2021届吉林省东北师大附中高三五模理科数学试卷

1、2021年吉林省东北师大附中高三五模理科数学试卷学校:姓名：班级：考号：_、单选题1. 设A = xx2-x-2<0f B =B,则实数a的取值范围是()A. (-1, 2) B. |-1=0)U(052j c. (_8,_l)U(2,+8) D. (0, 2)2. 已知i是虚数单位，xeR,复数乙=(x+Z)(2 + /)为纯虚数，则2x-i的模等于()A. 1B. y/2C.前D. 23. 下列结论错误的是()A. 命题“若p,贝归”与命题“若X，则互为逆否命题B. 命题 p： "Vx 6 0,14 <ex< e(e 是自然对数的底数)，命题 q： "

2、3x E R,x2 +%+ 1 < 0", 则p Vq为真C. llam2 v bm?”是“a < b”成立的必要不充分条件D. 若pVq为假命题，则p、q均为假命题4. 已知+丄的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中兀的系数为() X)A. 5B. 10C. 20D. 40!lfx > 00,%=0 ,则下列等式正确的是lj% 0A. sin% sgn(%) = sin|%| B sinx sgn(%) = |sin%|C. |sinx| sgn(x) = sin|%| D sin|%| sgn(x) = |sinx|6. 公元263年左右，我国数学家刘徽

3、发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多 边形的周长可无限逼近于圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精 确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序 框图，如图所示，则输出的九=()(参考数据：sin7.5° 忆 0.1305,sin3.75° 彩 0.06540,sinl.875° 彩 0.03272)SIA. 48 B. 96 C. 192 D. 3847. 函数/'(x) = 2sin(亦 + 0)9 > 0,(p < f)的部分图像如图所示，则/'() +/()=()A 1+

4、V3 E I-a/3 C 1 + D 1- 2 28. 边长为d的等边三角形ABC中心为O, P是边BC上的动点，则OPAB +()JJnA.有最犬值伫B.有最小值少C.是定值少D.与P的位置有关6 12 29. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为()正祝图8 10A. 2 B. - C. 3 D. y10. 双曲线書一首= l(a>0rb> 0)的一条渐近线与圆(x + I)2 + (y -询尸=1相切,则此双曲线的离心率为()A、/5】B2 C 翻D 亠311. 在锐角AABC中，a,b,c分别为角A.B.C所对的边，满足ocos3 = b(l + cos4),且AA

5、BC的面积5 = 2,则(c + a b)(c+b °)的取值范围是()B.C.D. (&8间12.A.0,1C丿B.C.D.(1，十s Ue13.14.15.填空题己知实数乞y满足p - y + 5 > 0%<3,则氓的取值范围是%+y>0 x在区间0,1±随机取两个数乞则事件恢y <学的概率为过点M (0,1)的直线/交椭圆C：宁+ * = 1于A, 3两点，仟为椭圆的左焦点,AABf；周长最人时，直线/的方程为16.已知动点P在棱长为1的正方体ABCD -的表面上运动,PA = r(0<r<V3),记点P的轨迹长度为/(r)

6、,给出以下四个命题：函数/(r)在(0,1)上是增函数；/(1)=；/(血)=屁：2(写出所有真命题的序号)曲线/(x) = ar(6F>0)与g(x) = lnx有两条公切线，则。的取值范闱为()三.解答題917. 已知函数/(x) = -x ,数列%中a”>0,满足+严/“)(7?eN* ),且8-527(1) 求数列©的通项；(2) 若数列$的前项和为S”，且bn=an + n ,求S”.18. 为配合4月23 口“世界读书口”，某校将4月18 口-4月24 口定为学校读书周，并 从全校学生中随机抽取71名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位：小时）的数据 如下：

7、（1）求九的值及该校读书周人均读书时间估计值；（2）如果按读书时间（0,6, （6,12,（12,18用分层抽样的方法从名学生中抽取20人， 再从这20人中随机选取3人，i乂为课外读书时间落在（12,18的人数，求X的分布列和 数学期塑；（3）将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记Y表示课外读书时间落在 （12,18的人数，求Y的分布列和数学期望19. （题文）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC丄底面ABCD,廉励BCD是直角梯形，AB 丄 AD.AB | CD.AB = 2AD = 2CD = 2, PC =4, E为线段PB上一点线/的斜率为-1时，点M恰为的中点(1) 求抛物线

8、的方程；(2) 抛物线上是否存在一个定点P,使得以弦为直径的圆恒过点P,若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由21. 已知函数f(x) = ln.x-x证明：AC BC=AD AE； 过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F,若AF = 2,CF = 4,求4C的长23. 在直角坐标系%Oy中，直线!为过点P(1 ),且倾斜角为a(<a<n)的直线，以坐标原点为极点，尤轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C : p2(l + sin20) = 2(1) 写出直线Z的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2) 若直线Z与曲线C相交于4, B两点，且"而=一扌，求|励|的长24.

