中考数学第11讲、新定义(讲义)

1、第10讲、新定义（讲义）1. 如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为顶点的抛物线经 过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF丄BC 于点F点D，E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD, PE, DE.（1）请直接写出抛物线的解析式.（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF 的差为定值进而猜想：对于任意一点 P，PD与PF的差为定值请你判断 该猜想是否正确，并说明理由.（3）小明进一步探究得出结论：若将使 PDE的面积为整数的点P记作“好 点”，则存在多个“好点”，且使 PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请 直接写

2、出所有“好点”的个数，并求出 PDE的周长最小时“好点”的坐标.52 22. 已知抛物线尸ax+bx+c,若a, b, c满足b=a+c,则称抛物线y=ax+bx+c为 “恒定”抛物线.(1) 求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A.(2) 已知“恒定”抛物线y.3x2-.3的顶点为P,与x轴的另一个交点为 B,是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得 以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不 存在，请说明理由.y*3. 如图1, P为/ MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线 OM, ON交于点A, B

3、,如果/ APB绕点P旋转时始终满足OA OB =0P2 , 我们就把/ APB叫做/ MON的智慧角.(1) 如图2,已知/ MON=90°, P为/MON的平分线上一点，以P为顶点 的角的两边分别与射线 OM, ON交于点A, B，且/ APB=135°，求证：/ APB 是/ MON的智慧角；(2) 如图 1,已知/ MON= a (0°v av 90° , OP=2，若/ APB是/MON的智慧角，连接AB,用含a的式子分别表示/ APB的度数 和厶AOB的面积；3(3) 如图3, C是函数 汁一(x>0)的图象上一点，过点C的直线与x轴、

4、y轴分别交于点A, B,且BC=2AC，请求出/ AOB的智慧角/ APB的顶点P 的坐标.图1N图2图34. 定义：点P是厶ABC内部或边上的点(顶点除外)，在 FAB,A PBC,A PCA中，若至少有一个三角形与 ABC相似，则称点P是厶ABC的自相似 占八、例如：如图1,点P在厶ABC的内部，/ PBC=Z A,Z PCB=Z ABC，则 BCPsAABC，故点P ABC的自相似点.请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点 M是曲线C: y(x>0)上的任意一点，点Nx是x轴正半轴上的任意一点.(1) 如图2,点P是OM上一点，/ ONP=Z M，试说

5、明点P是厶MON的自 相似点；当点M的坐标是(、一3 , 3),点N的坐标是(J3 , 0)时，求点P的坐 标.(2) 如图3,当点M的坐标是(3,、3),点N的坐标是(2, 0)时，求 MON 的自相似点的坐标.(3) 是否存在点M和点”，使厶MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.图1【参考答案】11. (1)抛物线的解析式为y - - -X2 8 ;8(2) 为定值2,理由略；(3) “好点”个数为11；当厶PDE的周长最小时，“好点”坐标为(-4, 6).2. (1)必过定点A(-1, 0),证明略；(2)存在，抛物线的解析式为y =、3x2 4、3x 3、3或y - - 3x2 3 .3. (1)证明略；(2)Z APB=180°； AOB 的面积为 2sin a4.(3)/ APB的顶点P的坐标为(口