数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言

1、数形结合思想黄根水数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它在解选择题和填空题的时候非常有用，在解答高考大题的时候也可以帮助打开思路数形结合作为一种重要的数学思想方法，历年来一直是高考考查的重点之一，纵观近两年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果从目前高考“注重通法，淡化技巧”的命题原则来看，应重点关注解析几何中图象的几何意义以及函数图象的充分利用要点串讲数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一种是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函

2、数的图象来直观地说明函数的性质；另一种是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点1.要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；2恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；3正确确定参数的取值范围数形结合思想在高考中占有非常重要的地位近几年的高考题中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集合问题、立体几何问题等都用到了数形结合的思想方法数形结合思想不仅是我们解题的一种思想方法，

3、还是我们进一步学习、研究数学的有力武器应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：1.函数式与函数图象2.不等式与函数图象3.圆与方程4.参数本身的几何意义5.代数式的结构特点6.概念自身的几何意义7.可行域与目标函数的最值. 8.利用向量的两重性.高频考点已类型一数形结合解决函数问题【例1】知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集是()a.(0,1)b.(0,1)c(3,1)(0,1)(1,3)d.(0,1)(1,3)分析在同一坐标系内，画出(3,3)上的f(x)及ycosx的图象，利用图

4、象确定解集解析不等式f(x)cosx<0等价于或画出f(x)在(3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(0,1).故选b.答案b点评(1)有关数的问题可借助图形的性质，使问题直观化(2)f(x)在y轴左边的图象是利用奇函数的图象关于原点对称画出的，体现了数学对称的思想方法【探究1】f(x)若不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解在同一坐标系中分别画出函数y2xm及yf(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函数y2xm的图象应总在函数yf(x)图象的下方，因此，当x2时，y4m

5、0，所以m4，所以m的取值范围是4，)点评此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再还原即可解不等式或证明不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式类型二数形结合解决方程问题【例2】已知二次函数yf1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数yf2(x)的图象与直线yx的两个交点间的距离为8，f(x)f1(x)f2(x)(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)f(a)有三个实数解分析利用待定系数法求出f(x)，借

6、助图形或对方程f(x)f(a)同解变形确定方程根的个数为顶点，开口向下的抛物线(如图所示)因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)f(a)有一个负数解又f2(2)4，f3(2)4a2，当a>3时，f3(2)f2(2)a28>0，当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f3(2)在f2(x)图象的上方f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点， 即f(x)f(a)有两个正数解因此，方程f(x)f(a)有三个实数解证法二：由f(x)f(a)，得x2a2，即(xa)0，得方程的一个解x1a.方程xa0化为ax2a2x80，由a>3

7、，a432a>0，得x，x2，x3，a>3，x1x2.若x1x3，则3a2，a44a，解得a0或a，这与a>3矛盾，x1x3.故原方程有三个实数解点评(1)以形助数：解答中在同一坐标系内画出yf2(x)及yf3(x)的图象，得知f(x)f(a)有一个负数解以数助形：yf2(x)与yf3(x)在第一象限内的交点个数不能只由图形作出判断，通过a>3，f3(2)>f2(2)才准确得到方程f(x)f(a)有两个正数解这充分体现了数形结合解决问题的优越性(2)证明或探求方程根的个数问题的常见方法：一是将方程转化为f(x)0，然后研究函数yf(x)的零点，可利用f(a)

8、83;f(b)<0，则a，b内至少有一个零点；二是将方程转化为f(x)g(x)，然后在同一坐标系内画出yf(x)及yg(x)的图象，研究它们的交点个数，从而确定方程根的个数【探究2】已知u1，v1且(logau)2(logav)2loga(au2)loga(av2)(a>1)，求loga(uv)的最大值和最小值解令xlogau，ylogav，则已知式可化为：(x1)2(y1)24(x0，y0)再设tloga(uv)xy(x0，y0)，由图可知，当线段yxt(x0，y0)与圆弧(x1)2(y1)24(x0，y0)相切时，截距t取得最大值，此时tmax22(如图中cd位置)；当线段端点

9、是圆弧端点时，t取得最小值，此时tmin1(如图中ab位置)因此loga(uv)的最大值是22，最小值是1.点评本题通过换元的方法将已知条件转化为圆的方程的形式，将欲求代数式和直线的截距进行联系，结合图形直观形象地获得答案类型三数形结合思想解决代数式值的范围问题【例3】已知实数x，y满足x2y23(y0)，m，b2xy.求证：(1)m；(2)2b.分析m可看作两点(x，y)与(3，1)连线的斜率，b可看作直线y2xb在y轴上的截距证明(1)m可看作过半圆x2y23(y0)上的点m(x，y)和定点a(3，1)的直线的斜率由图可知k1mk2(k1，k2分别为直线am1，am2的斜率)，k1，圆心到

