第7章 线性离散系统的分析与校正(简介)

1、青海大学化工学院第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正 主讲：师玉宝主讲：师玉宝Email：Tel七章线性离散系统的分析与校正 控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数字（数码），由于信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统离散系统。两类离散系统：两类离散系统：1采样控制系统或脉冲控制系统采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）控制器脉冲保持器被控对象r(t)e(t)Te*(t)c(t)图 7-1 采样控制系统 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念第七章线性离散系统的分析与校正2数字控制系统或计算机

2、控制系统数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）图 7-2 数字控制系统 数字计算机D/A转换器被控对象r(t)e(t)Te*(t)量测及变换A/D转换器u*(t)u(t)c(t)第七章线性离散系统的分析与校正采样控制系统包括信号采样和复现两个过程。 采样：把连续信号转变为脉冲序列的过程。复现：把序列信号转变为连续信号的过程。第七章线性离散系统的分析与校正3离散系统的研究方法离散系统的研究方法（1）用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。（2）用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。第七章线性离散系统的分析与校正1采样过程采

3、样过程：连续信号 采样器 离散信号 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持图 7-2 实际采样过程 Se(t)e*(t)Te(t)0te*(t)t0T 2T(a)(b)(c)第七章线性离散系统的分析与校正2 保持器保持器 由图7-1可知, 连续信号经过采样器后转换成离散信号, 经由脉冲控制器处理后仍然是离散信号, 而采样控制系统的连续部分只能接收连续信号, 因此需要保持器来将离散信号转换为连续信号。最简单同时也是工程上应用最广的保持器是零阶保持器, 这是一种采用恒值外推规律的保持器。它把前一采样时刻nT的u(nT)不增不减地保持到下一个采样时刻(n+1)T, 其输入信号和输出信号的关系如图7

4、-3所示。 第七章线性离散系统的分析与校正图 7-3 零阶保持器的输入和输出信号 u*(t)0tT 2T 3T零阶保持器u*(t)uh(t)uh(t)0T 2T 3Tt第七章线性离散系统的分析与校正7.3 Z 变变 换换 理理 论论 1 Z变换定义变换定义 连续函数f(t)的拉氏变换为 dtetftfLsFst)()()(0(7.8) 设f(t)的采样信号为 0)()()(*nTnTtnTftf(7.9) 其拉氏变换为 nTsnstnTstnTentfdtenTtnTfdtenTtnTfsF00000*)()()( )()()(7.10) 第七章线性离散系统的分析与校正上式中e-Ts是s的超越

5、函数, 为便于应用, 令变量 Tsez 将上式代入式(7.10), 则采样信号f*(t)的Z变换定义为 nnznTftfZtfzzF0*)()()()( 严格来说, Z变换只适合于离散函数。这就是说, Z变换式只能表征连续函数在采样时刻的特性, 而不能反映在采样时刻之间的特性。Zf(t)是为了书写方便, 并不意味着是连续函数f(t)的Z变换,而仍是指离散函数f*(t)的Z变换。即F(z)和f*(t)是一一对应的, 但f*(t)所对应的f(t)可以有无穷多个。将式(7.9)和式(7.12)展开, 有 第七章线性离散系统的分析与校正)2()2()() 1 ()()0()()()(0*TtfTtft

6、fnTtnTftfnT(7.13) 210)2() 1 ()0()()(zfzffznTfzFnn可见, F(z)中, f(nT)决定幅值, z-n决定时间。Z变换和离散序列之间有着非常明确的“幅值”和“定时”的对应关系。 第七章线性离散系统的分析与校正2 Z变换性质变换性质 Z变换有一些基本定理, 可以使Z变换的应用变得简单和方便, 其内容在许多方面与拉氏变换基本定理有相似之处。 (1) 线性定理线性定理 设ci为常数, 如果有 )()()()()(22111zFczFczFczFctfnnniii, 则 )()()()()(22111zFczFczFczFczFnnniii(7.15) 第