9、设函/(%) = |2%+1|-|%-2|(1) 求不等St/(%) > 5的解集：(2) 对任意实数,不等it/(x)>a2-ya成立，求实数a的取值范围 +cix ,是函数/(x)的两个零点，且a; <,(1) 讨论函数/(X)的单调性；(2) 求a的取值范围；(3) 设f(x)是函数/(x)的导函数，求证彳土严卜022. 如图，已知圆0是AABC的外接圆，AB = BC,AD是BC边上的高，4E是圆0 的直径，参考答案1. B【解析】试题分析：由题意4=%|-1<%<2,因为A Ci B = B,所以ae A,又a H 0,所以一1 Va<2且a丰0,

10、故选E.考点：集合的运算，集合的概念.2. B【分析】先根据复数乘法运算法则计算，再根据纯虚数概念得X,最后根据复数模的定义得结果.【详解】因为z = (x+i)(2 + i) = (2xl) + (2 + x)i为纯虚数，所以2x-l = 0,2 + x0/.x=i,从 而|2x_i冃 1一i| = >/2 ,选 b.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题首先对于复数的四则运算，要切 实掌握其运算技巧和常规思路，如(“ +炭)(c +di) = (ac-bd) + (ad + bc)i, (a.bc d e R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a + bi(d

11、,bwR)的实部为虚部为b、模为 jM+b?、对应点为a，b)、共轨为a-bi.3. C【解析】试题分析：很容易验证都是正确的，对于答案当时,am? < bm2也不一定成立，故不必要,因此该答案C是错误的，应选C.考点：命题真假的判定.4. B【分析】首先根据二项展开式的各项系数和C”° + C7 + CV + C“"=2"=32,求得77 = 5,再根据 二项展开式的通项为7；.+i = C/(x2)r(l)n-r,求得=2,再求二项展开式中x的系数.【详解】 因为二项展开式的各项系数和c： + C, + C； +C/ = T = 32,所以77 = 5,

12、 又二项展开式的通项为 7；.1 = Cr(x2y(-rr = C;；x3r- 3厂5 = 1,厂=2X所以二项展开式中X的系数为C/=10答案选择E【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题.5. A【解析】试题分析：%>0时,sin% - sgn(x) = sin%> %vO时,sinx - sgn(x) = sin% = sin(%),所 以 sinx-sgn(x)=sin|xh 八正确.故选 A.考点：新定义.6. B【解析】试题分析：由程序框图，第一次计算p=48sin器=3.13935 V 3.14,第二次计算p = 96sin竽 =3.14103 >

13、 3.14,满足退出条件，输出n = 96.故选B.96考点：程序框图.7. B【解析】试题分析：由题意丁 = 4 x (£(寻)=7T, 3 =弓=2,又2 x () + (p = 2kn,k e Z, (p = 2kn-fkeZ,所以 = -p 即 fO) = 2sin(2% 勿 所以/'(0)+fQ) = 1屈 故选 E 考点：三角函数的解析式.8. C【解析】 试题分析：设 D 是 中点，则 -（ABAC） = OP-2AD = 6dP 55 = 605考点：向量的数量积.【名师点睛】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能8形的面积，db

14、也可化为角C的函数，因此(c + d-b)(c + b-a) =(1-cosC),从而sinC只要求得角C的范I韦1即得，首先三角形是锐角三角形，各角都是锐角，条件 dcosB = b(l + cos4)化为角的关系得A = 2B,从而很快得出三角形中角B的范围，也即 有C的范围.12. D【解析】试题分析：设Pg y)是f(x)的切点,0(x“yJ是g(x)的切点J3 = 2ax, g x)=-,x则直线切线为)，一开= 2qT(x xJ , y-y2 = (x-x2),即 y = 2。¥/-。彳，1 =y = -x-l+lnx29由题意这两条直线重合，因此 x2，消法呂得ax =

