专题12：文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版)

1、专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版）题型一：求体积1, 2018年全国卷III文数髙考试题如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C, D的点.（1）证明：平面AMD丄平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P,使得A/C平面PBD?说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【详解】分析：（1）先iiEAD丄CM,再证CM丄MD.进而完成证明.（2）判断出P为AM中点，证明MC/OP,然后进行证明即可.详解：（1由题设知，平flnCA/D丄平而ABCD,交线为CD因为BC丄CD, BCu平面ABCD，所以BC丄平而CMD 故BC丄D

2、M.因为M为CD上异于C, D的点,且DC为直径，所以DM丄CM.又BCCCM=C,所以DM丄平而BMC.而DMu平面AMD,故平而AMD丄平而BMC.（2）当P为AM的中点时，MC平而PBD证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连结OP,因为P为AM中点，所以MCOP.MC H T-而 PBD, OP u 平而 PBD,所以 MC / 平而 PBD.点睛：本题主要考查而面垂直的证明，利用线线垂直得到线而垂直，再得到而而垂直，第二 问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线而平行，考查学生空间想象能 力，属于中档题.2, 2018年全国普通高等学校招生统

3、一考试文科数学(新课标I卷)如图，在平行四边形ABCM中，AB = AC = 3, ZACM =90。，以AC为折痕将 AAGW折起，使点M到达点D的位置，且AB丄ZM.(1) 证明：平面ACD丄平面ABC,2(2) Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点,且B P = DQ = -DAf求三棱锥。一 ABP 的体积.【答案】(1)见解析.1.【解析】分析：(l)n先根据题的条件，可以得到ZBAC =90，即34丄AC,再结合已知条件34丄AD,利用线而垂直的判足宦理证得AB丄平而ACD,又因为ABu平而ABC,根据而而垂直的判泄泄理，证得平而AO丄平而ABC：(2)根据已知条件，求得相关的线

4、段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的 髙，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：1)由已知可得，ABAC =90°. 34丄AC.又 BA丄AD, ACAD = A 所以 AB丄 TifiiACD.又ABu平而ABC,(2)由已知町得,DC=CM=AB=3, DA=3近o又BP = DQ = -DA,所以BP = 2迈作QE丄AC,垂足为£,则0E =| -DC.由已知及(I)可得DC丄平而ABC,所以0E丄平而ABC. QE=.因此,三棱锥Q-ABP的体积为j=*xQExS abp = *xlx*x3x2>/2sin45° = 1

5、.点睹：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的矩识点有而而垂宜的判立以及三棱锥的 体枳的求解，在解题的过程中，需要淸楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判 立定理证得线而垂直，之后应用而而垂直的判定定理证得面而垂直，需要明确线线垂直、线 而垂直和而面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.3. 2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标II)如图，长方体ABCDB.C.D,的底面ABCD是正方形，点E在棱曲】上，BE丄EC】.A(1) 证明：BE丄平面EBiCi；(2) 若AE=AxEt AB=3,求四棱锥E-BB.C.C的体积.【答案】(1见详解；(2)

6、18【分析】(1) 先由长方体得，EG丄平而AABB，得到BQ丄BE,再由BE丄根据线而垂直的判龙定理，即可证明结论成立；(2) 先设长方体侧棱长为2d,根据题中条件求出d = 3；再取耳中点F连猗EF，if明丄平而BgC，根据四棱锥的体枳公式，即可求出结果.【详解】(1) 因为在长方体ABCD - A BCD中，丄平而AA&B :BEu平而必爲B,所以目G丄BE,又 BE 丄 EC, BGc EC严 G ,且 EG u 平而 EBQ , BC u 平而 EB.C.,所以BE丄平ifii EBxcx:(2) 设长方体侧棱长为2a,则AE = A1E = ai由(1)可得E目丄BE ；所

7、以EB< + BE? = BBf,即2血?2 =別弟，又 AB = 3,所以 2AE1+2AB1 =,即 2/+18 = 4"2,解得 0 = 3；取BE中点F，连结£F，因为AE = AlE,则EF/AB:所以EF丄平而BB&C ,所以四棱锥E - BB” 的体枳为Ve.bbgc = | S 矩形昨 c £F = |BCBB1EF = |x3x6x3 = l 8.A【点睛】本题主要考查线而垂直的判定，依拯四棱锥的体积，熟记线而垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.4. 2017年全国普通髙等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）四

8、棱锥P-ABCQ中，侧面P4D为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB = BC = - AD, ABAD = ZABC = 90°.2（1）证明：直线BC/平面PAD;（2）若卜PCD面积为求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】（I）见解析（II ） 4厲【分析】试题分析：证明线而平有两种思路，一是寻求线线平行，：是寻求而而平行：取AD中点M， 由于T而PAD为等边三角形，则PM丄4Q，利川而而匝血的性质宦理可推l PM丄底 而ABCD, nBC = x.表示相关的长度，利用APCD的而枳为20 求岀四棱锥的体枳.试题解析：（1）在平而 A BCD 内，因为 ZBAD = ZABC

