dx +j fx)dx.说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性.rbfb性质6.如果在区间川上/(x)三1,则 dx= dx = b-a.沙性质7.如果在区间川上/(x)2 0,则 f(x)dx > 0(a<b).Ja推论:如果在区间切上/(x)2 g(x),则J f (x)dx > j g(x)clx (a<b).推论(2)： 性

6、质8.(估值不等式)设M及加分别是函数/(X)在区间,/?上的最大值和最小值, 则tn(b-a)< f (x)dx < M (b - a) (a<b).性质以(定积分中值定理)如果函数/(X)在积分区间m,口上连续，则在。,切上至少 存在一点g,使得下式成立:fMdx = f©(b -a)(a<<b).1 fb说明：该公式称为积分中值公式，/(4)= /(刈公称为函数f(x)在区间b-aJa .上的平均值.三、积分上限函数及其导数1 .积分上限函数的定义设函数/(X)在区间凡/上连续，并且设X为凡们上的一点，由于/CO在区间。,灯上仍旧连续，因此定积分/

7、(x)4x存在.这里，x既表示定积分的上限，又表示 Ja积分变量.因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用I表示，则上面的定积分可以写成如果上限X在区间4,加上 Ja任意变动，则对于每一个取定的X值，定积分有一个对应值，所以它在切上定义了一 个函数，记作(x)：(x) = /«)力 (a<x<b),这个函数即为积分上限 函数(或称变上限定积分).2 .积分上限函数的导数定理L如果函数/(X)在区间储力上连续，则积分上限函数(X)=/«)/在加上可导，并且它的导数'h3 = f(x)(a <x<b).

8、定理2：如果函数/(X)在区间,切上连续，则函数(X)= /«)由就是/(X)在川上的一个原函数.说明：对于积分上限函数的复合函数(x) = ；*/«),求导法则可按下述公式进行:(X)= J= f(p(x)(p (x)llY J。若积分下限为函数9。)，即(x)= /力，求导法则可按下述公式进行:'(X)=；1 /«)山=；(一/7.力)=/S(x)M(x) .dxdx Ja若积分上限和下限均有函数，即(x) = J：/Q)d/求导法则可按下述公式进行：'(X)=力=，("/«) +/dx)叭x)dx J()J*)d f/K.

9、v)r(p(x)=(£ /«)" )f 8dt) = fh(x)h(x) f(px(p (x).四、牛顿莱布尼茨公式定理3：如果函数尸(X)是连续函数/(X)在区间,句上的一个原函数，则fb f(x)dx = F(b)-F(a).Ja这个定理表明，一个连续函数在区间,上的定积分等于它的任一个原函数在区间 凡切上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法.通常把上述公式称为 微积分基本公式.五、定积分的换元法和分部积分法1.定积分的换元法设函数/(X)在区间。力上连续，函数X = *«)满足条件：(1)(p(a) = a, "(/) =

10、/?：(2)夕在a,切(或4,a)上具有连续导数，且其值域& =,勿，则有C f(x)dx= /0?力.JaJa说明：应用换元公式时有两点值得注意：用X = 9。)把原来变量X代换成新变量,时, 积分限也要换成相应于新变量，的积分限；求出/9。)"'。)的一个原函数Q)后,不必像计算不定积分那样再要把。)变换成原来变量X的函数，而只要把新变量，的上下 限分别代入。)中然后相减就行了.例如：计算y/a2 - %2-dx (。)Jo解：设 x = 4sinf,则 dx = acosfdf,当 x = 0 时，f = 0,当 x = 时，t =.2n2 乃于是 £