15、 l-lii x2丄+ ln.q-1 = 0,由题意此方程有两个不等实根，记/心)=厶 + 12-1,则时，hx)>0.时，hx)<09 x>2cix,所以mm因此x = 石时 ,吃)皿-+1112。解得心炙故选Dhx) = -+ 丄=2"工", o<x<2ax=考点：导数的几何意义，导数的综合应用【名师点睛】两曲线的公切线问题，分别在两曲线设出切点坐标，如设卩(兀,)1)是/(Q的 切点，0(无,儿)是g(x)的切点，利用导数的几何意义分别写出切线方程: y-y = fKx-xj, y-y2 = fx2)(x-x2),由这两条直线是同一条直线

16、(即重合) 得出”丕的关系，并求出“£本题中关于心乞的方程有两解，可转化为一个函数有两个 零点，这又可利用导数来研究函数的单调性与极值从而得出结论.13.【解析】 试题分析：作出可行域，如图2UBC内部(含边界)，三|表示可行域内点幺刃与P06)连线 斜率，也=二7切W，所心錚1考点：简单线性规划的非线性应用.【解析】试题分析：如图，曲线y=+与正方形OMNP交于点、A,B,其中1),F(1 i),正方形OMNPrl1面积为1,正方形在曲线y=下方的图形面积为S = * d% = i+|ln%|i = i + iln2,丿一?考点：几何概型.概念，可以判断出题中动点轨迹在相应面上都是

17、圆弧.这是解决立体几何的一种方法，空间 问题平面化.17.(1) an =(2(2) S”=3仁(3丿n2 +n+ 92-99【解析】试题分析：(1)由已知得all+l = -an,数列%是等比数列且公比为亍，再由Qa2a5 =求得©，可得通项公式；(2) ® =是一个等比数列与一个等差数列相应项相加得到的，其前期几应采取分组求和的方法，分成一个等比数列的和与一个等差数列 的和.试题解析：(1)由已知«n+1 = /(«J = |，即竽 =|，所以数列是公比为q = g的3=,得 =(3丿3、/l127即等比数列33又匕>0,得«1=-,

18、故an=a=-(2)由(1)知,bn=an+f1 =2 丫-3>s=q+g + +$ =-i+3>-1+l+ I+ 2 +2<323>+(1十2+ 十“)21-5 i-F3考点：等比数列的通项公式，分组求和，等比数列与等差数列的前”项和.18(1)/1 = 200,估计值：7.78； (2)分布列见解析，期望为卷：(3)分布列见解析，期【解析】试题分析:（1）由频率表中第5行数据可计算出总人数小然后可得各组频率，频数，利用 各组中值及频率可计算出估值；（2）由分层抽样的定义知制取人数与总人数是成正比的，因 此在（1248上的人数为2,这样X的可能值为0, 1, 2, P

19、（X = k） = j 计算后可得分C20布列，计算出期望；（3）总人数为200,在（12,18上的人数为20,因此任取1人，落在区 间（12,18上的概率是霧=命,从而Y的可能值为0,1, 2,3,且丫8（3,命）,根据二项分布 概率公式可计算出概率得分布列，同时计算出期塑.试题解析：（1）由已知可得n = -=200该周人均读书时间估计值为：1 X 0.06 + 3 X 0.07 + 5 X 0.17 + 7 X 0.22 + 9 X 0.25 + 11 X 0.13 + 13 X 0.05 + 15 X 0.03 + 17 x0.02 = 7.78,（2）由题意，抽取的20人中课外阅读时

20、间落在（12,18的人数为20X嘉=2 X = 0,1,2P（X = 0） = lf=P（X = l） = = P（X = 2） = =因此,EX = OX 鬻+ 1X 盏+2X =310所以X的分布列为X012P136190511903190（3）由题意，在从该校学生中随机选取一名学生，该周课外读书时间落在（1248的概率为20 _ 1200 _ 10则Y = 0123,且8（3,命），P（Y = Q = <?和吉）上（卷）4上（k =（U23）所以Y的分布列为Y0123P7292432711000100010001000因此,F（y）= 3x = l考点：频率分布表，随机变量分布列及