9、= 90°.所以 BC/ AD.又BC <z T;而u平而知D,故BC平而血D.（2）取/D的中点M，连接PM、CM.由 AB=BC = AD 及 BCf! ADABC = 90；得四边形ABCM为正方形，则CM 1 AD.因为侧而刖D为等边三角形且眶直于底而沖BCD、¥而必QD'F而HD，所以PM丄A1X PM丄底而A BCD.因为CM匸底而A BCD.所以丄CM,设BC = x，则CM 7CD = 4ix,PM = Gx、PC = PD = 2x，取CD的中点N，连接PN，则7W丄CD.所以pv二亟,2因为WCD的而枳为2护，所以丄JIxx亟二2巧，2 2

10、解得x = -2 （舍去），x = 2.于是 AB=BC = 2,AD = 4,PM = 2 JJ.所以四棱锥P- ABCD的体积V =1x2（2 + 4）x2 = 43 2【详解】题型二：求距离5. 2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II）如图，在三棱锥P-ABC 4 AB = BC = 2迈,PA = PB = PC = AC = 4, O为 AC 的 中点.（1）证明：PO丄平面ABC；（2）若点M在棱8C上，且MC = 2MB,求点C到平面POM的距离.【答案】（1）详见解析（2）婕.【解析】分析:（1）连接欲ill： PO丄T而ABC，只禹血刃PO丄AC,PO丄OBi

11、y（2 过点C作CH丄OM,垂足为M，只需论证CH的氏即为所求，再利用平面几何知识求诃即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4. O为AC的中点，所以OP丄AC,且OP=2忑连结OB.1大1为A民BC=<3aC，所以2BC为等腰直角三角形，且2OB 丄 AC,OB= AC =2.2由 OP1 +OB1 =PB2. OP丄OB由OP丄OB, OP丄AC知PO丄平而ABC.（2）作CH丄0M,垂足为H又由（1）可得OP丄CH,所以CH丄平而POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知。弓心2,皿|哙半,OCMCsinZACBOM所以点斶平面POM的距离为芈点睹：立体几何解答题在

12、髙考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线而的证明 为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明：本题第二问可以通过作岀点到平而的 距离线段求解，也可利用等体积法解决.6. 2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I ）如图，三棱柱ABC_A、BG中，侧面BB&C为菱形，爲C的中点为。，且貝0_平面 朋GC.(1)证明：B.C-AB: 若/C丄為朋=605C=l:求三棱柱凡3C-4PC的高.【答案】（1）详见解析；（2）三棱柱ABC AQG的髙为7【解析】试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱 形，故可想到连结BC则0

13、为B.C ' jBC的交点，又因为侧而BBGC为菱形，对角线 相互垂直BtC丄BCX ;又AO丄平面BBQC ,所以B.C丄AO ,根据线而垂直的判定定理 可得:丄平面ABO,结合线而垂直的性涼：由于ABu平面ABO,故坊C丄AB ：（2） 要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平而ABC的距离，即：作OD丄BC,垂足为D,连结AD,作丄AD, 足为H,则由线而垂直的判怎泄理可 得OH丄'Klfii ABC,再根据三角形而枳相等：OHAD = ODOA，可求出OH的长度， 眾后由三棱柱ABC-时心的髙为此距离的两倍即町确宦出高.试题解析：（1）连结BC、,则O为BQ

14、了 BC的交点.因为侧而BBQC为菱形，所以B.C丄BC.又40丄平而BBQC所以4C丄AO.故B.C丄平而ABO.由于ABu平而ABO,故坊C丄AB.（2）作OD丄BC,垂足为D,连结AD.作OH丄AD,垂足为H.由于，BC丄0D、故BC丄平而AOD,所以OH丄BC又OH丄AD，所以0H丄平而ABC.因为ZCBB, = 60° ,所以CBQ为等边三角形，又BC = 1,可得由于 AC 丄 AB.所以 OA = -BlC = -,2 24由 OHAD = ODOA、且A”殛F呼，得吩兽乂 O为QC的中点，所以点吕到平而ABC的距离为翅7故三棱柱ABC -"心的高为翅.7考点

15、：1 线线，线而垂直的转化;2点到而的距离;3等而枳法的应用7. 2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(全国II卷)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAlffiABCD, E为PD的中点.(1)证明：PB/平面AEC;(2)设AP=, AD = $ 三梭锥P 的体积V =,求A到平面PBC的距离.4(2)A到平而的距离为罟【详解】试题分析：(1)连结BD、AC相交于O,连结OE,则PBOE,由此能证明PB平面ACE.(2) 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出A到平面PBD的距离试题解析：(1)设BD交AC于点O,连结

16、EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EOPB又EOU平面AEC, PBN平而AEC所以PB平而AEC.(2) V = LpA AB AD = AB6 6h3由v = 可得4B二二.4 2作且H丄PR交PB于H.由题设易知PC丄平面所以PC丄月丑故“如丄平面PBC.又AH= “八 A"=卫丄所以"到平而刃C的距离为迴E PB 1313法2：等体积法1/TV=-PA AB AD = AB66斤3由V = 可得且B二二.42由题设易知PC 一平面PAB.得BC丄PB假设“到平而PBC的距离为d,又因为PB=Jg+疝2 =罕：所以匕=5C 32212