7、七章线性离散系统的分析与校正 (2) 实数位移定理实数位移定理 实数位移定理又称平移定理。实数位移的含义,是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期, 其中向左平移为超前, 向右平移为滞后。 )()(zFzkTtfZk(7.16) 10)()()(knnkkznTfzzFzkTtfZ(7.17) 证明证明 根据Z变换定义有 0)(0)()()(nknknnzTknfzzkTnTfkTtfZ第七章线性离散系统的分析与校正令m=n-k, 则有 kmmkzmTfzkTtfZ)()(由于Z变换的单边性, 当m0时f(mT)=0, 所以上式可写为 0)()(mmkzmTfzkTtfZ再令m=n,

8、式(7.16)得证。 第七章线性离散系统的分析与校正10010)()1()(100)()()()()()() 1()()() 1()()()(knnkknknnnkknnknkkkknknnznTfzzFzznTfznTfzznTfzzTnkfzTkfzkTfzzTnkfzTkfzkTfzkTnTfkTtfZ第七章线性离散系统的分析与校正 式(7.16)称为滞后定理, 式(7.17)称为超前定理。算子z有明确的物理意义: z-k代表时域中的滞后环节, 它将采样信号滞后k个周期, 参见式(7.13)和式(7.14)。同理, zk代表时域中的超前环节, 它将采样信号超前k个周期。但是, zk和z-

9、k仅用于运算, 在物理系统中并不存在。 第七章线性离散系统的分析与校正(3) 复数位移定理复数位移定理 )()(aTatzeFetfZ(7.18) 证明证明 根据Z变换定义有 nanTnatzenTfetfZ)()(0令z1=zeaT, 则上式可化为 )()()()(110atnnatzeFzFznTfetfZ即式(7.18)成立。 第七章线性离散系统的分析与校正(4) 初值定理初值定理 则存在设,)(limzFz)(lim)0(zFfz(7.19) 证明证明 根据Z变换定义有 201)2()()0()()(zTfzTffznTfzFnn当z时, 上式右边除第一项外, 其余各项均趋于0, 因此

10、, 式(7.19)得证。 第七章线性离散系统的分析与校正 (5) 终值定理终值定理 如果设f(t)的Z变换为F(z), 且f(nT)(n=0, 1, 2)为有限值, 且极限 )() 1(lim)(lim)(lim1zFzntftfznt(7.20) 证明证明 因为采样信号f*(t)即为离散序列f(nT), 故f(nT)的Z变换就是 )()()(0zFznTfnTfZnn第七章线性离散系统的分析与校正)0()(2)0()()3()2()()0()()3()2()() 1() 1(321)1(210zfzFfznTfzTfzTfzTffzznTfzTfzTfTfzTnfTnfZnnnn而f(n+1

11、)T的Z变换为 第七章线性离散系统的分析与校正上面两式相减, 可得 )() 1()0()() 1(0zFzzfznTfTnfnn对上式两边取z1的极限, 得 )() 1(lim)0()() 1(10zFzfnTfTnfzn当n=N时为有限项, 上式左边可写为 ) 1()0()() 1(0TNffnTfTnfNn令N, 则有 )(lim)(lim) 1(lim)0()() 1(0tfnTfFNffnTfTnftnzn式(7.20)得证。 第七章线性离散系统的分析与校正(6) 卷积定理卷积定理 设设 knnTrTnkgkTc0)()()(7.21) 则卷积定理可以表示为 )()()(zRzGzC(

12、7.22) 证明证明 根据Z变换定义 0)()(kkzkTczC(7.23) 将式(7.21)代入式(7.23), 可得 00)()()(kkknznTrTnkgzC第七章线性离散系统的分析与校正由于kn时, g(k-n)T=0, 上式可改写为 0000)()()()()(kknkknzTnkgnTrznTrTnkgzC令k-n=j, 则k=0时, j=-n, 上式化为 )()()()()()()(000)(zRzGzjTgznTrzjTgnTrzCnjjnnnjjn第七章线性离散系统的分析与校正3 Z变换方法变换方法 (1) 级数求和法级数求和法 根据式(7.13)和式(7.14), 只要知