21、数学期望，二项分布.19. （1）证明见解析；（2）扌.【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，就是要证线面垂直，也即要证线线垂直，从图形中看特别是 梯形4BCD中可证得4C丄再有PC丄4C,从而4C就是线面垂直的“线”，由此可证；（2） 本小题是与二面角有关的问题，可建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求得二 面角，从而确定比值.这里以CP为z轴，CD为y轴，建立坐标系，可以很快地写出各点的坐 标.试题解析：（1）如图，由题意，AC = BC = y2,血B = 2, 丄4C,PC丄底面ABCD,PC丄AC又PC OBC = CfAC丄底面PBCAC u平面EAC平面EAC丄平面PBC

22、（2）如图，以C为原点，取/B中点M,以CM,CD,CP所在直线为%yz轴建立空间直角坐标 系则8(匕一40)(004)必(1丄0),设E(X”z), KFE = 1BP(O<A<1),得(兀I# y + l*z) = A(11/4) 9 即E(1 X, A 1,4A)法一：CA = (1,1,0), CE = (1 - A, A - 1,4A),设平面E4C的法向量为仍=（%, yf z）,令% = It得云=（匕-匕甘）即仃刃+“Dy+%=°、I% + y = 0又BC丄4C,且丄PC,用f以BC、平面PAC故平面P4C的法向量为帀=就=（一1丄0）,由二面角P-AC

23、-E的余弦值为寧 得事=|cos嗣）1 =黑=创:七乎'解得久=-1或？由0 V久v 1WA =扌，即黔扌16A法二：由（1）知，乙PCE为二面角P-AC-E的平面角，因此cosPCE = y coszPCE = cos(CE CP)=如)；爲口 = T整理得:3A2+2A-l=0,解WA = -1或?由2>0得久=?即囂考点：面面垂直的判断，二面角【名师点睛】利用平面的法向量求二面角的人小时，二面角是锐角或钝角由图形决定.由图 形知二面角是锐角时008 0=®-;由图形知二面角是钝角时，05 6=-®-.当图形不能 确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的

24、方向，从而确定二面角与向量云痕的夹角 是相等（一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部）, 还是互补（两个法向量同时指向二面角的内部或外部），这是利用向量求二面角的难点、易 错点.20. （1） y2 =4%； （2）存在点P（l,2）满足题意.【解析】试题分析：（1）直线/方程为+y-3 = 0,把直线方程代入抛物线方程，利用中点是M, 可求得p； （2）存在性问题，假设存在，同时设直线方程为=m（y + 2） + 5,交点为 力（%1，为）月（>22），把直线方程代入抛物线方程后可得力+ ），）妙2，同时设POO。），由 题意 PA-PB = （%1 -%

25、o）（x2 - xo） +（371 - yo）（3z2 - Yo） =扌巴力 + 力小力代入,注意A,B,P在抛物线上，所得等式关于肌是恒等式，由此应该可求得沟，得P点坐标.试题解析：（1）当直线I的斜率为-1时，直线啲方程为+ y3 = 0,即% = 3-y,代入）只= 2px（p > 0）得+ 2py - 6p = 0,弐尹=p = -2,p = 2,所以抛物线的方程为= 4%（2）设直线Z的方程为 = m（y +2） + 5,代入）* = 4%得y? 4my 8m 20 = 0,设点4（牛,力）,力（牛,）,则yi +）=4m,力力=-8 m - 20,假设存在点P（,yo）总是在

26、以弦佔为直径的圆上，则PA PB =+（3zi yo）（72 - yo） = o当yi=）s或）=为时，等式显然成立；当力丰为或歹2 丰为时，则有（71 + yo）（3z2 + yo） = -16,即4m）s + y02 一 8m - 20 =-16, （4mtyo+2）（yo - 2） = 0解得沟=2,勿=1,所以存在点P（l,2）满足题意考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线相交，抛物线中的存在性问题.【名师点睛】直线与圆锥曲线相交问题，一般都不直接求出交点坐标，而是设交点为/（，%），（匕，），同时设直线方程为 =m（y + 2） + 5,并代入圆锥曲线方程，整理后得 出力+ ），）（或