11、 yja2 -x2 dx = a2 £2 cos2 tdt = % : (1 + cos 24dt,1 噌 2cr1.3 2兀cr=r+sin2r =.2242 .定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得J ux)vx)dx =(x)u(x)-Ju(x)/(x)dx= (x)u(x)： - J vx)ux)dx.简记作g3=H；-fvudx 或J uclv =- j vdu .这就是定积分的分部积分公式.3 .定积分的两个简便公式(1)若/(X)在一。,。上连续且为奇函数，则/(x)Jx = 0：若/(X)在J-a上连续且为偶函数，则/(x)dx = 21/(x)dx.J-a

12、Jo(2)设 / = lsin”不公=jcos" xdv,则 JoJo, J r /? -1 77-33 1 7U当为正偶数时，In n n-2422当为大于1的正奇数时,n-3n 2六、无穷限的广义积分1 .函数在无穷区间+8)上的反常积分设函数/(x)在区间,+s)上连续，取，>，如果极限lim/(x)dx存在, /-»+x Ja广+8则称此极限为函数/(x)在无穷区间m+8)上的反常积分，记作 f(x)dx,即Jaf f (x)dx = lim/(x)dx, J a/-»+x J a这时也称反常积分 /(x)dx收敛：如果上述极限不存在，则函数/(x)

13、在无穷区间 Ja,+oc广+8+8)上的反常积分/(x)dx就没有意义，习惯上称为反常积分 f (x)dx发J。Ja散，这时记号/(x)dx就不再表示数值了.Ja2 .函数在无穷区间(-8,以上的反常积分设函数/(x)在区间(一O0,切上连续，取如果极限lim存在,Jb于(x)dx,即-Xf fx)dx =hm C f(x)dx, J-OCf->-0C Jchrb这时也称反常积分/(x)dx收敛：如果上述极限不存在，则称反常积分于(x)dx发J-OCJ-CC散.3 .函数在无穷区间(-s,+s)上的反常积分设函数/(X)在区间(8,+8)上连续，如果反常积分fMdx和 J-OCi fMd

14、x都收敛,则称上述两反常积分之和为函数/(x)在区间(-s, +S)上的反常 Jo广+8积分，记作 fMdx,即J-OCr+xr():+ooL f(x)dx = Lx /(X)公 + J。f (x)dx,er +oc这时也称反常积分/(x)dx收敛：否则就称反常枳分/(x)dx发散.JXJX4 .无穷限广义积分的计算方法设尸(x)为在4,+8)上的一个原函数，若lim尸(x)存在，则反常积分 XT+0CJ f(x)dx =b(x)： = F(+oo) - F(a) = lim F(x) F(a)；/J(x)公=产(切=F(b)_ F(-oo) = F0)-lim F(x)；f fx)dx =

15、F(x)Tx = F(+oo) - F(-co) = lim F(x) - lim F(x). J-00Ljyx+ocAT-OC,+8说明：当尸(一00)与尸(+S)有一个不存在时，反常积分/(x)dx发散.J-X七、求平面图形的面积1. X型区域X 一型区域是指：平而图形是由上下两条曲线y = f(x)、y = gW (/O)之g(x)及直线x=。、x = 所围成，而积计算公式为chA = fM-g(x)dx.Ja2. 丫一型区域丫一型区域是指：平而图形是由左右两条曲线工=。(丁)、x = 9(y) (。()之9(>)及直线y = c、y = d所围成，而积计算公式为A=f S(y)-

16、e(y)，.【典型例题】【例51】计算下列定积分.1. 12 cos? xsmxdx.Jo解：原式=-，：cos5xd(cosx) =-icos6x6211=0 () 二 ()66nx f2.ax.J】x解：r= f InxJ(lnx)= J X Jl解4、 . l + cos2x:cosrdx =71dx =sin2x71 V34.1(11+ 5x)3dx.1 fl 1解：原式=-5J-2(H + 5x)yt/ (11 + 5x) = - (11 + 5x)_ 51 _9 -512 J5.n12 tan2 xdx.Jo解：原式=J： (sec?sec2 xdx- = tan兀 1 兀=16.