13、道连续函数f(t)在各个采样时刻的数值, 即可按照式(7.14)求得其Z变换。这种级数展开式是开放式的, 有无穷多项。但有一些常用的Z变换的级数展开式可以用闭合型函数表示。 例例 7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。 解解 单位阶跃函数的采样函数为1(nT)=1 (n=0, 1, 2, )将f(nT)=1(nT)=1代入式(7.14), 可得 11111)( 1 21zzzzztZn第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-2 求f(t)=e-at的Z变换。 解解 f*(t)=f(nT)=e-anT, 根据式(7.14), 可得 nnaTaTaTzezezezF2211)(两边同乘e-aTz

14、-1得 nTnTTTzezezezFze2211)(两式相减, 可以求得 1)1)(1zezFT即 aTTezzzezF111)(第七章线性离散系统的分析与校正 (2) 部分分式法部分分式法 当连续函数可以表示为指数函数之和时, 可以利用上题的结果求得相应的Z变换。 设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数, 可以展开为部分分式的形式, 即 niiipsAsF1)(式中, pi为F(s)的极点, Ai为常系数。Ai /(s-pi)对应的时间函数为 Aiepit , 由例7-2可知, 其Z变换为Aiz/(z-epiT)。由此可得 niTpiiezzAzF1)(第七章线性离散系统的分析与校正 例例

15、 7-3 设连续函数f(t)的拉氏变换式为F(s)=a/s(s+a), 求其Z变换。 解解 将F(s)展开为部分分式形式： assassasF11)()(由例7-1和例7-2可知: )1)(1 ()1 (1111)(11111zezzezezzFTTT第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-4 求f(t)=sint的Z变换。 解解 求F(s)并将其展开为部分分式形式： jsjjsjssF)2/(1)2/(1)(22所以 1cos2sin)cos2(1)(sin11211121)(221111TzzTzzzTzTzejzejzFTjTj 附表中列出了一些常见函数及其相应的拉氏变换和Z变换。利用此

16、表可以根据给定的函数或其拉氏变换式直接查出其对应的Z变换, 不必再进行繁琐的计算。 第七章线性离散系统的分析与校正4 Z反变换反变换 和拉氏反变换相类似, Z反变换可表示为Z-1F(z)=f*(t) (7.24) (1) 长除法长除法幂级数法幂级数法 如果F(z)已是按z-n降幂次序排列的级数展开式, 如式(7.14), 则根据式(7.13)即可写出f*(t)。如果F(z)是有理分式, 则用其分母去除分子, 可以求出按z-n降幂次序排列的级数展开式, 再写出f*(t)。虽然长除法以序列形式给出了f(0), f(T), f(2T)， 的数值, 但是从一组值中一般很难求出f*(t)或f(nT)的解

17、析表达式。 第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-5 已知 ,235)(2zzzzF求f*(t)。 解解 F(z)可以写为 2112315)(zzzzF长除得 F(z)=5z-1+15z-2+35z-3+75z-4+f(0)=0, f(T)=5, f(2T)=15, f(3t)=35, f(4T)=75, 即 )4(75)3(35)2(15)(5)(0)(*TtTtTtTtttf第七章线性离散系统的分析与校正 (2) 部分分式法部分分式法 采用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式。其方法与拉氏反变换的部分分式法相类似, 将F(z)展开成部分分式的形式, 就可以通过查表求得f*(t)或f(nT

18、)。 例例 7-6 用部分分式法求上例中F(z)的Z反变换式。 解解 将F(z)展开成部分分式形式： niiipzzazF1)(2515235)(2zzzzzzzzF查表得 nzzZzzZ22, 1111第七章线性离散系统的分析与校正故 f*(t)=f(nT)=5(-1+2n) (n=0, 1, 2, ) 即 f(0)=0, f(T)=5, f(2T)=15, f(3T)=35, f(4T)=75, 第七章线性离散系统的分析与校正(3) 留数计算法留数计算法由复变函数理论可知 cnnzzFsdzzzFjnTftf)(Re)(21)()(11*(7.25) Res表示F(z)zn-1在F(z)的