17、乂因为 P-ABG - 3 X*2 X*2 X= t （或S-X5C -F-JBD -八A-PBC -，所以d二壬逻13考点:线而平行的判左及点到而的距离8. 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I ）如图，直四棱柱 ABCD -AxBxCxDi 的底面是菱形，AA/=4, AB=2, ZBAD=6O° , E,N分别是BG BBh如D的中点.(1) 证明：MN平面CQE；(2) 求点C到平面CiDE的距离.【答案】(1)见解析：述.17【分析】(1) 利用三角形中位线和A.DIJB.C mmMEND , M得四边形MNDE为T行四边形, 进而证得MN/DE，根据线而平行判

18、定定理可证得结论；(2) 根据题意求得三棱锥G-CDE的体枳，再求岀SC.DE的而枳，利用VC(_CD£ =C-CtDE求得点c到平而C.DE的距离，得到结果.【详解】(1)连接ME, QCE分别为BBi，3C中点 :.ME为gBC的中位线ME I IBC 且 ME = i B、C又N为AQ中点，且ADIJBXC :.NDHBC且切=加匸MEHND .四边形MAQE为平行四边形:.MNUDE,又MN(z 平而GDE, D£u平而C、DE:,MN /平而 C、DE(2)在菱形ABCD中，E为BC中点,所以DE丄BC, 根据题意有= C|E = JF7, 因为棱柱为直棱柱，所以

19、有加丄平而BCC& , 所以DE丄 EC,所以=-xa5xVF7 ,2设点c到平而C'DE的蹲离为d , 根据题意彳 J Q-CDE =冬 Y4E，则仆x x X J7 Xt/ = X xlx >/3 X 4 , 解得=务=出°7,VF7 17所以点c到平而GDE的距离为笫7 .【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判左，点到平而的距离的 求解，在解题的过程中，注意要熟记线而平行的判定宦理的内容，注意平行线的寻找思路, 再者就是利用等积法求点到平而的距离是文科生常考的内容.题型三：求面积9. 2017年全国普通髙等学校招生统一考试文科

20、数学(新课标1卷)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD,且 ZBAP = ZCDP = 90。(1)证明：平面门43丄平面PAD；8（2）若P4 = PD = AB = DC, ZAPD = 90°,且四棱锥P-ABCD的体积为亍，求该 四棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析：（2） 6 + 2*.【详解】试题分析：（1）由ZBAP = ZCDP = 90°,得月3丄AP，CD丄PD.从而得AB丄PD，进而而AB±'K而P4D，由面而垂直的判农定理可得T：而如丄T：而PAD： （2）设M = PD = AB = DC = a，取4D中点0.连结P

21、O,则PO丄底而ABCD,且AD = 42a,PO = a，由四棱锥P-ABCD的体积为：，求出d = 2,由此 23能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知ZBAP = ZCDP = 90。，得A3丄AP，CD丄PD.由于AB CD，故AB丄PD，从而A3丄平而PAD.又AB u平而如所以平面PAB丄平而PAD -（2）在平面PAD内作PE丄AT>垂足为E.由（1）知，AB丄而PAD，故AB丄PE，可得PE丄平面ABCD. 设AB = x,则由已知町得AD = y/2x PE = x.2故四棱锥P-ABCD的体积VP_ABCD = -AB AD PE =技.1 8由题设得一x3

22、= ->故x = 233从而必=PD = 2. AD = BC = 2>/2 > PB = PC = 2 近町得四棱.P-ABCD的侧而积为-PAPD + -PAAB + -PDDC + 丄 C2sin60° = 6 + 232 2 2 210. 2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I )如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点,BE丄平面ABCD ,(I)证明：平面AEC丄平面BED;(ID若ZABC = 20 , AE丄EC,三棱锥E-ACD的体积为求该三棱锥的侧面 3积【答案】(1)见解析(2) 3+25【分析】(1) 由四边形ABCD为

23、菱形知AC丄BD,由BE丄T：而ABCD知AC丄BE,由线面垂直判疋定理知AC丄平而BED,由而而垂直的判定定理知T：而AEC丄平ifii BED:(2) 设AB=x,通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，,RtAEC中，用*表示EG,在REBG中,用x表示EB,根据条件三棱锥E-ACD的体积为3 求出 3-V.即可求出三棱锥E-ACD的侧而积.【详解】(1) 因为四边形ABCD 'h菱形，所以AC丄BD,因为BE丄T而ABCD,所以AC 1BE,故AC丄平而BED又ACU平而AEC,所以平面AEC丄平而BED(2) 设 AB=x,在菱形 ABCD 中，由 ZABO120。，可得 AG=GC=迺 x .GB=GD=丄.2 2I丿、I为AE丄EC,所以仗心AAEC中，可得EG=2込由葩丄平面如）,知咖功直角三角形，可得込疥.由已知得，三棱锥&ACD的体枳V.=LxLAC-GD-BE = x3 = -.故=2s 3 2243从而可得 AE=EC=ED= .所以