17、 vsin3 x-sin" xdx.Jo解： rjsin3 x-sin5 xdx= Vsin3xcos2 xdx= f sin2xcosx JoJoJo=户乃一sin2 xcosxr-| 7 sin2 xcosxdx£33=£2 sin2 xd(sin x) - Jn sin2 xd(sin x)-27.2- sin2 x52-224-sin2 x =()=-5汗555J a2 -x dx ( <7 >0 ).Jo解：设x = asinf,则ar = 4cos%fr,当x = 0时，=0：当工="时，t =.故 28.解：设J2x + 1 =

18、t,则工=产一1,dx = tdt > 且当 x = 0时，t = 1： 2当 x = 4 时，t = 3.f4 X + 2 f .3 故 -dx =Jo J2x + 11 z27小 1八 =-(+ 9)-(- + 3) 乙 JJ22T【例52】计算下列定积分.1. xcosxdx.Jo2.arcsinxtir.Jo解：£ xcosxrfr = £ xd(sinx) = xsinx： -£ sinx6tv = cosx： =-2.解：2 arcsin xdxJo1-2 0-X -+%-61 - 2-2XX -j(i-x2)=+ F12 L=，且.1.1223

19、. j xinxdx.x yInx2解：(xnxdx =4. TAV. Jo解：令 = f,则 x = t2, dx = 2tdt,且当 x = 0时，1 = 0：当 x = 4 时，f = 2.故 £ edx = 2 te'dt = 2£ td(el) = 2 步 - 2e'dt= 4/2e：=2/+2.【例5-3计算下列广义积分.f+oc1. I exdx.Jo/Hep-1+00解：I ，Zx =e-=lim(") (l) = 0 + l = LJoLJO.v->-hx产 12. -rdX .兀 TC 7C=lim arctan x -

20、arctan 1 =.v>+ccl + x2解：广一rdx = arctanJ1 1 + x2 l Jl解:1 ;廿巾= Mctanx匚=lim arctan x - lim arctan x.VT+8A->-X4.|TLinU.r %解:X 1 1 7.田-1 / J、2 7*sindx = _12 sin_d(一) 彳厂 X n XX1Tx cos x2=lim cos -0 = 1.【例54】计算下列积分上限函数的导数.=y/l X2 .2-行;衍"解：6:际7"抗+ x4 -(x2)' = 2xjl + x4 .ci fl3. I ln(l +

21、tJt. JxJsinr(rl(J rsinx解： 一 ln(l + f)Jf =ln(l + t)dt = - cos xln(l + sin x).JxJsinrJx4.2 arctan tdt.arctan tdt = arctan x5 (/)'-arctan x2 (x2)'ONc=3厂 arctan x - 2x arctan 厂.【例55】求下列极限.1. limA-X)cos rdtJo解：应用洛必达法则，口JCOS/2力Joarctan tdt2. lim；K) 厂arctan tdt解：lim-；= limXT)10arctan x2x=-(X -0时，ar

22、ctanxX). 23. limA-X)-Jl + rdtJo解：lim入T）l + rdtJo= limK)'1 +.匚 2i=HmJi + f =2x.1)4. limXT)解：limaT)Jo用力Jo= limA->()2Jo2.r2xe=2 lim10'J力Jo= 21ime=2.工T)xexx>0,rJ 5-6设函数/（X）=<11 + COSX'一九 V X V 0,计算 f(x-2)dx.解：设x 2 = f,则= 且当x = l时，r = -l：当x = 4时，t = 2.于是0-Ld高2cos2 -力一g Jo "'

23、 "（-）二tan 2()-iLi 221 1-41tan c h.2 22【例5-7】计算定积分j：（N + sinx）x2av.解:L (|x| 4- sin x)x2dx = | Jx|x x2dx +f x1 sin xdx = 2 f x3dx + 0J-lJo=2【例58】求下列平面图形的面积.1 .计算由两条抛物线=1和 =/所用成的平面图形的面积.解：此区域既可看成X一型区域，又可看作丫一型区域.按X一型区域解法如下:两曲线的交点为（0,0）和（1,1）,故而积 S = £(Vx-x2)Jx =2_£_£ o=3-3=32 .求由抛物线=