27、+ %2，勺2），把它们用直线方程中的参数m表示出来，然后把已知条 件如"而=0 （或斜率，或弦长等）用力2表示后，并代入+）么）矽2,从而转化为参 数TH的关系，再分析得出结论.21. （1） x0 =：十 * > 0 ,当 x 已（0,忑）时，/"（X）单调递增：当 x e（x0,4-co）时，/（x） 单调递减；（2） （1,+8）； （3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，先导数fx）,然后解得方程fx0） = 0在（0,+s）上的解 通过/'（X）的正负确定/（X）的单调区间；（2）由（1）知X。是/（X）的极大值点，因此只要 /（x0

28、） > 0 ,就能保证/有两个零点，注意到a = 2A°' -1 ,因此可由f（x0） > 0求得兀的取值范围,A + x2I 2再求得d范围；（3）首先由/（） = /（%2） = 0,用兀表示出a,再求得2（兀-兀）】主-（x1 + x2） + a并整理得，此时会发现只要证X +Xj 召2（亠_ 一）_111主V0,此式证明可用换元法，设/ = >1,再利用函数的性质证明.令 f(x() = O,则 202 - ax0 -1=0 , x0 => 0当xe(O,xo)时，f(x)>0，/(x)单调递增；当xe(x0,+oo)时，f(x)vO,

29、/(X)单调递减(2)由于函数/'(x)存在两个零点，/(x)max>09 v- 2 _ 1 由(1)可 /(-) = /(x0)=liix0 - V + axQ,且一XQ / Wmax = 111X0 一 兀 + 2V 一 匸山兀 + 需1 > 0由 于 g(x0) = hi.r0 + A-02-l 在(0,+8)为增 函数，且 g(l) = 0, .兀 >1所以a的取值范围是(1,+8)方法二：函数/(x) = liix-x2+ar有两个零点，即方程hix-x2+ax = 0有两个实数根,即有两个实数根，设 g(x)=j",则 gr(A)= A'

30、UhlA » 设XX对p(x) = x2 -l+lnx,p(l) = 0,且 p(x) = x2 一 1 + lnx单调递增,/.j;e(0,l)时，/?(x) = x2-l + hix<0, g'(x)<0, g(x)单调递减xw(1,+s)时，/?(x) = x2-l + hix>0, g'(x)>0, g(x)单调递增 gLn = g 十 >=1(3)由于召，兀是函数/(X)的两个零点，且所以，ln 一 xA2 + cix = 0,lii%2 一 a2 + ax2 = 0 两式相减得：In二一（可一打）+ °（兀_兀）=0

31、 ,In 主2（y）_g巴 X1 + X2丄一（屮君+。=土Xj +x2"XA + x2 x2 一為x2 - X要证明%i+%2<0,只需证2y ln±v0,即只需证111 -> '兀+ x2xk兀主+1一i设汁 】，构造函数心血-智U）十詁厂涪。/（f）在（L+oo）单调递增，/?（） = 11"_2卩；）/?（!）= 0ln 土尹）<0考点：导数与函数的单调性，导数的综合应用.22（1）证明见解析；（2） 3.【解析】 试题分析：（1）要证明线段的关系，一般要三角形相似，考虑到BC=AB因此证明AABE-AADC即可，这由相似的判定定

32、理可证；（2）要求4C的长，结合己知，先证AAFC-ACFB,通过求出AB ,得到BC,从而求得AC.试题解析：（1 ）连接BE ,由题意知A4EB为直角三角形，因为ZABE = ZADC = 90 ,ZAEB = ZACBj AABE AADC则烽篇即AB AC = AD AE,又AB=BC,所以AC BC = AD AE（2）因为FC是圆O的切线，所以尸C'=/SFB ,又AF = 2,CF = 4 ,所以FB = & AB = FB FA = 6因为 ZACF = ZCBF、又 ZCFE = ZAFC,所以MFC（?所以;1即心心JBCCFA考点：相似三角形的判断与性质，切割线定理.aXx : _(x = 1 + tcosa_Q："7+p= l山23. (1)直线2： |y = £+tsina (t为参数，其中fvaVTT),2: (2)乎.【解析】试题分析：(1)过点P(So)，倾斜角为a的直线的参数方程为；二鳥;:;篇(t为参鞫, 由此可写出题中直线的参数方程，利用公式PCOS0 = %,psin0 = y, p2 = %2 + y2可把极坐标 方程化为直角坐标方程；(2)考虑