19、极点上的留数。 一阶极点的留数为 )()(lim1npzzzFpzR)()(lim)!1(1111nqqqpzzzFpzdzdqR(7.26) q阶重极点的留数为 (7.27) 第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-7 用留数法求)5 . 0)(1(5 . 0)(zzzzF的Z反变换。 解解 根据式(7.25)有 )5 . 0)(1(5 . 0Re)(Re)(1zzzszzFsnTfnn因为F(z)zn-1在z=1和z=0.5处各有一个极点, 所以 第七章线性离散系统的分析与校正nznznzzzzRzzzzR)5 . 0()5 . 0()5 . 0)(1(5 . 01) 1()5 . 0)(

20、1(5 . 05 . 0211由此得 ), 2 , 1 , 0()5 . 0(1)(nnTfn第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-8 用留数法求 2) 1()(zTzzF的 Z反变换。 解解 由于F(z)在z=1处有二重极点, 因此 nTnTzzzTzzdzdRznnz111221)() 1() 1(lim)!12(1由此可得 f(nT)=nT (n=0, 1, 2, ) 第七章线性离散系统的分析与校正7.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型1 脉冲传递函数的基本概念脉冲传递函数的基本概念 线性连续系统理论中, 把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比, 定

21、义为传递函数。与此类似, 在线性采样系统理论中线性采样系统理论中, 把初始条件为零的情况下系统的把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的离散输出信号的Z变换与离散输入信号的变换与离散输入信号的Z变换之比变换之比, 定义为脉冲定义为脉冲传递函数传递函数, 或称或称Z传递函数。传递函数。它是线性采样系统理论中的一个重要概念。 第七章线性离散系统的分析与校正7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性的分析方法：离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s平面上分析稳定性的结果 离散线性系统在 z平面上的稳定性。1. s 域到域到 z 域的映射关系域的映射关系j

22、TTjTTseeeez)(jsTzezT,域域zs0j平面s2s2sIm1平面z0Re第七章线性离散系统的分析与校正0令线映射等相当于取s平面上的虚轴映射到 z 平面上的轨迹：以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈Ts2Ts2zTzTzezT,第七章线性离散系统的分析与校正结论：在等 线的左半平面映射为z平面上同心圆的内部，右半平面映射为同心圆的外部。s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。线映射等线映射等j1121Te1Te2Te第七章线性离散系统的分析与校正闭环采样系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程系统特征方程的所有根均分布在的

23、所有根均分布在z平面的单位圆内平面的单位圆内, 或者所有根的模或者所有根的模均小于均小于1, 即即|zi|1(i=1, 2, , n)。 js平面Tj0TTImz平面Re101Tj图 7-16 s平面上虚轴在z平面上的映像 第七章线性离散系统的分析与校正 与分析连续系统的稳定性一样, 用直接求解特征方程式根的方法判断系统的稳定性往往比较困难, 这时可利用劳斯判据来判断其稳定性。 但对于线性采样系统, 不能直接应用劳斯判据, 因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在s平面虚轴的左半部, 而采样系统中希望判别的是特征方程式的根是否在z平面单位圆的内部。因此, 必须采用一种线性变换方法,使z平面

24、上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换, 又称为W变换。注意, 因z=eTs是超越方程, 故不能将特征方程式变换为代数方程。令 11wwz(7.34) 第七章线性离散系统的分析与校正则 11zzw(7.35) 式(7.34)和式(7.35)表明, 复变量z与w互为线性变换。 令复变量 z=x+jy w=u+jv 代入式(7.35)得 2222) 1(2) 1(11yxyjyxjyxjyxjvu对于w平面上的虚轴, 实部u=0, 即 x2+y2-1=0 这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单位圆内x2+y21, 对应于w平面上u为负数的虚轴左半部; 单位圆外x2+y

25、21, 对应于w平面上u为正数的虚轴右半部。 第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-10 判断图7-17所示系统在采样周期 图 7-17 采样系统 R(s)TsTse1) 1(1ssC(s)第七章线性离散系统的分析与校正解解 开环脉冲传递函数为 )(1() 1()(1()(1) 1()1 (1111)1 () 1(1)1 () 1(11)(221212TTTTTsTsezzzezzezTezzzzzTzzsssZzsseZssseZzG第七章线性离散系统的分析与校正闭环传递函数为 )(1)()(zGzGzGc闭环系统的特征方程为 0) 1()(2zezTT即 z2+(T-2)z+1-Te-T

