安徽省皖南八校高三第三次联考数学(文)试题(解析)

1、2019届安徽省皖南八校高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1,已知集合 |A=女憧。1 二5, B = -1,0.1：，则ACB = | （）A. UB. M!C. OJ1ID J-l。【答案】C【解析】 求得集合A = x|x + 01 = Ex 71,根据集合的交集运算，即可求解 .【详解】由题意，集合A = x|x 4 1/0：=应代>-,又由B = 1 1.0匕所以|AIB= 01,故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合 A,再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力2,已知复数丁77,贝+引 （）A . 0B. 1C.应D.

2、 2【答案】D2 * 21【解析】根据复数的运算法则，求得i-z=TT,再根据复数模的计算公式，即可求解。【详解】I t _ 1 + i + >/_ 2 十 2i| I _ 2J2 _由题意复数Z = TT,则I '-i _TT,所以1+工=T= 故选D。【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合 理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。3.从某地区年龄在2555岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（B.抽出的100人中，年龄在3545岁

3、的人数大约为 30C.抽出的100人中，年龄在4050岁的人数大约为 40D.抽出的100人中，年龄在3550岁的人数大约为 50【答案】A【解析】根据频率分布直方图的性质，求得 a-004,再逐项求解选项，即可得到答案。【详解】根据频率分布直方图的性质得(0 01 + 0.05 0.06 + a + 0,02 + 0,02) 5=1,解得a = 0.04所以抽出的100人中，年龄在4045岁的人数大约为0.04，5 < 100 = 20人，所以A正 确；年龄在3545岁的人数大约为(0 06 : 0,04)，5,100 = 5。人，所以B不正确；年龄在4050岁的人数大约为(0 04:

4、0,02) - 5,100 = 30人，所以C不正确；年龄在3550岁的人数大约为(0 06 + 0.04卜0.。2广5 TOO = 6G ,所以D不正确；故选Ao【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。x + 4 _ 0K + y 卜>04 .若X,卜满足约束条件2c ¥-2 *。，则£ = 3* +、的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解目标函数

5、的最大值，得到答案 .【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数艺 H ¥,可化为直线ly =?乂斗£,当¥ =-玄+工经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，IJx + y + I - 0又由 I入 + v 2 - 0 ,解得 = 3.y = -4|,即,所以目标函数的的最大值为 七=3 - 3 4 = 5,故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域，利用 J画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基

6、础题.1ST1 Q 9 = ?.5 .已知,贝广窥12。二 |（）24714A.万B.彳C.一国D.【答案】B【解析】 根据两角和的正切公式，求得 加以二,再由正切的倍角公式，即可求解，得 到答案.【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得X laiLUL I- 1向3-0=T嬴7又由正切的倍角公式，得【点睛】2tam 2乂；24tanza - 工胃1-由、1 B ，故选B.本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题【答案】A【解析】由函数 L 是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再

7、由当时,函数（煞）的值小于0,排除B,即可得到答案.【详解】由题知，函数满足工 产1二一 右一 、，所以函数KQ是奇函数，图象关于原 点对称，排除C、D项；又由当卜£（0.1时，函数的值小于0,排除B,故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7 .七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湘冷庐杂识卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻

8、，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）【解析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到 答案.【详解】设正方形的边长为 4,则正方形的面积为3=4 4 = 16,此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为2,下底边长为高为啦,所以阴影部分的面积为“ = 丁仁应十飞=f ,L当5根据几何概型，可得概率为 F - s - 1b,故选A.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的 几何度量N（A了,再求出总的基本事件对应的几何度

9、量M ”，然后根_ N（A.）据口 =下求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力8 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）B. W44D. V1其中圆柱的底面圆的半径【解析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥, 为k = 母线长为1 = 4,圆锥的底面圆的半径为t=1,高为h = 4,再由体积公式求解,即可得到答案【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为母线长为11 = 4,圆锥的底面圆的半径为t ,高为h - 4 ,所以几何体的体积为：= Z 犬、4.3父/7二故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间

10、几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线 在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视 图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解9.在正方体 ABCD-AFRD中，若点版为正方形ABCD的中心，则异面直线"'与所成角的余弦值为（）*固A.飞B. 丁,息逑C. 6D. 3【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设刖2,则收二色。邛陷22）叫（0.02kM（】，。）|,则向量 L=3ZQN