24、 直线y = 一工及y = 1所围成的平面图形的而枳.解：按丫一型区域来做，先求出图形边界曲线的交点（0,0）、（一11）及（1,1）,故而积S=1(77+)')力=|217=03263 .计算由曲线=2x和直线y = x 4所围成的平面图形的而积.解：此区域既可看成X一型区域，又可看作丫一型区域，但按丫一型区域解较为简便.先y2 = 2x求两曲线的交点，由可解得交点为（2, 2）和（8,4）,故 y = X-4面积s= j：" + 44=，+4y "【历年真题】一、选择题1. （2010 年，1 分）设9（x） = J0 /di,则9'（x）等于（）（A）

25、 /厂（B） 一6一丁（C）（D）/ r2 V,解：0'（x）= J' e'dt =6一” （x2）' = 2xe-S,选项（C）正确. X/2.（2010年，I分）曲线y = r与直线y = 1所围成的图形的面积为（）2 34,（A） （B） （C） （D） 13 43解：曲线y = W与曲线> =1的交点坐标为（-1,1）和（1,1）,则所围图形的面积为x2 )dx = x-4=一选项（C）正确.T 33. （2010年，1分）定积分j等于（） 和x轴所围成的图形的而积，即圆面积，故J1-V公=1乃F =工.(A) -1(B) 0(C) 11(D)24

26、 Jo442. （2009 年，2 分）设=X? + In X-1,则/（X）=.解：等式J；/Q）dr = x? + In1一1两边对x求导可得，/（x） = （x2 + In x - l）r = 2x + .x3. （2009年，2分）由曲线y =y = e及），轴围成的图形的而积是解：曲线y ="与直线y = e的交点坐标为（l,e）,故所围图形的面积为S = j（）（e-e'）dx= ex-e'：=l.Ce dx4. （2007年，4分）积分 一/的值等于.力 XyJ + In XrJW尸J(l + lnx)= 2(1 +In x)2= 272-2.15. （

27、2006年，2分）积分；1匕"=解:L1 Tdx="1-1(1 ")="tln I1 - elL = 1 -ln(1+e) ,6. (2006 年，2 分)limI。 x-sinx,、 f V ln(l +f3) 7c.e0解：当x -0时，一:df -0, x-sinx -0,故原极限为“一”型的J。 t0极限，应用洛必达法则可得,rtln(l + r3) ln(l + x3).Jo t fr ln(l + x3)x3lim= lim= lim =lim -=2.工- x-sinx xf) 1-cosx x(l-cosx)r2人”127.(2005 年

28、，3 分)j2(sin3x + <?' >Zr=.解：xe1,1时，Jsirr，工为奇函数，在对称积分区间上的定积分为零，故三、计算题1. （2010年，5分）求定积分j xnxdx.解：j xnxdx = lnxt/()=7Inx2p dx2.(2010年，5分)求定积分.J。ex + exr« dxri exdxr« d(ex)v-ii解： =-=arctan e = arctan eJo/+e72+1 J。1 + ("> LJo3. （2008年，5分）求定积分2xsinxar.Jo解：用分部积分法，£2 xsin xdx = £2 xt/(-cos x) = -xcos xJ + £2 cos xdx= 0 + sinxJ = 1.4. (2008年，7分)求广义积分 xex dx.Jo解：Ij=lim(-r2)-(-) = 0 + - = - 1+8 222 2+OC 2xl dx =1)25. (2007 年，5 分)求定积分 arctan xdx.Jo解：用分部积分法，jjarctan xdx = xarctan(arctan x)J。 1 + 厂,后 1 N 1 ax =32J(1 + x2d(l + Y)= 5-J