26、=0 当T=1 s时, 系统的特征方程为 z2-z+0.632=0 第七章线性离散系统的分析与校正因为方程是二阶, 故直接解得极点为z1,2=0.5j0.618。由于极点都在单位圆内, 所以系统稳定。 当T=4s时, 系统的特征方程为z2+2z+0.927=0 解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单位圆外, 所以系统不稳定。 从这个例子可以看出, 一个原来稳定的系统, 如果加长采样周期, 超过一定程度后, 系统就会不稳定。通常, T越大, 系统的稳定性就越差。 第七章线性离散系统的分析与校正 用MATLAB解本例如下: %example7-10 c1=1 1 0.632

27、 roots(c1) c2=1 2 0.927 roots(c2) 第七章线性离散系统的分析与校正图 7-18 采样系统 R(s)T)4( ssKC(s)第七章线性离散系统的分析与校正 例例 7-11 设采样系统如图7-18所示, 采样周期T=0.25s, 求能使系统稳定的K值范围。 解解 开环脉冲传递函数为 )(1(14144114)4()(444TTTezzeKezzzzKssKZssKZzG闭环传递函数为 )(1)()(zGzGzGc第七章线性离散系统的分析与校正闭环系统的特征方程为 0)1 (4)(1()(144zeKezzzGTT令 ,25. 0,11sTwwz代入上式得 01115

28、8. 0368. 011111wwKwwww整理后可得 0.158K2+1.264+(2.736-0.158K)=0 劳斯表为 w2 0.158K 2.736-0.158Kw1 1.264w0 0 2.736-0.158K 第七章线性离散系统的分析与校正要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 即 0.158K0 和 2.736-0.158K0 所以使系统稳定的K值范围是0K17.3。 第七章线性离散系统的分析与校正2 数字控制系统的稳态误差数字控制系统的稳态误差 图 7-19 单位反馈采样控制系统 R(s)TG(s)C(s)E(s)E*(s)第七章线性离散系统的分析与校正与连续系统类

29、似, 系统的误差 )()(11)(zRzGzE设闭环系统稳定, 根据终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值 )()(11) 1(lim)(lim1zRzGzteeztsr(7.36) 第七章线性离散系统的分析与校正 在连续系统中, 如果开环传递函数G(s)具有个s=0的极点, 则由z=eTs可知相应G(z)必有个z=1的极点。我们把开环传递函数G(s)具有s=0的极点数作为划分系统型别的标准, 并分别把=0, 1, 2, 的系统称为0型、型和型系统等。同样, 在离散系统中, 也可把开环传递函数G(z)具有z=1的极点数作为划分系统型别的标准, 分别把G(z)中=0, 1, 2,

30、 的系统称为0型、型和型(离散)系统等。 与连续系统对应的离散系统的3种误差系数以及不同型别的稳态误差(表 7-1)直接列出如下, 不再推导。 第七章线性离散系统的分析与校正稳态位置误差系数:)(1 lim1zGKzp(7.37) 稳态速度误差系数: )() 1(lim1zGzKzv(7.38) 稳态加速度误差系数: )() 1(lim21zGzKza(7.39) 第七章线性离散系统的分析与校正表表 7-1 单位反馈离散系统的稳态误差单位反馈离散系统的稳态误差 第七章线性离散系统的分析与校正 如果可以求出离散系统的闭环传递函数Gc(z)=C(z)/R(z), 其中R(z)=z/(z-1)通常为

31、单位阶跃函数, 则系统输出量的Z变换函数 )(1)(zGzzzCc将上式展成幂级数, 通过Z反变换, 可以求出输出信号的脉冲序列c(k)或c*(t)。由于离散系统的时域指标与连续系统相同, 故根据单位阶跃响应曲线c(k)可以方便地分析离散系统的动态性能。 7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析第七章线性离散系统的分析与校正例例 7-12 设采样系统如图7-19所示, 其中, 368. 0368. 1264. 1)(2zzzzG采样周期T=0.1 s, 求系统指标ts和的近似值。 解解 闭环脉冲传递函数为 368. 0104. 0264. 1)(1)()(2zzzzGzGzGc系统的阶跃响应为 368. 0472. 0104. 1264. 11368. 0104.