11、（JF,.1AB（ r D,M-2相 IcosG= j=一 =:j= 一则向量与“I闻的夹角为AEJM厅尸3（7 丁 *即异面直线八与口小：所成角的余弦值为9,故选C.第18页共18页【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属 于基础题./ y210.已知F"叫是椭圆c： j +"的两个焦点，以F1区为直径的圆与直线性可,I= 2相切，则椭圆d的离心率为（）幽固固固A .FB.工C. ¥D.工【答案】D【解析】由圆X +¥ 二以与直线=4

12、 丁二？相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离 心率的定义，即整理2丁-3（?-2 : 口，即可求解.【详解】由题意，以h,七为直径的圆的方程为Y2,其中圆心kw加,半径为T,交F奥_又由圆k +b =晨与直线了相切,2Ab又由一心；整理得2c4"_对=r= 0,即Zq) 一叼 一2则圆心0（00到直线2bx+，象超7ab=U的距离为"府'113-1即兀31 2 =0,解的e i,又由所以"T,故选D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质 一一离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键.求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种

13、方法：求出la1，代入公式l町只需要根据一个条件得到关于ab。的齐次式，转化为落c的齐次式，然后转化为关于 已的方程（不等式），解方程（不等式），即可得c（e的取值范围）.,l0g：（x+ l）.x > I11.已知函数Xl,则满足第/）<）小2）的实数k的取值范围是（）A. LW"B. + 司C."）D. （01）【答案】B【解析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式4人 + 弘-2）,转化为相应的不等式组，即可求解 .【详解】11052（x4- lx > 1 ri V 1 -= I'' *由题意，函数，可得当犬I时，人总1 ,当

14、其之I时，函数式&；在L + 讹：单调递增，且内）明2（2x 4, 1 < 3x-2要使得RU+1）三汽米-2）,则,抬 >1，解得x二3,即不等式也K + l）<fl3x-2）的解集为1（3司,故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力，属于中档试题.I _K12.已知函数一*1"门“一针，若对任意的aE（L2j,关于K的方程=（XO0x.ni） 总有两个不同的实数根，则 屁的取值范围为（）【答案】B【解析】令限1-1,且X&q

15、uot; 解得工=%弓不，根据1 0-2且限结合图象, 即可求解。【详解】由题意，函数1代尸词口（富一 + ,令依）1 = ,且X20,Rn 2sm（2x + 7）- i A73ZB v = q即 ' 炉 ±1,解得卜他工AT ,又因为|1、2,且Mk）I W2,所以要使得- a-。总有两个不同实数根时，即函数卜孤川与、-机】2）的图象由两个不同的交点,* n结合图象，可得所以实数m的取值范围是e'IfJ.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能

16、力，属于中档试题。二、填空题III “ I "I13 .若平面向量 a U2）, b （X.可且也 ,h,则fcrg-b）.【答案】51 II I I IJ 国 _*_ 1_2【解析】 由a,b,则b，b 。，可得所以b'（a b） = H鼠b = h ,即可求解【详解】III II III由题意，平面向量a UZ）, b=3.3）,且则丁 b O,【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 14 .已知k -1是函数式用=+就）J的一个极值点，则曲线¥= Rx）

17、在点（0E°»处的切线 斜率为.【答案】F【解析】由x = I是函数/）=上网/的一个极值点，求得鼻IF,进而求得八°）二 一；, 根据导数的几何意义，即可得到答案.【详解】由题意，函数ax把,则+ ax+及+ a）J ,又由k二I是函数或苫尸0? +纸）/的一个极值点，所以1. ）=（3 + 2次=0,解得"T即I'g =（+3-沙，所以江°）= 4,所以函数在点（。（0»处切线的斜率为q.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用， 其中解答中熟记函数的极值点的定义， 合理利用导数导数的几何意义

18、求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 .215 .已知P是双曲线'一丁一 “b "上一点，F、F二是左、右焦点，APFJ1的三边长成等 差数列，且用PF广缈，则双曲线的渐近线方程为 .【解析】设PFmPFj n|,不妨设点P位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方程组，求得 ,进而求得b二而即可求得渐近线的方程【详解】 由题意，设IPFj二mlPFj二不妨设点P位于第一象限,则由已知条件和双曲线的定义，可得ni-n = 2且+ n： =（入且：i +%=2m ,整理得入依+ 5=0,解得c = 5,又由二事，即b=2#,所以双曲线的渐近线的方程为y