10、切线k2xy3k210的距离为d，k2(舍去负值)，m.(2)b可看作斜率为2，过半圆x2y23(y0)上一点p(x，y)的直线在y轴上的截距由图可知n2bn1，p2c的方程为y2(x)，令x0，yn22，圆心到切线p1b：2xyc0的距离d，c±(舍负值)，n1，2b., 点评条件中的数量关系决定了几何图形的性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题过程【探究3】已知x，y满足1，求y3x的最大值与最小值解令y3xb，则y3xb.原问题转化为：在椭圆1上求一点，使过该点的直线的斜率为3，且在y轴上的

11、截距最大或最小由图可知，当直线y3xb与椭圆1相切时，有最大截距与最小截距，169x296bx16b24000，由0，得b±13，故y3x的最大值为13，最小值为13.点评对于二元函数y3x在限定条件1下求最值，常采用构造直线的截距的方法来求本题正是通过引入参数by3x，视b为直线y3xb的纵截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切时b有最值，利用参数b的几何意义将一个代数式的最值问题转化成直线与椭圆相切的几何问题，体现了数形结合的魅力类型四数形结合思想解决几何问题【例4】如图所示，已知p是直线3x4y80上的动点，pa，pb是圆x2y22x2y10的两条切线，a，b是切点，c是圆心，

12、那么四边形pacb面积的最小值为_分析在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线pa、pb，则四边形pacb的面积s四边形pacbspacspbc2spac.把s四边形pacb转化为2倍的spac可以有以下多条数形结合的思路解解法一：从运动的观点看问题，当动点p沿直线3x4y80向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形pac的面积srtpac|pa|·|ac|pa|越来越大，从而s四边形pacb也越来越大；当点p从左上、右下两个方向向中间运动时，s四边形pacb变小，显然，当点p到达一个最特殊的位置，即cp垂直直线时，s四边形pacb应有唯一的最小值，此时|pc|3，从而|pa|2.

13、s四边形pacb最小值2××|pa|×|ac|2.这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路解法二：利用等价转化的思想：设点p坐标为(x，y)，则|pc|，由勾股定理及|ac|1，得|pa|，从而s四边形pacb2spac2·|pa|·|ac|pa|，从而欲求s四边形pacb最小值，只需求|pa|的最小值，只 求|pc|2(x1)2(y1)2的最小值，即定点c(1,1)与直线上动点(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点c(1,1)到直线3x4y80的距离的平方，这个最小值d229，s四边形pacb最小值2.解法三：利用函数思想，将解法二中s四

14、边形pacb中的y由3x4y80中解出，代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得s四边形pacb最小值2., 点评本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决【探究4】已知点p在抛物线y24x上，那么点p到点q(2，1)的距离与点p到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点p的坐标为()a. b.c(1,2) d(1，2)解析依题意可得抛物线的焦点坐标为f(1,0)，设p到准线的距离为d，则由抛物线的定义知：|pf|pq|d|pq|.如图，当pqx轴时，|pf|pq|最小，此时点p的坐标为，故选

15、a.点评这是一道典型的数形结合求最值的题目，方法是借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，然后在图形中通过几何方法得到问题的解很多数学概念都具有一定的几何意义，常见的对应关系有：导数f(x0)曲线在x0处的斜率；复数的模向量的长度；椭圆到两定点a、b的距离之和为常数2a(2a>|ab|)；双曲线到两定点a、b的距离之差的绝对值为常数2a(2a<|ab|)；抛物线到定点与到定直线的距离相等；数列函数点列；方程组的解曲线的交点等.好方法好成绩1.数形结合的思考途径(1)函数图象的交点或位置关系的问题与方程、不等式问题的相互转化；(2)利用绝对值、解析几何中的重要公式(如两点间距离公式、直线的斜率、截距等)、定义等讨论函数式的背景及几何意义；(3)有的几何图形问题，考虑建立恰当的直角坐标系，利用代数运算或选用向量基底，通过向量运算来处理在解题过程中常用到的图形有：数轴、常见函数(一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数)的图象、单位圆及三角函数线、圆、圆锥曲线和空间几何体等2数形结合思想方法所涉及的主要内容(1)考查集合及其运算问题venn图(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式等问题)(3)考查运用向量运算解决有关问题(4)考查