不等式中的三角代换

1、精品资源欢迎下载适合高三年级不等式中的三角代换在解证不等式的问题中，若根据不等式的特点以及三角函数的有界性和三角函数基 本关系式，巧用三角代换，能使问题大大简化，起到事半功倍的效果，下面试举几例说 明。例 1.已知 m2+n2 = 2, x2+y2 = 2,求证y'6wmx+nyw J6。解析：: m2+n2= 2, x2+y2= 2，可设 m=，2 sin c( , n= J2 cosot , x = sin P , y= V3cos Pmx+ny = , 6 sin、工 sin I ： + 6 cos。】 cos l ：1 = 6 cos(: - -),一 1< cos(ot

2、 - P)<1,6 0 浜 cosQ - P) < 展,即一< 6 & mx+ny & < 6。 O O一. 。1例 2.已知 a2+b2< 1,求证 I a3b ab3 I W 一。4解析：a2+b2< 1,，可设 a= msin a , b= mcosa , | m | < 1I a3b-ab3 I = I ab | | a2- b2 |=m2 | sin a cosa I I m2 (cos2a - sin2a ) |4sin 4a |I sin 2a cos2a | =2例 3.若 1Wx2+y2w2,求证：<x2 xy+

3、y 2< 3o2解析：设 x = r cos日,y= r sin 日，(1< r< e,0w 日 <2 兀)sin2 )1' x2 xy+y 2= r2 cos" r cos®r sin 8 + r 2sin2 = r2 (1 21 wr2 (1 1 sin29 ) < 3, 221 < 1- 1 sin29 < 3 , 1<r2<2, 222一 1cc即一w x2-xy+y2< 3。2例 4.求证1 & x+ v11 -x2 < V2 o解：-.1 1x2>0, 1WxW1, .,.设

4、 x=cos , 6 £ 0 0,n则 y= x+ V1 - x2 = cos +sin 日=V2 sin ( 6 +),4HT9 ： 0,冗,.日 + 二 C掌，sin®：)'-1, . J2sin ( 6 +三)C 1, V2 , - 1 & x+ 出x2 & 72。4例 5.已知 a>0, b> 0, a+b= 1,求证：(a+1) ( b+a b 4解析：a>0, b>0, a+b=1,，可令 a= sin2a , b=cos2o(, 口 £0,一，112121于是有(a+ ) ( b+ )= ( sin o

5、t + 2- ) ( cos a +2)a bsin .工cos :.4 .4 _. 4 .4 .sin - cos / ' sin cos / 1 1=-sin - cos -.4422、222sin 二 cos ;，(sin 二 ，cos ：) - 2sin 二 cos 二，1.2 .2 一sin - cos -sin4 2： 8sin22：32 (sin2 2： -4)2 16=2=24sin 2：4 sin 2二,0<sin22o( <1, . (sin22c(4) 2+16>25,又 12> 14sin 2：4(sin2*4)、16 1 ,即(a+二)

6、4 sin 2工4a(b+1)>25。b 4例 6.设 x, yCR, 3x2+2y2=6x,求 x2+y2 的最值。2解析：将3x2+2y2=6x化为（x1） 2+ = 1,这是一个椭圆方程，引入参数 8,令32x = 1+ cos 8y = sin 9( 0 w B v 2 n)，于是x2+y2= ( 1+ cos 8 ),3_212(Vising) =- 2(cos廿-2)0W日2n ,当日=0和n时，x2+y2有最小值0,最大值4。例7.解不等式V5一 x -Vx;M > 12解：因为"5 x)2 +(Jx、1)2=6,故可令 J5 x = J6 sin 0 , Jx +1 = J6 cos 0 , 0 ： 0,'1则原不等式化为66 sin Q - 66 cos Q > 2所以 66 sin 6 >1+76 cos2由 e e o,二知 1 + 76 cos e >o, 22 '将上式两边平方并整理，得48 cos 2 8+4 46 cos 日-23&