19、 =± * =± 2嘏【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性质，列出方程组求得c的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题16 .在ABC中，角h, S',匕所对的边分别为a,b,c,若hgsC + cwsB = 2aB，目=2 , b= 3|,则&ABC的面积是. 一【答案】L【解析】由正弦定理化简得b】H(B + o- ZsmAcosB,进而得到cosB=i ,再由余弦定理得 到关于c的方程，求得c的值，进而利用面积公式，即可求解。【详解】由题意，可知 bcosC + cccsB = ZacosB

20、 ,由正弦定理得 6nBswC - sinCcosB 二 2sinAcosB|,即疝1 -+ C) = 2sinAccsB ,又由在 LBC|中，A =寓B 4 C)，则号inA+C)1 = 51mB - C),1.即sinA = ZsinAcosB，又由 A E (仇明,则sinA .,0,所以 cos - I, 由余弦定理得二J5-2抑s等B, 1P9 = 4 + c2- 2c,整理得c2-2c -5 - U,解得c二1十阚117l所以AABC的面积为S = ?CSinB = 丁 2 " 0 +超* =【点睛】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系

21、式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正 弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基 础题.三、解答题17 .各项均为整数的等差数列 %”其前n项和为'，已知力：，且叼，达，8b二成等 比数列.(1)求、；的通项公式；(2)已知数列 曲；满足“尸2 求数列 出京的前项和【答案】(1) %工“一】；(2) Tn =【解析】(1)设1的公差为J,利用等差数列的通项公式，求得 H = 2,即可得出数列的通项公式；h = # = ?血/="4nl(2)由(1)得,一，一， 一2 ,再利用等比数列的求和公式，

22、即可求解。【详解】(1)设%;的公差为d,由题意知h 一(地+ 2科.七 】，(1 +4df = (l + d)(7+ WdJ,解得 d i或4二鼻又各项为整数，二. .所以数列的通项公式(2)由题意，瓦产二丁"、；.二故H；为等比数列，首项为2,公比为4, I %(1 * 现1-4、2 n 则其前力项和Tn -匚产-D.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，根据通项公式和求和公式，列出方程组，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等 比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有

23、时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用 巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18 .如图，在四棱锥P- ABCD中，PC 1平面XBCD，点卜:为PB中点，底面ABCD1为梯形, ABJ/CD, AD'CD, AD = CD = PC = 3AB.(1)证明：CM,平面PAD；(2)若四棱锥R ABCD的体积为4,求点M到平面PAD的距离.【答案】(1)详见解析；(2)啦.【解析】(1)取PA中点E,连接DE, ME,根据平行四边形的性质，证得再利用线面平行的判定定理，即可证得 CM，平面PAD.(2)设ADf,利用四棱锥P-ABCD的体积，求得工2,又由C

24、0平面IAD知，点. 到平面Dad的距离等于点c到平面Pad的距离，过乍cf Ud,证得cf，平面pad,即 可求得答案。【详解】(1)如图所示，取pr1中点E,连接国中点，. MEAB, ME二吧又匚D=/R, klEMCD, R!E = CD,，四边形CDEM为平行四边形，Be代M.|de匚平面Pad, cmh平面pad,，cm#平面pad.(2)设AD = x,则CD = PC = x, |AB =，由lABCD是直角梯形，PC平面ABCD知，则四棱锥ABCD的体积为:工"九)工2 = 4,解得X = 2 ,由cm平面pad知，点版到平面pad的距离等于点c到平面Pad的距离,

25、过.作CF 1 PD,垂足为旧，由|PC I 平面ABCD,得PCaD,又 XD,CD,.ADJ平面 PCD,化F 匚平面PCD, .lAD,CF, .CFI平面PAD.由 |PC CD = 2, PC ,CD 知 CF =班,卜到平面Pad的距离为 矩.AB【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及点到平面的距离公式的求解，其中解答中熟记线面平行与垂直的判定与证明，以及合理转化点到平面的距离是解答的关键，着重 考查了推理与论证能力，以及运算与求解能力，属于基础题。19 .党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶

26、贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间和小用1的为优等品；指标在区间仅X®)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下： 甲种生产方式：指标区间|65,70)70.75)75,80)180,85)15590)|1190,95频数51520301515乙种生产方式:指标区间70,75)75,80)85,90)19095)195,1001频数51520302010(1)在用甲种方式生产的产品

27、中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售 25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？3【答案】(1)优等品3件，合格品2件；X; (2)选择乙生产方式.【解析】(1)根据频数分布表知：甲的优等品率为 0.6,合格品率为0.4,即可得到抽去的件数；记3件优等品为A,

28、 B, C, 2件合格品分别为应,|b,从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；(2)分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为1I元八元，比较即可得到结论。【详解】(1)由频数分布表知：甲的优等品率为 0.6,合格品率为0.4,所以抽出的5件产品 中，优等品3件，合格品2件.记3件优等品为A, B, C, 2件合格品分别为H,b|,从中随机抽2件，抽取方式有|AB , lAC, Aa,尿,伏，W, Bb, Ca, tb,小共 10 种，设这2件中恰有1件是优等品的事件”为丫，则事件M发生的情况有6种，（2）根据样本知甲种生产方式生产100件

29、农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品.设甲种生产方式每生产 100件所获得的利润为T1元，乙种生产方式每生产 100件所获得的利润为2元，可得 T = 60& H k 4005 1 = 2800 （元），网 双55 20）+ 20125 20）网（元）,由于L所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1,

30、合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。20 .在平面直角坐标系xOv中，已知抛物线C := 2时3 : 0J,过抛物线焦点H且与节轴垂直的直线与抛物线相交于Ia、1b两点，且3OABI的周长为2+5.（1）求抛物线h的方程；（2）若过焦点B且斜率为1的直线与抛物线c相交于M、h两点，过点m、n分别作抛物线c的切线k、,切线h与上相交于点P,求：M也hwl . InH的值.【答案】（1） F = 2y； （2）0.pp P【解析】（1）将:'一代入抛物线c的方程可得点A、B|的坐标分别为P夕、最，进而利用三角形的周长为2

31、+ S 列出方程，求得P I,即可得到抛物线的方程；（2）将直线方程为=乂十a与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系，得到直线ML的方程，进而得到点p的坐标为再利用抛物线的几何性质，即可作出证明。【详解】（1）由题意知，焦点旧的坐标为又由IoaI = IobI = p2 + g =壬将=二2弋入抛物线c的方程可求得C =: 解得“土 d, 即点原|b的坐标分别为一尾、君），可得AOAB的周长为2P +品,即加十近口二二十小，解得p =,故抛物线C的方程为犬工（2）由（1）得FQ。直线I方程为卜联立方程 “ 、' 消去卜整理为：2K二仇 则修卜士 = 2凶±1,所以h+y/*

32、2=3,必二丁沟同_1 22又因为丫一齐，则“一登1,可得直线L的方程为¥整理为卜二%乂I _1 w同理直线%的方程为¥=X* -*工由抛物线的几何性质知1加="+ "加二¥】V,IpfI二/一09十（U：二*也有人而即|二0十四十3=力门十*十v“T 一卜上2【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题 答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方 程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解， 能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分

33、析问题解决问题的能力等。2） 2 c. tlx尸 akix一（a + 1 ）x + ;ax （a e R）21 ,已知函数' v （1）讨论Mx 的单调性；(2)若收)4 X "对k > I恒成立，求国的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)(0，；iI”、(而 «)-71【解析】(1)求得函数的导函数,二一飞一(X ',分类讨论即可求解函数的单调性，得到答案；21 3Inx 1(2)由题意血)孑x>d,即:山IX -久X - 'X，当2 0时，转化为-1 ' T + ?,令_蚂 I虱X)二三十广，利用导数求得函数 或W的单调性

34、与最值，即可得到结论。【详解】(1)由题意，函数 心0寸忌双十上1八, "2(ax - 1)U - a),、可得小Lax = -X>0),当la3时，f(x)<0,心单调减区间为(0J网，没有增区间.当0"1时，当f(x)<0；当Ok、a或心；|T >o.单调增区间为(0段与十对，单调减区间("3.当a=l时，我>030对'成立，或乂 单调增区间为(0. I W,没有减区间.1 JI |当a>l|时,当工.' f(K)<0；当口o：或k>a|时,f(*)-、0.式用的单调增区间为(0、；1与(24 m),单调减区间为 寻).(2)由M+k” 即，如人十严之工0,当心(时，加令加X尸 2 - 21HX 4 x1",则式 x) = 2xi,当上21 时，h'(x)W。，kxi是增函数，h(x)2h(J) = 3>0, .式幻)0.二 1.X时，鼠X是增函数，式亡最小值为虱1)二，。口".当3 =。时，显然的)+X n。不成立，目当脑、。时，由鼠K)最小值为$知，也3或5)不成立，综上卜的取值范围是(0成【点睛】着重考查了转化与化本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立